વક્રોના કુળનું સમીકરણ શોધો જેના માટે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ હંમેશા અચળ $(k)$ હોય.

ધારો કે $f$ એ $[0, \pi / 2]$ માં વ્યાખ્યાયિત એક અ-ઋણ વિધેય છે,$f^{\prime}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તમામ $x$ માટે સતત છે,અને $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ જ્યાં $f(0) = 0$ છે. તો

જો આસપાસની હવા $20^{\circ} C$ પર રાખવામાં આવે અને એક પદાર્થ $5$ મિનિટમાં $80^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ઠંડો થાય,તો $15$ મિનિટ પછી પદાર્થનું તાપમાન કેટલું હશે ($^{\circ} C$ માં)?

ચકાસો કે વિધેય $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ જ્યાં $c_{1}, c_{2}$ સ્વૈર અચળાંકો છે,તે વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ નો ઉકેલ છે.

ગતિશીલ હવામાં ધાતુ જે દરે ઠંડી પડે છે તે ધાતુ અને હવા વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે. જો હવાનું તાપમાન $290 \ K$ હોય અને ધાતુનું તાપમાન $10 \ \text{મિનિટમાં}$ $370 \ K$ થી ઘટીને $330 \ K$ થાય,તો તાપમાન $295 \ K$ સુધી ઘટાડવા માટે જરૂરી સમય કેટલો છે?

જો કોઈ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $5$ વર્ષ હોય,તો $15$ વર્ષ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો કુલ જથ્થો કેટલો હશે,જ્યારે પ્રારંભિક જથ્થો $64$ ગ્રામ હોય ($\text{ગ્રામ}$ માં)?