જો lim _{n} {rightarrow infty}left[left(1+fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} \right) \right]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $y = \lim _{n ightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} ight) ight]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log y = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}ight)^2 ight)$.આ રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:$\log y = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:$\log y = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.$\log y = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2} ight) dx$.$\log y = \log 2 - 2 [x - 	an^{-1} x]_0^1$.$\log y = \log 2 - 2 (1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.આમ,$y = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2} - 2}$.$ae^b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ અને $b = \frac{\pi}{2} - 2$ મળે છે.તેથી,$a + b = 2 + \frac{\pi}{2} - 2 = \frac{\pi}{2}$.

જો $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ હોય,તો $a+b=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ હોય,તો $e^p=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા દ્વારા,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module