WBJEE 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે દળ $m_{1}$ ને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર અને દળ $m_{2}$ ને x-અક્ષ પર $R$ અંતરે $(R, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના x-યામનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
અહીં $x_{1} = 0$ અને $x_{2} = R$ કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m_{1} \times 0 + m_{2} \times R}{m_{1} + m_{2}}$
$X_{cm} = \frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$
આમ,$m_{1}$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$ થાય છે.

(C) વાયુના rms વેગનું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
અહીં $R$ અને $T$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,$M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$. આપેલ છે કે $v_{\text{rms}, H_2} = c$.
ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે,$M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{\text{rms}, H_2}}{v_{\text{rms}, O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$v_{\text{rms}, O_2} = \frac{v_{\text{rms}, H_2}}{4} = \frac{c}{4}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,પ્રવેગ $a = 4.9 \ ms^{-2}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 9.8 \ ms^{-2}$.
$(i)$ જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ લઈ જવામાં આવે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$T_1 - mg = ma$
$T_1 = m(g + a) = 1 \times (9.8 + 4.9) = 14.7 \ N$
(ii) જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ લાવવામાં આવે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T_2 = ma$
$T_2 = m(g - a) = 1 \times (9.8 - 4.9) = 4.9 \ N$
પ્રથમ અને બીજા કિસ્સામાં તણાવનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{14.7}{4.9} = \frac{3}{1} = 3:1$

$(A)$ સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે થયેલું કાર્ય $W = \frac{1}{2} K x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
પ્રથમ ખેંચાણ માટે, $x_1 = 1 \text{ mm}$, થયેલું કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2} K (1)^2 = 10 \text{ J}$ છે.
તેને વધુ $1 \text{ mm}$ ખેંચવા માટે, કુલ લંબાઈ $x_2 = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$ થાય છે.
આ ખેંચાણ માટે કુલ કાર્ય $W_2 = \frac{1}{2} K (x_2)^2 = \frac{1}{2} K (2)^2 = 4 \times (\frac{1}{2} K (1)^2) = 4 \times W_1$ છે.
$W_1 = 10 \text{ J}$ મૂકતા, આપણને $W_2 = 4 \times 10 \text{ J} = 40 \text{ J}$ મળે છે.
વધુ ખેંચવા માટે જરૂરી વધારાનું કાર્ય $W_{\text{extra}} = W_2 - W_1 = 40 \text{ J} - 10 \text{ J} = 30 \text{ J}$ છે.

(A) ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ એ $1000$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
$1000$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 1000 \times 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (10r)^2 = 400 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 400 \pi r^2 - 1000 \times 4 \pi r^2 = -3600 \pi r^2$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = S \times |\Delta A| = S \times 3600 \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 0.072 \times 3600 \times \pi \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 0.072 \times 3600 \times 3.14159 \times 10^{-6} \approx 8.143 \times 10^{-4} \ J$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ,ઉર્જાનો વ્યય $8.146 \times 10^{-4} \ J$ છે.

(D) ધારો કે ટીપાનું દળ $m$ છે.
ટીપાનું વજન $W = mg$ છે,જે નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
નળના મુખ પર ટીપા પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s = \sigma \cdot 2\pi R$ છે,જ્યાં $R$ એ નળના મુખની ત્રિજ્યા છે. આ બળ ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પાણીનું ટીપું ત્યારે છૂટું પડશે જ્યારે ટીપાનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરના બળ કરતા વધી જાય:
$mg > \sigma \cdot 2\pi R$
ગોળાકાર ટીપાનું દળ $m = V \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,જ્યાં $r$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે,આપણે આ કિંમત અસમતામાં મૂકીએ:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g > \sigma \cdot 2\pi R$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r^3 > \frac{2\pi R \sigma \cdot 3}{4\pi \rho g}$
$r^3 > \frac{3 R \sigma}{2 \rho g}$
$r > \left( \frac{3 R \sigma}{2 \rho g} \right)^{1/3}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ મેળવેલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગેસનો પરપોટો $\rho = 1.75 \ g/cm^3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v_T = 0.35 \ cm/s$ ના અચળ ટર્મિનલ વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ગેસની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,પરપોટા પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ (ઉપરની તરફ) અને સ્નિગ્ધતા બળ $F_V$ (નીચેની તરફ) છે.
ટર્મિનલ વેગ પર,કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $F_V = F_b$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધતા બળ $F_V = 6 \pi \eta r v_T$ છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $6 \pi \eta r v_T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$.
$\eta$ માટે ઉકેલતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v_T}$.
આપેલ છે: $r = 1 \ cm$,$\rho = 1.75 \ g/cm^3$,$v_T = 0.35 \ cm/s$,$g = 980 \ cm/s^2$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(1)^2 \times 1.75 \times 980}{0.35} = \frac{2}{9} \times 4900 \approx 1088.8 \ \text{poise} \approx 1089 \ \text{poise}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કંપન કરતા કણનો પ્રવેગ $a$ એ સંબંધ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: પ્રવેગ $a = 16 \ cm/s^2$ અને સ્થાનાંતર $x = 4 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16 = \omega^2 \times 4$
$\omega^2 = \frac{16}{4} = 4$
$\omega = 2 \ rad/s$
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$
$\pi \approx 3.142$ લેતા,આપણને $T = 3.142 \ s$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ તળાવની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ કોઈ પણ સમયે $t$ પર બરફના સ્તરની જાડાઈ છે. બરફના સ્તર પર તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 0^{\circ} C - (-20^{\circ} C) = 20^{\circ} C$ છે.
બરફના સ્તરમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA \Delta T}{x} = \frac{kA(20)}{x}$.
જેમ જેમ બરફનું સ્તર સમય $dt$ માં $dx$ જેટલું જાડું થાય છે,તેમ મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = L dm = L(\rho A dx)$ છે.
$\frac{dQ}{dt}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho A L \frac{dx}{dt} = \frac{20 k A}{x}$
$\int_{0}^{Z} x dx = \int_{0}^{t} \frac{20 k}{\rho L} dt$
$\frac{Z^2}{2} = \frac{20 k}{\rho L} t$
$Z^2 = \frac{40 k}{\rho L} t$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા (પાવર) તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$P \propto T^4$
ધારો કે સૂર્યનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રાપ્ત થતો પ્રારંભિક પાવર $P_1$ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2 = 2T$ થાય છે.
નવો પ્રાપ્ત થતો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_2 \propto (T_2)^4$
$P_2 \propto (2T)^4$
$P_2 \propto 16T^4$
તેથી,નવા પાવર અને પ્રારંભિક પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{16T^4}{T^4} = 16$
આમ,પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(D) $T$ તાપમાને બ્લેકબોડી રેડિયેશનની ઉર્જા ઘનતા $u = aT^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ રેડિયેશન અચળાંક છે.
$V$ કદના પાત્રમાં કુલ ઉર્જા $E = uV = aVT^4$ છે.
તાપમાન $T_1$ થી $T_2$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta E = aV(T_2^4 - T_1^4)$ છે.
પ્રશ્નમાં પાત્રનું કદ $V$ આપેલું ન હોવાથી,જરૂરી ઉષ્માનું ચોક્કસ મૂલ્ય ગણવું અશક્ય છે.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(B) હાઇડ્રોજન વાયુનું દળ $m = 4 \ g$ આપેલ છે.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ નું આણ્વીય દળ $M = 2 \ g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{m}{M} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $p V = n R T$ છે.
$n = 2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $p V = 2 R T$ મળે છે.

(D) નળી એક છેડે બંધ હોવાથી,તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે. નળીમાં ઉત્પન્ન થતી લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) એવી સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં નળીની લંબાઈ $l = \frac{\lambda}{4}$ થાય.
આપેલ છે: $l = 1.0 \text{ m}$,$f = 84 \text{ Hz}$.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4l = 4 \times 1.0 = 4 \text{ m}$.
હવામાં ધ્વનિનો વેગ $v = f \lambda = 84 \times 4 = 336 \text{ m/s}$ છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v^{2} = \frac{\gamma P}{\rho}$ મળે છે.
$\gamma$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$\gamma = \frac{v^{2} \rho}{P}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{(336)^{2} \times 1.2}{1.0 \times 10^{5}} = \frac{112896 \times 1.2}{100000} = \frac{135475.2}{100000} \approx 1.355$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\gamma = 1.4$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે।
નોંધો કે આદર્શ વાયુ માટે ધ્વનિનો વેગ દબાણથી સ્વતંત્ર છે।
આપેલ છે:
$T_1 = 273 + 20 = 293 \text{ K}$
$T_2 = 273 + 40 = 313 \text{ K}$
$v_1 = 344.2 \text{ m/s}$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{313}{293}}$
$v_2 = 344.2 \times \sqrt{1.06826}$
$v_2 \approx 344.2 \times 1.03356$
$v_2 \approx 355.75 \text{ m/s} \approx 356 \text{ m/s}$.

(B) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $mv = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $\frac{h}{\lambda} r = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2\pi r = n\lambda$ મળે છે,જ્યાં $2\pi r$ એ $n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$ છે.
તેથી,બીજી કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r = 2\lambda$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે બીજી બોહર કક્ષામાં સમાયેલી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ માટે અને બીજી રેખા $n_2 = 4$ માટે છે.
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda_B = 600 \ nm$,તેથી $\frac{1}{600} = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{1800} \ nm^{-1}$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. ત્રીજી રેખા $n_2 = 4$ માટે છે (કારણ કે $n_2 = 2, 3, 4, \dots$).
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{15}{16} \right)$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_L} = \left( \frac{16}{1800} \right) \left( \frac{15}{16} \right) = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$.
તેથી,$\lambda_L = 120 \ nm$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આ પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. ચાલો તેને સરળ બનાવીએ.
$1$. ઉપરની શાખામાં (બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે) રહેલા બે $4 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $C_1 = 2 \mu F$.
$2$. નીચેની શાખાઓમાં (બિંદુ $C$ સાથે જોડાયેલા) રહેલા બે $4 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ પણ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ છે: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $C_2 = 2 \mu F$.
$3$. આ $C_2$ એ વચ્ચેના $4 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આમ,આ મધ્ય ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_3 = C_2 + 4 \mu F = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$ થાય.
$4$. અંતે,$C_1$ અને $C_3$ એ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_3 = 2 \mu F + 6 \mu F = 8 \mu F$ થાય.

(B) ધારો કે શરૂઆતના અવરોધો $R_1 = 400 \Omega$ અને $R_2 = 400 \Omega$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 800 \Omega$ છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 8 / 800 = 0.01 A$ છે. બીજા અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I R_2 = 0.01 \times 400 = 4 V$ છે.
જ્યારે $R_1$ માં $0.5 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = 400 + (0.5 / 100) \times 400 = 400 + 2 = 402 \Omega$ થાય છે.
$R_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 4 V$ અચળ રાખવા માટે,પ્રવાહ $I$ અચળ રહેવો જોઈએ. આ માટે $R_2 / (R_1 + R_2)$ નો ગુણોત્તર અચળ રહેવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $R_2$ માં પણ $0.5 \%$ નો વધારો થવો જોઈએ.
$R_2$ માં જરૂરી વધારો = $400$ ના $0.5 \% = 2 \Omega$.

(C) ધારો કે લિંક $AB$ નો અવરોધ $R_{AB} = 1 \Omega$ છે. ધારો કે જ્યારે લિંક $AB$ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે ઘનના બાકીના ભાગનો અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ છે.
જ્યારે લિંક $AB$ હાજર હોય,ત્યારે તે ઘનના બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{eq}}$
આપેલ છે કે $R_{total} = \frac{7}{12} \Omega$ અને $R_{AB} = 1 \Omega$:
$\frac{12}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{R_{eq}}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12}{7} - 1 = \frac{5}{7}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{7}{5} \Omega$.

(C) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ $\tau = R \cdot C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$C = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F$
$R = 1 \text{ M}\Omega = 1 \times 10^{6} \Omega$
તેથી, $\tau = (1 \times 10^{6} \Omega) \times (1 \times 10^{-6} F) = 1 \text{ s}$.
ચાર્જિંગ કેપેસિટર પર $t$ સમયે વોલ્ટેજ $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = 1 \text{ s}$ અને $\tau = 1 \text{ s}$ મૂકતા:
$V(1) = 10(1 - e^{-1/1}) = 10(1 - e^{-1})$.
$e^{-1} \approx 0.37$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$V(1) \approx 10(1 - 0.37) = 10(0.63) = 6.3 V$.
આમ, $1 \text{ s}$ પછી કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ આશરે $6.3 V$ છે.

(A) પ્રવાહ $I = I_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર છે,તેથી $I = \frac{dQ}{dt}$.
તેથી,$dQ = I dt = I_{0} e^{-\lambda t} dt$.
સમગ્ર પલ્સ સમયગાળા દરમિયાન કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = \infty$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$Q = \int_{0}^{\infty} I_{0} e^{-\lambda t} dt$
$Q = I_{0} \left[ \frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda} \right]_{0}^{\infty}$
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [e^{-\infty} - e^{0}]$
કારણ કે $e^{-\infty} = 0$ અને $e^{0} = 1$,આપણને મળે છે:
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [0 - 1] = \frac{I_{0}}{\lambda}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે બે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2}$
તારની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_{1} = A_{2} = A)$.
$R_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1}}{A} + \frac{\rho_{2} l_{2}}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
સમતુલ્ય તાર માટે,કુલ લંબાઈ $L = l_{1} + l_{2}$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે. સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho_{eq}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$R_{eq} = \frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A}$
$R_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
$\rho_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{l_{1} + l_{2}}$

(C) ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV}$
$V$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$
ઇલેક્ટ્રોન માટે આ સૂત્રનું સરળ સ્વરૂપ:
$V \approx \frac{150}{\lambda^2} \text{ V}$, જ્યાં $\lambda$ એ $\text{Å}$ માં છે.
અહીં $\lambda = 1 \text{ Å}$ આપેલ છે:
$V = \frac{150}{(1)^2} = 150 \text{ V}$.
આમ, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $150 \text{ V}$ છે.

(D) સીઝિયમનું કાર્ય વિધેય $\phi = 2.27 eV$ છે.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m$ છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા ($h = 6.63 \times 10^{-34} Js$,$c = 3 \times 10^8 m/s$):
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} J = 3.315 \times 10^{-19} J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવતા:
$E = \frac{3.315 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 2.07 eV$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(2.07 eV)$ એ સીઝિયમના કાર્ય વિધેય $(2.27 eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થશે નહીં.
તેથી,કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં અને કોઈ કટ-ઓફ વોલ્ટેજની જરૂર પડશે નહીં. આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) બિંદુવત સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $I \propto \frac{1}{r^2}$.
જ્યારે અંતર $d$ થી બદલીને $\frac{d}{2}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી તીવ્રતા $I' = \frac{1}{(d/2)^2} = 4 \times \frac{1}{d^2} = 4I$ થાય છે.
કારણ કે દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી ઉત્સર્જનનો દર મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણો થઈ જશે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{max} = h\nu - \phi$,જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આવૃત્તિ $\nu$ બદલાતી ન હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ સમાન રહે છે,કારણ કે $eV_s = KE_{max}$.

(C) આપેલ છે, $L_{1} = 6 mH = 6 \times 10^{-3} H$ અને $L_{2} = 8 mH = 8 \times 10^{-3} H$.
જ્યારે બે ગૂંચળા $L_{1}$ અને $L_{2}$ ને શ્રેણીમાં મહત્તમ કપલિંગ ગુણાંક $(k = 1)$ સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નું સૂત્ર:
$L = L_{1} + L_{2} + 2M$
જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ છે, $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
મહત્તમ કપલિંગ માટે, $k = 1$, તેથી $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = L_{1} + L_{2} + 2 \sqrt{L_{1} L_{2}} \text{ (} mH \text{ માં)}$
$L = 14 + 2 \sqrt{48}$
$L = 14 + 2 \times 6.928$
$L = 14 + 13.856 = 27.856 mH$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $L \approx 28 mH$ મળે છે.

(B) પોલા વિદ્યુતભારીત ધાતુના ગોળાની અંદર,વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ગોળાની અંદરની ગૌસિયન સપાટીમાં કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરાયેલો હોતો નથી.
$\therefore E = 0$.
જોકે,ગોળાની અંદર વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
પોલા ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$.
આમ,ગોળાની અંદર સ્થિતિમાન $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે.

(B) સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતભાર $q$ ને ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે,કારણ કે $W = q \Delta V$ અને $\Delta V = 0$ થાય છે.
કારણ કે કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ પૃષ્ઠ પરના સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
આથી,વિદ્યુત બળરેખાઓ હંમેશા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(A) જ્યારે પ્રવાહ ધારિત લંબચોરસ ગૂંચળાને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળાના વિવિધ બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,ગૂંચળાના વિવિધ ભાગો પર લાગતા ચુંબકીય બળો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી,જેના પરિણામે કુલ બળ શૂન્ય હોતું નથી.
વધુમાં,કારણ કે બળો એવી રીતે વિતરિત થાય છે કે તેઓ એક બિંદુ પર કાર્ય કરતા નથી અથવા સંતુલિત હોતા નથી,તેથી શૂન્ય ન હોય તેવું કુલ ટોર્ક પણ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,ગૂંચળા પર લાગતું કુલ બળ અને કુલ ટોર્ક બંને શૂન્ય નથી.
આવા બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને જોતા,જ્યાં એક જવાબ અપેક્ષિત હોય છે,$(a)$ અને $(d)$ બંને ભૌતિક રીતે સાચા વિધાનો છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\vec{E} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k} \text{ V m}^{-1}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ T}$,$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m s}^{-1}$,અને $q = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
પ્રથમ,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ હોવાથી,સદિશો સમાંતર છે $(\vec{v} \parallel \vec{B})$.
તેથી,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_m = 0$.
હવે,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{F}_e = (-1.6 \times 10^{-19}) (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}) = -4.8 \times 10^{-19}\hat{i} - 9.6 \times 10^{-19}\hat{j} - 3.2 \times 10^{-19}\hat{k} \text{ N}$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = |\vec{F}_e| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{9 + 36 + 4} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{49} = 1.6 \times 10^{-19} \times 7 = 1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$.
આમ,$1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ બે વીજભારો વચ્ચે લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત કુલંબ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળને કુલંબ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m_{1} v^{2}}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^{2} = \frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}$
$v = \sqrt{\frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}}$
હવે,આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$T = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{4 \pi^{2} r^{2} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} m_{1} r^{3}}{|q_{1} q_{2}|}}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ આવર્તકાળ $T$ માટેનું સાચું સૂત્ર છે (ધારી લઈએ કે આકર્ષણ માટે $q_{1}$ અને $q_{2}$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે).

(D) આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે આપાતકોણ એ પોલરાઇઝિંગ કોણ $(i_p)$ હોય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$,જે આપણને $r = 90^{\circ} - i$ આપે છે.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
અહીં $i = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ થાય.

(C) કાચની પ્લેટની જાડાઈ $t$ આપેલ છે.
કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $c$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $(v)$,વક્રીભવનાંક $(\mu)$ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના વેગ $(c)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
તેથી,કાચની પ્લેટમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ થશે.
અચળ ઝડપ $(v)$ થી અંતર $(t)$ કાપવા માટે લાગતો સમય $(T)$ એ $T = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{t}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{t}{c / \mu} = \frac{\mu t}{c}$.
આમ,લાગતો સમય $\frac{\mu t}{c}$ છે.

(D) ઝેનર ડાયોડ $R = 100 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $V = 10 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
જ્યારે ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં હોય,ત્યારે તે તેના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ જેટલો અચળ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે,$V_Z = 5.6 \ V$.
અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V - V_Z = 10 \ V - 5.6 \ V = 4.4 \ V$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાંથી (અને તેથી ઝેનર ડાયોડમાંથી) વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{\Delta V}{R} = \frac{4.4 \ V}{100 \ \Omega} = 0.044 \ A$.
આને મિલીએમ્પિયરમાં ફેરવતા:
$I = 0.044 \times 1000 \ mA = 44 \ mA$.

(C) આપેલ છે: કરંટ ગેઈન $\beta = 45$,કલેક્ટર અવરોધ $R_C = 1 \ k\Omega = 1000 \ \Omega$,કલેક્ટર અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_C = 5 \ V$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કલેક્ટર કરંટ $I_C = \frac{V_C}{R_C}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_C = \frac{5 \ V}{1000 \ \Omega} = 5 \times 10^{-3} \ A = 5 \ mA$.
કલેક્ટર કરંટ $I_C$ અને બેઝ કરંટ $I_B$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ છે.
તેથી,$I_B = \frac{I_C}{\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_B = \frac{5 \times 10^{-3} \ A}{45} = \frac{1}{9} \times 10^{-3} \ A \approx 0.111 \times 10^{-3} \ A$.
માઈક્રોએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા: $I_B \approx 111 \ \mu A$.

(B) Fraunhofer વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો વિવર્તનકારક છિદ્ર અથવા અવરોધથી અનંત અંતરે હોય છે.
આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે છિદ્ર પર આપાત થતા તરંગો સમતલ તરંગો હોય છે,અને પડદા પર પહોંચતા વિવર્તિત કિરણો એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,વિવર્તનકારક ઘટકની સાપેક્ષમાં સ્ત્રોત અને પડદો બંને અનંત અંતરે હોવા આવશ્યક છે.