WBJEE 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સમીકરણ $\tan x - x = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે $y = \tan x$ અને $y = x$ ના આલેખના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$x = 0$ આગળ,બંને વિધેયો શૂન્ય છે,પરંતુ આપણે સૌથી નાનું ધન બીજ શોધવાનું છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$\tan x > x$ છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ માટે,$\tan x$ ઋણ છે જ્યારે $x$ ધન છે,તેથી કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$y = \tan x$ નો આલેખ $-\infty$ થી શરૂ થઈને $+\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે $y = x$ એ ધન ઢાળવાળી રેખા છે. તેઓ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં એક બિંદુએ છેદે છે.
આમ,સૌથી નાનું ધન બીજ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$.
આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,$(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
જોકે,પદાવલિ $n^{3} + 2n$ ખાસ કરીને $3$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ $n^{3} \equiv n \pmod{3}$,તેથી $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$.
કિંમતો ચકાસતા:
$n=1$ માટે,$1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
$n=2$ માટે,$2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
$n=3$ માટે,$3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
આમ,તે હંમેશા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $p+q = -p \Rightarrow 2p+q=0$ (સમીકરણ $1$)
બીજનો ગુણાકાર: $pq = q$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$pq - q = 0 \Rightarrow q(p-1) = 0$.
આનો અર્થ એ કે કાં તો $q=0$ અથવા $p=1$.
કિસ્સો $I$: જો $q=0$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2p+0=0 \Rightarrow p=0$.
કિસ્સો $II$: જો $p=1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2(1)+q=0 \Rightarrow q=-2$.
આમ,$(p, q) = (1, -2)$ એ આપેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
નવા સમીકરણ માટે જેના બીજ $\alpha^{2}$ અને $\beta^{2}$ છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^{2}-2(\frac{c}{a}) = \frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a} = \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^{2}\beta^{2} = (\alpha\beta)^{2} = (\frac{c}{a})^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-(\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^{2}-(\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}})x + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 0$.
$a^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $a^{2}x^{2}-(b^{2}-2ac)x+c^{2}=0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - 10x + y^{2} + 21 = 0$.
$x$ ના વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણને $x$ માં દ્વિઘાત તરીકે લેતા: $x^{2} - 10x + (y^{2} + 21) = 0$.
$D = (-10)^{2} - 4(1)(y^{2} + 21) \geq 0$.
$100 - 4y^{2} - 84 \geq 0$ $\Rightarrow 16 - 4y^{2} \geq 0$ $\Rightarrow y^{2} \leq 4$.
તેથી,$-2 \leq y \leq 2$.
તે જ રીતે,$y$ ના વાસ્તવિક બીજ માટે,સમીકરણને $y$ માં દ્વિઘાત તરીકે લેતા: $y^{2} + (x^{2} - 10x + 21) = 0$.
કારણ કે $y^{2} = -x^{2} + 10x - 21$,$y$ વાસ્તવિક હોવા માટે $y^{2} \geq 0$.
$-x^{2} + 10x - 21 \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 10x + 21 \leq 0$.
$(x-7)(x-3) \leq 0 \Rightarrow 3 \leq x \leq 7$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{2}-3x+k$.
બીજ અંતરાલ $(0,1)$ માં હોય તે માટે,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0,1)$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$ છે.
અહીં $1.5 \notin (0,1)$ હોવાથી,બંને બીજ $(0,1)$ માં હોવા શક્ય નથી.
તેથી,$k$ નું કોઈ મૂલ્ય આ શરતનું પાલન કરતું નથી.

(B) આપણી પાસે $\sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}) = \sum_{n=1}^{13} i^{n} + \sum_{n=1}^{13} i^{n+1}$ છે.
અહીં $i^{n}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=i$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=i$ છે,તેથી $13$ પદોનો સરવાળો $S_{13} = i \frac{1-i^{13}}{1-i}$ થાય.
નોંધો કે $i^{13} = (i^{4})^{3} \times i = 1^{3} \times i = i$.
તેથી,$\sum_{n=1}^{13} i^{n} = i \frac{1-i}{1-i} = i$.
તે જ રીતે,$\sum_{n=1}^{13} i^{n+1} = i^{2} \frac{1-i^{13}}{1-i} = -1 \frac{1-i}{1-i} = -1$.
આમ,કુલ સરવાળો $i + (-1) = i-1$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$.
$|z|=1$ હોવાથી $z\bar{z}=1$ થાય,તેથી $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
આમ,$\frac{1}{z_{1}}=\bar{z}_{1}$,$\frac{1}{z_{2}}=\bar{z}_{2}$,અને $\frac{1}{z_{3}}=\bar{z}_{3}$.
આપણને આપેલ છે કે $|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાઓ મૂકતા,આપણને $|\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}|=1$ મળે છે.
$|\bar{z}|=|z|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\overline{z_{1}+z_{2}+z_{3}}|=1$ મળે છે.
તેથી,$|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=1$.

(A) આપેલ છે,$z = \sin \theta - i \cos \theta$
$z = \cos \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{n} = e^{i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) + i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
તેથી,$\frac{1}{z^{n}} = z^{-n} = e^{-i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) - i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$z^{n} + \frac{1}{z^{n}} = 2 \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{n \pi}{2} - n \theta\right)$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ પદાવલિ એ $(1+e^{i\theta})^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણનો વાસ્તવિક ભાગ છે.
ધારો કે $S = 1+{ }^{n} C_{1} \cos \theta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 \theta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n \theta$.
તેથી $S = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^{n} { }^{n} C_{k} e^{ik\theta}\right) = \operatorname{Re}((1+e^{i\theta})^n)$.
$1+e^{i\theta} = 1+\cos \theta + i \sin \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$1+e^{i\theta} = 2 \cos \frac{\theta}{2} \left(\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}\right) = 2 \cos \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}$.
આમ,$(1+e^{i\theta})^n = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n e^{in\theta/2} = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n \left(\cos \frac{n\theta}{2} + i \sin \frac{n\theta}{2}\right)$.
વાસ્તવિક ભાગ લેતા,આપણને $S = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n \cos \frac{n\theta}{2}$ મળે છે.

(A) $COCHIN$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, H, I, N, O$.
$COCHIN$ પહેલા આવતા શબ્દો શોધવા માટે:
$1$. $CC$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $H, I, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$2$. $CH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, I, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$3$. $CI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, H, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$4$. $CN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, H, I, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
આમ,$COCHIN$ પહેલા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 24 + 24 + 24 + 24 = 96$ થાય.

(C) $ARRANGE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A(2), R(2), N(1), G(1), E(1)$.
બંને $R$ સાથે આવે તે માટે,આપણે $(RR)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,કુલ $6$ એકમો છે: $(RR), A, A, N, G, E$.
આ $6$ એકમોમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો = $\frac{6!}{2!}$.
$(RR)$ બ્લોકની અંદર,બે $R$ ને $\frac{2!}{2!} = 1$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,કુલ રીતો = $\frac{6!}{2!} \times 1 = \frac{6!}{2!}$.

(C) આપેલ છે કે $\log _{a} x, \log _{b} x, \log _{c} x$ એ $AP$ માં છે.
તેથી,$2 \log _{b} x = \log _{a} x + \log _{c} x$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{m} n = \frac{1}{\log _{n} m}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{1}{\log _{x} a} + \frac{1}{\log _{x} c}$.
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{\log _{x} c + \log _{x} a}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c} = \frac{\log _{x} (ac)}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c}$.
આમ,$c^2 = (ac)^{\log _{a} b}$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_{n} = (2n-1)^{3}$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ મળે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(A) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ છે,જ્યાં $k=2$ થી $n$ સુધી.
$\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોવાથી,$\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $T_k = (k-1)(k^2 - k(\omega + \omega^2) + \omega^3) = (k-1)(k^2 + k + 1) = k^3 - 1$.
સરવાળો $S = \sum_{k=2}^{n} (k^3 - 1)$ છે.
આને $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) - (1^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ અને $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $x$ છે અને $(2n-1)$-મું પદ $y$ છે.
$a, b, c$ એ $AP, GP, HP$ ના $n$-માં પદો હોવાથી,તેઓ $x$ અને $y$ ના સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$AM \geq GM \geq HM$ થાય.
તેથી,$a \geq b \geq c$.
વળી,$AM, GM$ અને $HM$ વચ્ચેનો સંબંધ $AM \cdot HM = GM^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot c = b^2$ અથવા $ac - b^2 = 0$.

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{{ }^{5}C_{r}} + \frac{1}{{ }^{6}C_{r}} = \frac{1}{{ }^{4}C_{r}}$
સૂત્ર ${ }^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{r!(5-r)!}{5!} + \frac{r!(6-r)!}{6!} = \frac{r!(4-r)!}{4!}$
$r!$ વડે ભાગતા અને $4!$ વડે ગુણતા:
$\frac{(5-r)!}{5} + \frac{(6-r)(5-r)!}{6 \times 5} = (4-r)!$
$(4-r)!$ વડે ભાગતા:
$\frac{(5-r)}{5} + \frac{(6-r)(5-r)}{30} = 1$
$30$ વડે ગુણતા:
$6(5-r) + (6-r)(5-r) = 30$
$30 - 6r + 30 - 11r + r^{2} = 30$
$r^{2} - 17r + 30 = 0$
$(r-2)(r-15) = 0$
અહીં $r \leq 4$ હોવાથી (કારણ કે ${ }^{4}C_{r}$ વ્યાખ્યાયિત છે),$r = 2$ મળે.

(C) આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
આનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n - 3r + 3 = 7r$ $\Rightarrow 3n - 10r = -3$ (સમીકરણ $1$)
$2) \frac{{}^n C_{r+1}}{{}^n C_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-(r+1)+1}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n - 2r = 3r + 3$ $\Rightarrow 2n - 5r = 3$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4n - 10r = 6$ મળે છે (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \Rightarrow n = 9$.
$n=9$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2(9) - 5r = 3$ $\Rightarrow 18 - 5r = 3$ $\Rightarrow 5r = 15$ $\Rightarrow r = 3$.
આમ,${}^n C_8 = {}^9 C_8 = {}^9 C_{9-8} = {}^9 C_1 = 9$.

(B) આપેલ પદાવલિ $P(x) = (x-1)(x-2) \ldots (x-18)$ છે.
આ $18$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક $-(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ થાય છે.
અહીં,$n = 18$ અને પદો $a_1=1, a_2=2, \ldots, a_{18}=18$ છે.
$x^{17}$ નો સહગુણક $-(1 + 2 + 3 + \ldots + 18)$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ વાપરતા:
$S_{18} = \frac{18 \times 19}{2} = 9 \times 19 = 171$.
તેથી,સહગુણક $-171$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મુકતા:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
ફરીથી,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ બને છે.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.

(B) ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
$x+8y-22=0$ $(i)$
$5x+2y-34=0$ $(ii)$
$2x-3y+13=0$ $(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા:
$x=6, y=2$. શિરોબિંદુ $A = (6, 2)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$x=4, y=7$. શિરોબિંદુ $B = (4, 7)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$x=-2, y=3$. શિરોબિંદુ $C = (-2, 3)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |6(7-3) + 4(3-2) + (-2)(2-7)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |24 + 4 + 10|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |38| = 19$ ચોરસ એકમ.

(B) બિંદુ $P(x, y)$ નું $A(8, 0)$ અને $B(0, 12)$ થી અંતરનો સરવાળો ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર હોય.
$(8, 0)$ અને $(0, 12)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{8} + \frac{y}{12} = 1$ છે.
$24$ વડે ગુણતા,$3x + 2y = 24$ મળે.
$x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી $(x, y \in \mathbb{N})$,આપણે રેખાખંડ પરના પૂર્ણાંક ઉકેલો ચકાસીએ.
જો $x = 2$,તો $3(2) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 18$ $\Rightarrow y = 9$.
જો $x = 4$,તો $3(4) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$.
જો $x = 6$,તો $3(6) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 6$ $\Rightarrow y = 3$.
આ બિંદુઓ $(2, 9), (4, 6), (6, 3)$ એ $S$ માં છે.
આમ,આવા $3$ બિંદુઓ છે.

(C) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(a, b)$ અને $B(-a, -b)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-b - b}{-a - a} = \frac{-2b}{-2a} = \frac{b}{a}$.
$(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - b = \frac{b}{a}(x - a)$
$ay - ab = bx - ab$
$bx = ay$
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ $bx = ay$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$x = a^2$ અને $y = ab$ મૂકતા:
$b(a^2) = a(ab)$
$a^2b = a^2b$
આમ,રેખા $(a^2, ab)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-a,-b)$,$B(a, b)$,$C(0,0)$ અને $D(a^{2}, ab)$ છે.
$A, B$ અને $C$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક ગણીએ:
$\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & 1 \\ a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = -a(b-0) + b(a-0) + 1(0) = -ab + ab = 0$.
નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,તપાસો કે $B, C$ અને $D$ સમરેખ છે કે નહીં:
$\left|\begin{array}{ccc}a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ a^{2} & ab & 1\end{array}\right| = a(0-ab) - b(0-a^{2}) + 1(0) = -a^{2}b + a^{2}b = 0$.
નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $B, C$ અને $D$ સમરેખ છે.
આમ,$A, B, C$ અને $D$ ચારેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે.

(B, D) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $x+y+1=0$ પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$h+k+1=0,$ એટલે કે $h = -k-1.$
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $3x+4y+2=0$ નું લંબ અંતર $\frac{|3h+4k+2|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ છે.
$h = -k-1$ મૂકતા:
$\frac{|3(-k-1)+4k+2|}{5} = \frac{1}{5}$
$|k-1| = 1$
આથી,$k-1 = 1 \implies k=2$ (જેથી $h=-3$) અથવા $k-1 = -1 \implies k=0$ (જેથી $h=-1$).
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(-3, 2)$ અને $(-1, 0)$ છે.

(B) બંને અક્ષો પર $2a$ અંતઃખંડ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{2a} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 2a$ થાય છે.
ધારો કે રેખા $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(2h, 2k)$ છે.
બિંદુ $P$ રેખા $x + y = 2a$ પર હોવાથી,$2h + 2k = 2a$,જેનું સાદું રૂપ $h + k = a$ થાય છે.
અક્ષો પર લંબ $PR$ અને $PS$ દોરવામાં આવે છે,તેથી $R$ ના યામ $(2h, 0)$ અને $S$ ના યામ $(0, 2k)$ છે.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{2h+0}{2}, \frac{0+2k}{2}) = (h, k)$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુના યામ $(x, y)$ છે,તેથી $x = h$ અને $y = k$.
આ કિંમતોને $h + k = a$ માં મૂકતા,આપણને $x + y = a$ મળે છે.
આમ,$RS$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x + y = a$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ $(1)$
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ $(2)$
ધારો કે છેદબિંદુ $(x, y)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = K \times \frac{1}{K}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે. તેથી,બિંદુપથ એક અતિવલય છે.

(B) $x^{3}-y x^{2}+x-y=0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2}(x-y)+1(x-y)=0$
$(x^{2}+1)(x-y)=0$
કારણ કે $x^{2}+1=0$ માટે $x$ ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી,તેથી માત્ર વાસ્તવિક બિંદુઓનો પથ નીચે મુજબ મળે છે:
$x-y=0$
$x=y$
આમ,આ સમીકરણ એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 9$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$3x + 4y = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ રેખા $3x + 4y = k$ સ્વરૂપની હોય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $3x + 4y - k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુથી રેખાના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|3(0) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 3$.
$\frac{|-k|}{\sqrt{9 + 16}} = 3$ $\Rightarrow \frac{|k|}{5} = 3$ $\Rightarrow |k| = 15$.
તેથી,$k = 15$ અથવા $k = -15$.
રેખાઓ $3x + 4y = 15$ અને $3x + 4y = -15$ છે.
રેખા પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળને સ્પર્શે તે માટે,અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{5} + \frac{y}{3.75} = 1$ ($k=15$ માટે) દર્શાવે છે કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $3x + 4y = 15$ છે.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $hx+ky = h^{2}+k^{2}$ થાય.
વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$x^{2}+y^{2} = 1 \cdot \left(\frac{hx+ky}{h^{2}+k^{2}}\right)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = (hx+ky)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = h^{2}x^{2} + k^{2}y^{2} + 2hkxy$
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(h^{2}+k^{2})^{2} - h^{2} + (h^{2}+k^{2})^{2} - k^{2} = 0$
$2(h^{2}+k^{2})^{2} - (h^{2}+k^{2}) = 0$
$h^{2}+k^{2} \neq 0$ હોવાથી,$2(h^{2}+k^{2}) = 1$,એટલે કે $h^{2}+k^{2} = \frac{1}{2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x+y=4$ $(i)$ અને $x-y=2$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણને $x=3$ અને $y=1$ મળે છે.
બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ઢાળ ધરાવતી રેખા:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^{2}=4(x-3)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$.
તેથી $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(A, B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=ay$ છે,જેનો અર્થ છે $y=\frac{x^{2}}{a}$.
રેખાનું સમીકરણ $y=2x+1$ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{x^{2}}{a}=2x+1 \Rightarrow x^{2}-2ax-a=0$.
ધારો કે બીજ $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે. તો $x_{1}+x_{2}=2a$ અને $x_{1}x_{2}=-a$.
તફાવત $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4a^{2}+4a} = 2\sqrt{a^{2}+a}$.
બિંદુઓ $y=2x+1$ પર હોવાથી,$(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ છે.
$y_{2}-y_{1} = 2(x_{2}-x_{1})$ હોવાથી,$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+4(x_{2}-x_{1})^{2}} = |x_{2}-x_{1}|\sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $d=\sqrt{40}$,તેથી $\sqrt{40} = 2\sqrt{a^{2}+a} \cdot \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{40} = \sqrt{20(a^{2}+a)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $40 = 20(a^{2}+a) \Rightarrow a^{2}+a-2=0$.
$(a+2)(a-1)=0$,તેથી $a=1$ અથવા $a=-2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^{2}-4y=4x-4a$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ મળે.
આથી,શિરોબિંદુ $(a-1, 2)$ છે.
શિરોબિંદુ રેખાઓ $L_1: x+y-3=0$ અને $L_2: 2x+2y-1=0$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
તેથી,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$.
$(a-2)(2a+1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે જીવા શિરોબિંદુ $V(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય $y^{2}=4ax$ ને $P(at^{2}, 2at)$ માં છેદે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવા $VP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{at^{2}+0}{2} = \frac{at^{2}}{2}$ અને $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,આપણને $t = \frac{k}{a}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{a}{2} \left(\frac{k}{a}\right)^{2} = \frac{k^{2}}{2a}$.
આમ,$k^{2} = 2ah$.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $y^{2} = 2ax$ છે.
આને $(y-0)^{2} = 4\left(\frac{a}{2}\right)(x-0)$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $Y^{2} = 4AX$ માટે,નિયામિકા $X = -A$ છે.
અહીં,$A = \frac{a}{2}$,તેથી નિયામિકા $x = -\frac{a}{2}$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^{2}+25 y^{2}+32 x-100 y=284$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x^{2}+2 x)+25(y^{2}-4 y)=284$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$16(x^{2}+2 x+1)+25(y^{2}-4 y+4)=284+16+100$ મળે.
$16(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=400$.
$400$ વડે ભાગતા,$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ મળે.
અહીં,$a^{2}=25$. ઉપવલય $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ છે.
તેથી,સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4=25$ મળે.
આમ,$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-20=0$.

(B, D) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$8x + 18yy' = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$.
રેખા $8x = 9y$ નો ઢાળ $y = \frac{8}{9}x$ પરથી $m = \frac{8}{9}$ મળે છે.
સ્પર્શકો રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ: $-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $-4x = 8y$ અથવા $x = -2y$ મળે છે.
$x = -2y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $4(-2y)^{2} + 9y^{2} = 1$.
$4(4y^{2}) + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 16y^{2} + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 25y^{2} = 1$.
આમ,$y^{2} = \frac{1}{25}$,જે $y = \pm \frac{1}{5}$ આપે છે.
જો $y = \frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y = -\frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
માગેલ બિંદુઓ $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ અને $\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y=x+\lambda$ છે.
તેને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=1$ અને $c=\lambda$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2}+3y^{2}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/2} + \frac{y^{2}}{1/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=\frac{1}{2}$ અને $b^{2}=\frac{1}{3}$ મળે છે.
જો રેખા ઉપવલયને સ્પર્શતી હોય,તો સ્પર્શકની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda^{2} = \frac{1}{2}(1)^{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\lambda = \sqrt{\frac{5}{6}}$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે અને $\Delta OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$P$ અને $Q$ ના યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ છે.
$\Delta OPQ$ માં,$OP = PQ$.
તેથી $OP^2 = PQ^2$.
$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 (1 + \tan^2 \theta) = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 = (3b^2 - a^2) \tan^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{a^2}{3b^2 - a^2}$.
$\tan^2 \theta > 0$ હોવાથી,$3b^2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) આપણી પાસે છે,$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{1+\sqrt{x}}}$
$= \left(\frac{1+1}{2+1}\right)^{\frac{1}{1+1}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_{i} = a_{i}$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$. પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2}$ છે.
નવા અવલોકનો $y_{i} = \lambda a_{i} = \lambda x_{i}$ છે.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \lambda \bar{x}$ છે.
નવા અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\lambda x_{i} - \lambda \bar{x})^2} = \sqrt{\lambda^2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2} = |\lambda| \sigma$.

(A) ધારો કે $\triangle DEF$ ની પરિત્રિજ્યા $R'$ છે.
$\triangle ABC$ માં,પેડલ ત્રિકોણ $\triangle DEF$ ના ખૂણાઓ $\angle FDE = 180^{\circ} - 2A$,$\angle DEF = 180^{\circ} - 2B$ અને $\angle EFD = 180^{\circ} - 2C$ છે.
પેડલ ત્રિકોણની બાજુ $EF$ ની લંબાઈ $EF = R \sin 2A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\triangle DEF$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2R' = \frac{EF}{\sin(\angle FDE)}$.
કિંમતો મૂકતા,$2R' = \frac{R \sin 2A}{\sin(180^{\circ} - 2A)} = \frac{R \sin 2A}{\sin 2A} = R$.
તેથી,$R' = \frac{R}{2}$.

(C) આપણી પાસે $A = 5^{n} - 4n - 1 = (1 + 4)^{n} - 4n - 1$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 4)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(4) + {}^{n}C_{2}(4^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n})$.
તેથી,$A = (1 + 4n + 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))) - 4n - 1$.
$A = 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))$.
આ દર્શાવે છે કે $A$ નો દરેક ઘટક $16$ નો ગુણક છે.
$n=1$ માટે,$5^{1}-4(1)-1 = 0$.
$n=2$ માટે,$5^{2}-4(2)-1 = 16$.
$n=3$ માટે,$5^{3}-4(3)-1 = 112 = 16 \times 7$.
આમ,$A = \{0, 16, 112, \dots\}$.
$B = \{16(n-1) : n \in N\} = \{0, 16, 32, 48, \dots\}$.
$A$ નો દરેક ઘટક $16$ નો ગુણક હોવાથી,$A \subseteq B$ થાય.

(A) આપેલ છે,$\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.09}(x-1)$.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $x-1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આપણે અસમતાને $\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3^{2}}(x-1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ગુણધર્મ $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log _{0.3}(x-1) < \frac{1}{2} \log _{0.3}(x-1)$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $2 \log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3}(x-1)$.
બંને બાજુથી $\log _{0.3}(x-1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $\log _{0.3}(x-1) < 0$.
કારણ કે આધાર $0.3 < 1$ છે,તેથી જ્યારે આપણે લઘુગણક દૂર કરીએ ત્યારે અસમતા ઉલટાઈ જાય છે: $x-1 > (0.3)^0$.
$x-1 > 1$.
$x > 2$.
આમ,$x$ એ $(2, \infty)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,અને $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$.
$P(B) = 1 - P(\bar{B})$ હોવાથી,$P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ મળે.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$.
$P(A) = \frac{31}{45} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{62 + 15 - 27}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$.
હવે,નિરપેક્ષતા તપાસતા: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(C) સ્વવાચકતા: $x \in Z$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $(x, x) \in R$.
$x + 2x = 3x$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$xRx$ એ દરેક $x \in Z$ માટે સાચું છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: ધારો કે $(x, y) \in R$,જેનો અર્થ છે કે $x + 2y = 3\lambda$ કોઈ પૂર્ણાંક $\lambda$ માટે.
તો $x = 3\lambda - 2y$.
આપણે $y + 2x$ ચકાસીએ:
$y + 2x = y + 2(3\lambda - 2y) = y + 6\lambda - 4y = 6\lambda - 3y = 3(2\lambda - y)$.
કારણ કે $3(2\lambda - y)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(y, x) \in R$.
તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$.
તો $x + 2y = 3\lambda$ અને $y + 2z = 3\mu$ કોઈ પૂર્ણાંકો $\lambda, \mu$ માટે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $(x + 2y) + (y + 2z) = 3\lambda + 3\mu \Rightarrow x + 3y + 2z = 3(\lambda + \mu)$.
$x + 2z = 3(\lambda + \mu) - 3y = 3(\lambda + \mu - y)$.
કારણ કે $x + 2z$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(x, z) \in R$.
તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(C) આપેલ છે કે $Q = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ અને $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેટ્રિક્સ $Q(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ એ રોટેશન મેટ્રિક્સ દર્શાવે છે.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$Q^{n}(\theta) = Q(n\theta)$.
તેથી,$Q^{3} = Q\left(3 \times \frac{\pi}{4}\right) = Q\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$Q^{3} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
હવે,$Q^{3}x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
$Q^{3}x = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે $A = 2I + B$ લખી શકીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
$2I$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B + 0 + ...$
$A^n = 2^n I + n(2^{n-1}) B = 2^n \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + n 2^{n-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ n 2^n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ n 2^n & 0 & 2^n \end{bmatrix}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2^n$ અને $b = n 2^n$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$.
તેથી,$|A|^2 = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\log x}{\log x} & \frac{\log y}{\log x} & \frac{\log z}{\log x} \\ \frac{\log x}{\log y} & \frac{\log y}{\log y} & \frac{\log z}{\log y} \\ \frac{\log x}{\log z} & \frac{\log y}{\log z} & \frac{\log z}{\log z}\end{array}\right|$.
હવે,$R_{1}$ માંથી $\frac{1}{\log x}$,$R_{2}$ માંથી $\frac{1}{\log y}$ અને $R_{3}$ માંથી $\frac{1}{\log z}$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{\log x \cdot \log y \cdot \log z} \left|\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z\end{array}\right|$.
અહીં ત્રણેય હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ એક અયુગ્મ વિકલનીય વિધેય છે.
અયુગ્મ વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f(-x) = -f(x)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[-f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
આ દર્શાવે છે કે અયુગ્મ વિધેયનું વિકલિત એ યુગ્મ વિધેય છે.
હવે,$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$f^{\prime}(-3) = f^{\prime}(3)$
આપણને આપેલ છે કે $f^{\prime}(3) = 2$,તેથી:
$f^{\prime}(-3) = 2$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = (x^{2} + 1)^{35}$ દરેક $x \in R$ માટે.
એક-એક વિધેય માટે: તપાસો કે શું $f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે.
$f(1) = (1^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$ અને $f(-1) = ((-1)^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f(x)$ નો વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવો જોઈએ.
કારણ કે $x^{2} \geq 0$,તેથી $x^{2} + 1 \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $(x^{2} + 1)^{35} \geq 1^{35} = 1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ બરાબર નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in X$ માટે $f(f(x)) = x$ છે.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
બંને બાજુ $f$ લાગુ પાડતા,આપણને $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ મળે છે.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે:
કોઈપણ $y \in X$ માટે,ધારો કે $x = f(y)$.
તો $f(x) = f(f(y)) = y$.
દરેક $y \in X$ માટે,એવો $x \in X$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) બંને છે.

(C) આપેલ છે,$y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
વિકલિતના પદમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(C) આપણને વિધેય $f(x) = \max \{a-x, a+x, b\}$ આપેલ છે.
અવિકલનીય બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિધેયો $y_1 = a-x$,$y_2 = a+x$,અને $y_3 = b$ ના છેદબિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$1$. $y_1$ અને $y_3$ નું છેદબિંદુ: $a-x = b \implies x = a-b$.
$2$. $y_2$ અને $y_3$ નું છેદબિંદુ: $a+x = b \implies x = b-a$.
$3$. $y_1$ અને $y_2$ નું છેદબિંદુ: $a-x = a+x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
કારણ કે $0 < a < b$,તેથી $a-b < 0$ અને $b-a > 0$ થાય.
$x = a-b$ આગળ,$f(x)$ એ $a-x$ માંથી $b$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,જે તીક્ષ્ણ વળાંક બનાવે છે.
$x = b-a$ આગળ,$f(x)$ એ $b$ માંથી $a+x$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,જે તીક્ષ્ણ વળાંક બનાવે છે.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = \max \{a, a, b\} = b$ (કારણ કે $b > a$). અંતરાલ $[a-b, b-a]$ માં વિધેય $b$ છે,તેથી તે $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
આમ,અવિકલનીય બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે: $x = a-b$ અને $x = b-a$.

(D) આપેલ છે,$f(x)=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^{2}}\right)}{\log \left(e x^{2}\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(e/x^2) = 1 - 2 \log x$ અને $\log(ex^2) = 1 + 2 \log x$.
તેથી,$f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - 2 \log x}{1 + 2 \log x}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + 2 \log x}{1 - 3(2 \log x)}\right]$.
ધારો કે $2 \log x = u$. તો $f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - u}{1 + u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + u}{1 - 3u}\right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ અને $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} u) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1} u)$.
$f(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} 3$.
ચુંકે $f(x)$ અચળ છે,તેથી તેનું વિકલન $f'(x) = 0$ અને દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 0$ થાય.

(A) આપેલ છે કે કોટિ $y$ એ અભિસંખ્યા $x$ ના વધવાના દર જેટલા જ દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^{2} + 9y^{2} = 400$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$16(2x) \frac{dx}{dt} + 9(2y) \frac{dy}{dt} = 0$
$32x \frac{dx}{dt} + 18y \frac{dy}{dt} = 0$
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \left(-\frac{dx}{dt}\right) = 0$
$(16x - 9y) \frac{dx}{dt} = 0$.
અહીં $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોવાથી,$16x - 9y = 0$,જેનો અર્થ છે $y = \frac{16}{9}x$.
$y = \frac{16}{9}x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$16x^{2} + 9\left(\frac{16}{9}x\right)^{2} = 400$
$16x^{2} + 9 \cdot \frac{256}{81}x^{2} = 400$
$16x^{2} + \frac{256}{9}x^{2} = 400$
$\frac{144x^{2} + 256x^{2}}{9} = 400$
$\frac{400x^{2}}{9} = 400$
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
જો $x = 3$,તો $y = \frac{16}{9}(3) = \frac{16}{3}$.
જો $x = -3$,તો $y = \frac{16}{9}(-3) = -\frac{16}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left(3, \frac{16}{3}\right)$ અને $\left(-3, -\frac{16}{3}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $2 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dl}{l} = 0.02$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
તેથી,આવર્તકાળમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dT}{T} \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$ છે.
આમ,આવર્તકાળમાં આશરે ફેરફાર $1 \%$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}(4-x).$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f^{\prime}(x)=0$ લઈએ.
$(x-1)^{2}(4-x)=0 \implies x=1, 4.$
આપણે અંતરાલો $(-\infty, 1), (1, 4),$ અને $(4, \infty)$ માં $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$x \in (-\infty, 1)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (1, 4)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (4, \infty)$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0.$
કારણ કે $x \in (-\infty, 4)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $(-\infty, 4)$ માં વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $x \in (4, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $(4, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
$x=4$ આગળ,$f^{\prime}(x)=0$ થાય છે,તેથી $x=4$ એ ક્રાંતિક બિંદુ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} d x$.
$z = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ લો.
તેથી,$dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x} = 2 dz$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{z}{3} (2 dz) = \frac{2}{3} \int z dz$.
$z$ નું $z$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + C = \frac{1}{3} z^2 + C$.
$z = \log \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$.

(C) ધારો કે $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન ગુણાકારના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
વિધેય $g(x) = 2^{x} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^{x}) \cdot f(x) + 2^{x} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} \log 2 \cdot f(x) + 2^{x} f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2]$.
અહીં સંકલ્ય એ $g(x)$ નું વિકલિત હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = \int g^{\prime}(x) \, dx = g(x) + C = 2^{x} f(x) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1}\right) d x$
$I = -\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{2} x^{2}[x] d x$.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ માં પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર સંકલનનું વિભાજન કરીશું.
$I = \int_{0}^{1} x^{2}[x] d x + \int_{1}^{2} x^{2}[x] d x$.
$0 \le x < 1$ માટે,$[x] = 0$ છે.
$1 \le x < 2$ માટે,$[x] = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} x^{2}(0) d x + \int_{1}^{2} x^{2}(1) d x$.
$I = 0 + \int_{1}^{2} x^{2} d x$.
$I = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}$.
$I = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$
અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n+r}{n}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{r}{n}}$
આ $\int_{0}^{1} f(x) dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જ્યાં $f(x) = \sqrt{1+x}$
$= \int_{0}^{1} (1+x)^{1/2} dx = \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left[ (1+x)^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(B) આપણને આપેલ છે કે $\phi(t) = 1$ જ્યારે $0 \leq t < 1$ અને અન્યથા $0$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\phi(t-k) = 1$ જ્યારે $k \leq t < k+1$ અને અન્યથા $0$ છે.
સંકલન $I = \int_{-3000}^{3000} \sum_{r'=2014}^{2016} \phi(t-r') \phi(t-2016) dt$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $I = \int_{-3000}^{3000} [\phi(t-2014)\phi(t-2016) + \phi(t-2015)\phi(t-2016) + \phi(t-2016)\phi(t-2016)] dt$.
નોંધો કે $\phi(t-2014)\phi(t-2016) = 0$ કારણ કે અંતરાલો $[2014, 2015)$ અને $[2016, 2017)$ અલગ છે.
તેવી જ રીતે,$\phi(t-2015)\phi(t-2016) = 0$ કારણ કે અંતરાલો $[2015, 2016)$ અને $[2016, 2017)$ અલગ છે.
આમ,પદાવલિ $\int_{-3000}^{3000} \phi(t-2016)^2 dt$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $\phi(t-2016) = 1$ જ્યારે $2016 \leq t < 2017$ અને અન્યથા $0$ છે,તેથી $\phi(t-2016)^2 = \phi(t-2016)$.
તેથી,$I = \int_{2016}^{2017} 1 dt = [t]_{2016}^{2017} = 2017 - 2016 = 1$.

(C) વક્રો $y=\sqrt{5-x^2}$ (ત્રિજ્યા $\sqrt{5}$ વાળું અર્ધવર્તુળ) અને $y=|x-1|$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\sqrt{5-x^2} = |x-1|$ લો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5-x^2 = x^2-2x+1 \implies 2x^2-2x-4=0 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=-1$ અને $x=2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$.
$A = \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$\int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) \right]_{-1}^{2} = 2 + \frac{5\pi}{4}$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_{-1}^{2} |x-1| dx = \int_{-1}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx = 2 + 0.5 = 2.5 = 5/2$.
આમ,$A = 2 + \frac{5\pi}{4} - 2.5 = \frac{5\pi}{4} - 0.5$ ચોરસ એકમ.

(A) $X$-અક્ષ પર સંમિતિની ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y^2 = 4a(x - h)$ છે,જેને $y^2 = Ax + B$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $A$ અને $B$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
અહીં $2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,તેમને દૂર કરવા માટે આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરવું પડશે.
પ્રથમ વિકલન: $2y \frac{dy}{dx} = A$.
બીજું વિકલન: $2 \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} \right) = 0$.
વિકલ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન દ્વિતીય વિકલન હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$.
ધારો કે $y^2 = z$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$.
આ $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2b$ અને $Q = 2a \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ છે.
ઉકેલ $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$.
$y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$.
$e^{-2bx}$ વડે ગુણતા: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$.
તેથી,$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = e^x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$xy = \int x e^x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)$.
તેથી,$xy = e^x(x-1) + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $xy = e^x \phi(x) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\phi(x) = x-1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$|a+b| < |a-b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 < |a-b|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) < (a-b) \cdot (a-b)$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) < |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ મળે.
બંને બાજુથી $|a|^2 + |b|^2$ બાદ કરતા,$2(a \cdot b) < -2(a \cdot b)$ મળે.
આથી $4(a \cdot b) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b < 0$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta < 0$ અને $|a|, |b| > 0$,તેથી $\cos \theta < 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ ગુરુકોણ છે.

(A) ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0)$ અને $(a,a,a)$ છે. ઘનના ચાર વિકર્ણોને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડતા સદિશો દ્વારા દર્શાવી શકાય છે: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (-a,a,a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,અને $\vec{d_4} = (a,a,-a)$.
દિશા ગુણોત્તર $(1,1,1)$ અને $(-1,1,1)$ ધરાવતા બે વિકર્ણોને ધ્યાનમાં લો.
બે સદિશો $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|(1)(-1) + (1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 1 + 1|}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,ઘનના કોઈપણ બે વિકર્ણો વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન $1/3$ છે.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $x+y+2z-6=0$ અને $2x-y+z-9=0$ છે.
તેમને સામાન્ય સ્વરૂપ $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ મળે છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(1, 1, 1)$ અને $(0, 0, 0)$ માટે,સમીકરણ $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z-0}{1-0} = \lambda$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \lambda, y = \lambda, z = \lambda$.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda, \lambda, \lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 2y + z = 10$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$2(\lambda) + 2(\lambda) + \lambda = 10$.
$5\lambda = 10$.
$\lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને બિંદુના યામોમાં મૂકતા,આપણને $(2, 2, 2)$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $\frac{3}{4} \leq P(A \cup B) \leq 1$ અને $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા:
$\frac{3}{4} + \frac{1}{8} \leq P(A \cup B) + P(A \cap B) \leq 1 + \frac{3}{8}$.
$\frac{7}{8} \leq P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$.
આમ,$P(A) + P(B) \geq \frac{7}{8}$ અને $P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $40 \text{ yr}$ થી વધુ છે.
આપણને આપેલ છે:
સ્ત્રીઓની કુલ સંખ્યા $n(F) = 6$.
$40 \text{ yr}$ થી વધુ ઉંમરની સ્ત્રીઓની સંખ્યા $n(A \cap F) = 3$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|F)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી હોય તે શરતે તેની ઉંમર $40 \text{ yr}$ થી વધુ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A|F) = \frac{n(A \cap F)}{n(F)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A|F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.