$(1, 2)$ અને $(-2, 1)$ સીમિત બિંદુઓ ધરાવતી વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલીની રેડિકલ ધરી (radical axis) કઈ છે?

જો વર્તુળો $x^2+y^2+2 \alpha x+2 y-8=0$ અને $x^2+y^2-2 x+\alpha y-14=0$ લંબરૂપે છેદતા હોય,તો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ધારો કે $C_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $1$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ $A=(4,1)$ બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે,જ્યાં $1 < r < 3$. $C_1$ અને $C_2$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો $PQ$ અને $ST$ દોરવામાં આવ્યા છે. સ્પર્શક $PQ$ એ $C_1$ ને $P$ પર અને $C_2$ ને $Q$ પર સ્પર્શે છે. સ્પર્શક $ST$ એ $C_1$ ને $S$ પર અને $C_2$ ને $T$ પર સ્પર્શે છે. રેખાખંડ $PQ$ અને $ST$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને $B$ બિંદુમાં મળે છે. જો $AB=\sqrt{5}$ હોય,તો $r^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4x$ ની નાભિલંબ (latus rectum) એ વર્તુળો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ની સામાન્ય જીવા છે,જે દરેકની ત્રિજ્યા $2\sqrt{5}$ છે. તો,વર્તુળો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જો $x-4=0$ એ બે લંબવર્તી વર્તુળોની રેડિકલ ધરી હોય,જેમાંથી એક $x^2+y^2=36$ છે,તો બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર શું છે?

વર્તુળો ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?