WBJEE 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमान $m_{1}$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है और द्रव्यमान $m_{2}$ x-अक्ष पर $R$ दूरी पर $(R, 0)$ पर स्थित है।
द्रव्यमान केंद्र के x-निर्देशांक का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
मान $x_{1} = 0$ और $x_{2} = R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{m_{1} \times 0 + m_{2} \times R}{m_{1} + m_{2}}$
$X_{cm} = \frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$
अतः,$m_{1}$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$ है।

(C) गैस के rms वेग का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $R$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ है। दिया गया है कि $v_{\text{rms}, H_2} = c$ है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए,$M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_{\text{rms}, H_2}}{v_{\text{rms}, O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_{\text{rms}, O_2} = \frac{v_{\text{rms}, H_2}}{4} = \frac{c}{4}$ होगा।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,त्वरण $a = 4.9 \ ms^{-2}$,गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \ ms^{-2}$।
$(i)$ जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठाया जाता है,तो गति का समीकरण है:
$T_1 - mg = ma$
$T_1 = m(g + a) = 1 \times (9.8 + 4.9) = 14.7 \ N$
(ii) जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ नीचे लाया जाता है,तो गति का समीकरण है:
$mg - T_2 = ma$
$T_2 = m(g - a) = 1 \times (9.8 - 4.9) = 4.9 \ N$
पहले और दूसरे मामले में तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{14.7}{4.9} = \frac{3}{1} = 3:1$

$(A)$ स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} K x^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
पहले खिंचाव के लिए, $x_1 = 1 \text{ mm}$, किया गया कार्य $W_1 = \frac{1}{2} K (1)^2 = 10 \text{ J}$ है।
इसे $1 \text{ mm}$ और खींचने के लिए, कुल विस्तार $x_2 = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$ हो जाता है।
इस विस्तार के लिए कुल कार्य $W_2 = \frac{1}{2} K (x_2)^2 = \frac{1}{2} K (2)^2 = 4 \times (\frac{1}{2} K (1)^2) = 4 \times W_1$ है।
$W_1 = 10 \text{ J}$ रखने पर, हमें $W_2 = 4 \times 10 \text{ J} = 40 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
इसे और खींचने के लिए आवश्यक अतिरिक्त कार्य $W_{\text{extra}} = W_2 - W_1 = 40 \text{ J} - 10 \text{ J} = 30 \text{ J}$ है।

(A) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
$1000$ बूंदों का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 1000 \times 4 \pi r^2$ है।
बड़ी बूंद का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (10r)^2 = 400 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 400 \pi r^2 - 1000 \times 4 \pi r^2 = -3600 \pi r^2$ है।
ऊर्जा की हानि $\Delta E = S \times |\Delta A| = S \times 3600 \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\Delta E = 0.072 \times 3600 \times \pi \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 0.072 \times 3600 \times 3.14159 \times 10^{-6} \approx 8.143 \times 10^{-4} \ J$.
दिए गए विकल्प के अनुसार,ऊर्जा की हानि $8.146 \times 10^{-4} \ J$ है।

(D) माना बूंद का द्रव्यमान $m$ है।
बूंद का भार $W = mg$ है,जो नीचे की दिशा में कार्य करता है।
नल के मुख पर बूंद पर कार्य करने वाला पृष्ठ तनाव बल $F_s = \sigma \cdot 2\pi R$ है,जहाँ $R$ नल के मुख की त्रिज्या है। यह बल ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
पानी की बूंद तब अलग होगी जब बूंद का भार पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले ऊपर के बल से अधिक हो जाए:
$mg > \sigma \cdot 2\pi R$
चूंकि गोलाकार बूंद का द्रव्यमान $m = V \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है,जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है,हम इस मान को असमानता में रखते हैं:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g > \sigma \cdot 2\pi R$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r^3 > \frac{2\pi R \sigma \cdot 3}{4\pi \rho g}$
$r^3 > \frac{3 R \sigma}{2 \rho g}$
$r > \left( \frac{3 R \sigma}{2 \rho g} \right)^{1/3}$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प $A$,$B$ या $C$ प्राप्त समीकरण से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) गैस का बुलबुला $\rho = 1.75 \ g/cm^3$ घनत्व वाले द्रव में $v_T = 0.35 \ cm/s$ के स्थिर टर्मिनल वेग से ऊपर उठ रहा है।
चूंकि गैस का घनत्व नगण्य है,बुलबुले पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $F_b$ (ऊपर की ओर) और श्यान बल $F_V$ (नीचे की ओर) हैं।
टर्मिनल वेग पर,कुल बल शून्य होता है,इसलिए $F_V = F_b$।
स्टोक्स के नियम के अनुसार,श्यान बल $F_V = 6 \pi \eta r v_T$ है,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
उत्प्लावन बल $F_b = V \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $6 \pi \eta r v_T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$।
$\eta$ के लिए हल करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v_T}$।
दिया गया है: $r = 1 \ cm$,$\rho = 1.75 \ g/cm^3$,$v_T = 0.35 \ cm/s$,$g = 980 \ cm/s^2$।
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(1)^2 \times 1.75 \times 980}{0.35} = \frac{2}{9} \times 4900 \approx 1088.8 \ \text{poise} \approx 1089 \ \text{poise}$।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,कंपन करने वाले कण का त्वरण $a$,संबंध $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है: त्वरण $a = 16 \ cm/s^2$ और विस्थापन $x = 4 \ cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$16 = \omega^2 \times 4$
$\omega^2 = \frac{16}{4} = 4$
$\omega = 2 \ rad/s$
आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$
$\pi \approx 3.142$ का उपयोग करने पर,हमें $T = 3.142 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) माना $A$ तालाब का पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $x$ किसी समय $t$ पर बर्फ की परत की मोटाई है। बर्फ की परत के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = 0^{\circ} C - (-20^{\circ} C) = 20^{\circ} C$ है।
बर्फ की परत के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर चालन द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA \Delta T}{x} = \frac{kA(20)}{x}$।
जैसे-जैसे बर्फ की परत समय $dt$ में $dx$ तक मोटी होती है,मुक्त हुई ऊष्मा $dQ = L dm = L(\rho A dx)$ है।
$\frac{dQ}{dt}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\rho A L \frac{dx}{dt} = \frac{20 k A}{x}$
$\int_{0}^{Z} x dx = \int_{0}^{t} \frac{20 k}{\rho L} dt$
$\frac{Z^2}{2} = \frac{20 k}{\rho L} t$
$Z^2 = \frac{40 k}{\rho L} t$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा (शक्ति) उसके परम तापमान $(T)$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$P \propto T^4$
मान लीजिए कि सूर्य का प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्राप्त होने वाली प्रारंभिक शक्ति $P_1$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है,तो नया तापमान $T_2 = 2T$ होता है।
नई प्राप्त शक्ति $P_2$ इस प्रकार है:
$P_2 \propto (T_2)^4$
$P_2 \propto (2T)^4$
$P_2 \propto 16T^4$
इसलिए,नई शक्ति और प्रारंभिक शक्ति का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{16T^4}{T^4} = 16$
अतः,पृथ्वी पर प्राप्त होने वाली ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) $T$ तापमान पर ब्लैकबॉडी विकिरण का ऊर्जा घनत्व $u = aT^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ विकिरण नियतांक है।
$V$ आयतन के पात्र में कुल ऊर्जा $E = uV = aVT^4$ है।
तापमान को $T_1$ से $T_2$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $\Delta E = aV(T_2^4 - T_1^4)$ है।
चूंकि प्रश्न में पात्र का आयतन $V$ नहीं दिया गया है,इसलिए आवश्यक ऊष्मा का सटीक मान ज्ञात करना असंभव है।
अतः,दी गई जानकारी अपर्याप्त है।

(B) हाइड्रोजन गैस का द्रव्यमान $m = 4 \ g$ दिया गया है।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M = 2 \ g/mol$ होता है।
मोलों की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{m}{M} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$।
आदर्श गैस समीकरण $p V = n R T$ है।
$n = 2$ का मान रखने पर,हमें $p V = 2 R T$ प्राप्त होता है।

(D) नली एक सिरे पर बंद है,इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है। नली में उत्पन्न न्यूनतम आवृत्ति (मूल आवृत्ति) उस स्थिति के अनुरूप होती है जहाँ नली की लंबाई $l = \frac{\lambda}{4}$ होती है।
दिया गया है: $l = 1.0 \text{ m}$,$f = 84 \text{ Hz}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4l = 4 \times 1.0 = 4 \text{ m}$।
हवा में ध्वनि का वेग $v = f \lambda = 84 \times 4 = 336 \text{ m/s}$ है।
ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ सूत्र द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $P$ वायुमंडलीय दबाव है और $\rho$ हवा का घनत्व है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v^{2} = \frac{\gamma P}{\rho}$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\gamma = \frac{v^{2} \rho}{P}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\gamma = \frac{(336)^{2} \times 1.2}{1.0 \times 10^{5}} = \frac{112896 \times 1.2}{100000} = \frac{135475.2}{100000} \approx 1.355$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\gamma = 1.4$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
ध्यान दें कि आदर्श गैस के लिए ध्वनि का वेग दाब पर निर्भर नहीं करता है।
दिया गया है:
$T_1 = 273 + 20 = 293 \text{ K}$
$T_2 = 273 + 40 = 313 \text{ K}$
$v_1 = 344.2 \text{ m/s}$
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{313}{293}}$
$v_2 = 344.2 \times \sqrt{1.06826}$
$v_2 \approx 344.2 \times 1.03356$
$v_2 \approx 355.75 \text{ m/s} \approx 356 \text{ m/s}$.

(B) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना से,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
क्वांटाइजेशन शर्त में $mv = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{h}{\lambda} r = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
यह $2\pi r = n\lambda$ में सरल हो जाता है,जहाँ $2\pi r$ $n^{th}$ कक्षा की परिधि है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
इसलिए,दूसरी कक्षा की परिधि $2\pi r = 2\lambda$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि दूसरी बोहर कक्षा में निहित डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की संख्या $2$ है।

(D) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ होता है। पहली रेखा $n_2 = 3$ के लिए और दूसरी रेखा $n_2 = 4$ के लिए होती है।
$\frac{1}{\lambda_B} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
दिया गया है $\lambda_B = 600 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{600} = R \left( \frac{3}{16} \right) \implies R = \frac{16}{1800} \ nm^{-1}$.
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ होता है। तीसरी रेखा $n_2 = 4$ के लिए होती है (क्योंकि $n_2 = 2, 3, 4, \dots$)।
$\frac{1}{\lambda_L} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{15}{16} \right)$.
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_L} = \left( \frac{16}{1800} \right) \left( \frac{15}{16} \right) = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$.
अतः,$\lambda_L = 120 \ nm$.
चूंकि $120 \ nm$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना है। आइए इसे सरल करें।
$1$. ऊपरी शाखा में (बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच) स्थित दो $4 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,अतः $C_1 = 2 \mu F$।
$2$. निचली शाखाओं में (बिंदु $C$ से जुड़े) स्थित दो $4 \mu F$ के संधारित्र भी एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ है: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$,अतः $C_2 = 2 \mu F$।
$3$. यह $C_2$ बीच वाले $4 \mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। अतः,इस मध्य भाग की तुल्य धारिता $C_3 = C_2 + 4 \mu F = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$ है।
$4$. अंत में,$C_1$ और $C_3$ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में हैं। इसलिए,कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_3 = 2 \mu F + 6 \mu F = 8 \mu F$ है।

(B) माना प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 400 \Omega$ और $R_2 = 400 \Omega$ हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 800 \Omega$ है। परिपथ में धारा $I = V / R_{eq} = 8 / 800 = 0.01 A$ है। दूसरे प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $V_2 = I R_2 = 0.01 \times 400 = 4 V$ है।
जब $R_1$ में $0.5 \%$ की वृद्धि होती है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = 400 + (0.5 / 100) \times 400 = 400 + 2 = 402 \Omega$ हो जाता है।
$R_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 = 4 V$ को स्थिर रखने के लिए,धारा $I$ को स्थिर रहना चाहिए। इसके लिए $R_2 / (R_1 + R_2)$ का अनुपात स्थिर रहना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $R_2$ में भी $0.5 \%$ की वृद्धि होनी चाहिए।
$R_2$ में आवश्यक वृद्धि = $400$ का $0.5 \% = 2 \Omega$।

(C) मान लीजिए कि लिंक $AB$ का प्रतिरोध $R_{AB} = 1 \Omega$ है। मान लीजिए कि जब लिंक $AB$ को हटा दिया जाता है तो घन के शेष भाग का प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है।
जब लिंक $AB$ मौजूद होता है,तो यह घन के शेष नेटवर्क के साथ समानांतर क्रम में होता है। तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{eq}}$
दिया गया है कि $R_{total} = \frac{7}{12} \Omega$ और $R_{AB} = 1 \Omega$:
$\frac{12}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{R_{eq}}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12}{7} - 1 = \frac{5}{7}$
अतः,$R_{eq} = \frac{7}{5} \Omega$.

(C) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$, $\tau = R \cdot C$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$C = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F$
$R = 1 \text{ M}\Omega = 1 \times 10^{6} \Omega$
अतः, $\tau = (1 \times 10^{6} \Omega) \times (1 \times 10^{-6} F) = 1 \text{ s}$.
चार्ज होते हुए संधारित्र पर $t$ समय पर वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$t = 1 \text{ s}$ और $\tau = 1 \text{ s}$ रखने पर:
$V(1) = 10(1 - e^{-1/1}) = 10(1 - e^{-1})$.
चूंकि $e^{-1} \approx 0.37$, हमें प्राप्त होता है:
$V(1) \approx 10(1 - 0.37) = 10(0.63) = 6.3 V$.
इस प्रकार, $1 \text{ s}$ के बाद संधारित्र पर वोल्टेज लगभग $6.3 V$ है।

(A) धारा $I = I_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दी गई है।
हम जानते हैं कि धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $I = \frac{dQ}{dt}$.
अतः,$dQ = I dt = I_{0} e^{-\lambda t} dt$.
संपूर्ण पल्स अवधि के दौरान कुल आवेश $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = \infty$ तक समाकलन करते हैं:
$Q = \int_{0}^{\infty} I_{0} e^{-\lambda t} dt$
$Q = I_{0} \left[ \frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda} \right]_{0}^{\infty}$
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [e^{-\infty} - e^{0}]$
चूंकि $e^{-\infty} = 0$ और $e^{0} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$Q = \frac{I_{0}}{-\lambda} [0 - 1] = \frac{I_{0}}{\lambda}$.

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब दो तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2}$
चूंकि तारों की त्रिज्या समान है,इसलिए उनके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल समान हैं $(A_{1} = A_{2} = A)$।
$R_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1}}{A} + \frac{\rho_{2} l_{2}}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
तुल्य तार के लिए,कुल लंबाई $L = l_{1} + l_{2}$ है और क्षेत्रफल $A$ है। तुल्य प्रतिरोधकता $\rho_{eq}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$R_{eq} = \frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A}$
$R_{eq}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
$\rho_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{l_{1} + l_{2}}$

(C) इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और त्वरित विभवांतर $V$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV}$
$V$ के लिए हल करने पर:
$V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$
इलेक्ट्रॉन के लिए इस सूत्र का सरल रूप:
$V \approx \frac{150}{\lambda^2} \text{ V}$, जहाँ $\lambda$ का मान $\text{Å}$ में है।
यहाँ $\lambda = 1 \text{ Å}$ दिया गया है:
$V = \frac{150}{(1)^2} = 150 \text{ V}$.
अतः, आवश्यक विभवांतर $150 \text{ V}$ है।

(D) सीज़ियम का कार्य फलन $\phi = 2.27 eV$ है।
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर ($h = 6.63 \times 10^{-34} Js$,$c = 3 \times 10^8 m/s$):
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} J = 3.315 \times 10^{-19} J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने पर:
$E = \frac{3.315 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 2.07 eV$.
चूंकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(2.07 eV)$ सीज़ियम के कार्य फलन $(2.27 eV)$ से कम है,इसलिए प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं होगा।
अतः,कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा और किसी कट-ऑफ वोल्टेज की आवश्यकता नहीं होगी। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(A) बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $I \propto \frac{1}{r^2}$।
जब दूरी को $d$ से बदलकर $\frac{d}{2}$ कर दिया जाता है,तो नई तीव्रता $I' = \frac{1}{(d/2)^2} = 4 \times \frac{1}{d^2} = 4I$ हो जाती है।
चूंकि प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए उत्सर्जन की दर मूल मान का $4$ गुना हो जाएगी।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{max} = h\nu - \phi$,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि आवृत्ति $\nu$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ और निरोधी विभव $(V_s)$ समान रहते हैं,क्योंकि $eV_s = KE_{max}$।

(C) दिया गया है, $L_{1} = 6 mH = 6 \times 10^{-3} H$ और $L_{2} = 8 mH = 8 \times 10^{-3} H$.
जब दो कुंडलियों $L_{1}$ और $L_{2}$ को श्रेणीक्रम में उच्चतम युग्मन गुणांक $(k = 1)$ के साथ जोड़ा जाता है, तो समतुल्य स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र है:
$L = L_{1} + L_{2} + 2M$
जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है, $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
उच्चतम युग्मन के लिए, $k = 1$, इसलिए $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$.
मान रखने पर:
$L = L_{1} + L_{2} + 2 \sqrt{L_{1} L_{2}} \text{ (} mH \text{ में)}$
$L = 14 + 2 \sqrt{48}$
$L = 14 + 2 \times 6.928$
$L = 14 + 13.856 = 27.856 mH$
निकटतम पूर्णांक में, $L \approx 28 mH$ प्राप्त होता है।

(B) एक खोखले आवेशित धातु के गोले के अंदर,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता हमेशा शून्य होती है क्योंकि गोले के अंदर गाऊसी सतह के भीतर कोई आवेश नहीं होता है।
$\therefore E = 0$.
हालाँकि,गोले के अंदर विद्युत विभव स्थिर रहता है और यह इसकी सतह पर मौजूद विभव के बराबर होता है।
खोखले गोले की सतह पर विभव इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$.
अतः,गोले के अंदर विभव $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ है और विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।

(B) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है,क्योंकि $W = q \Delta V$ और $\Delta V = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को पृष्ठ के अनुदिश विस्थापन $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,विद्युत बल रेखाएं हमेशा समविभव पृष्ठ के लंबवत होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(A) जब एक धारावाही आयताकार कुंडली को असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो कुंडली के विभिन्न बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग होती है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र असमान है,इसलिए कुंडली के विभिन्न खंडों पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल बल शून्य नहीं होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि बल इस प्रकार वितरित होते हैं कि वे एक बिंदु पर कार्य नहीं करते हैं या संतुलित नहीं होते हैं,इसलिए एक गैर-शून्य कुल आघूर्ण (टॉर्क) भी उत्पन्न होता है।
इसलिए,कुंडली पर कार्य करने वाला कुल बल और कुल आघूर्ण दोनों ही शून्य नहीं हैं।
ऐसे बहुविकल्पीय प्रश्नों की मानक प्रकृति को देखते हुए,जहाँ एक उत्तर अपेक्षित होता है,$(a)$ और $(d)$ दोनों भौतिक रूप से सही कथन हैं।

(D) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है: $\vec{E} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k} \text{ V m}^{-1}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ T}$,$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m s}^{-1}$,और $q = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
सबसे पहले,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें।
यहाँ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ हैं,इसलिए सदिश समानांतर हैं $(\vec{v} \parallel \vec{B})$।
अतः,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{F}_m = 0$।
अब,विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ की गणना करें।
$\vec{F}_e = (-1.6 \times 10^{-19}) (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}) = -4.8 \times 10^{-19}\hat{i} - 9.6 \times 10^{-19}\hat{j} - 3.2 \times 10^{-19}\hat{k} \text{ N}$।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = |\vec{F}_e| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{9 + 36 + 4} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{49} = 1.6 \times 10^{-19} \times 7 = 1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$।
चूँकि $1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल दोनों आवेशों के बीच लगने वाले स्थिर-वैद्युत कूलम्ब बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अभिकेंद्र बल को कूलम्ब बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m_{1} v^{2}}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^{2} = \frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}$
$v = \sqrt{\frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}}$
अब,आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
$v$ का मान रखने पर:
$T = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{4 \pi^{2} r^{2} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} m_{1} r^{3}}{|q_{1} q_{2}|}}$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ आवर्तकाल $T$ के लिए सही व्यंजक है (यह मानते हुए कि आकर्षण के लिए $q_{1}$ और $q_{2}$ विपरीत चिह्न के हैं)।

(D) दिया गया है कि आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण ध्रुवण कोण $(i_p)$ होता है।
स्नेल के नियम से,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
चूंकि परावर्तित और अपवर्तित किरणें लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$,जिससे $r = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।
इसे स्नेल के नियम में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$।
चूंकि $i = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।

(C) कांच की प्लेट की मोटाई $t$ दी गई है।
कांच का अपवर्तनांक $\mu$ है।
निर्वात में प्रकाश का वेग $c$ है।
माध्यम में प्रकाश का वेग $(v)$,अपवर्तनांक $(\mu)$ और निर्वात में प्रकाश के वेग $(c)$ से इस प्रकार संबंधित है: $\mu = \frac{c}{v}$।
अतः,कांच की प्लेट में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ होगी।
नियत गति $(v)$ से दूरी $(t)$ तय करने में लगा समय $(T)$,$T = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{t}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर: $T = \frac{t}{c / \mu} = \frac{\mu t}{c}$।
इस प्रकार,लगा हुआ समय $\frac{\mu t}{c}$ है।

(D) ज़ेनर डायोड $R = 100 \ \Omega$ के प्रतिरोध और $V = 10 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
जब ज़ेनर डायोड ब्रेकडाउन क्षेत्र में होता है,तो यह अपने ब्रेकडाउन वोल्टेज के बराबर स्थिर वोल्टेज बनाए रखता है,$V_Z = 5.6 \ V$।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $\Delta V = V - V_Z = 10 \ V - 5.6 \ V = 4.4 \ V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ (और इस प्रकार ज़ेनर डायोड) से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ है:
$I = \frac{\Delta V}{R} = \frac{4.4 \ V}{100 \ \Omega} = 0.044 \ A$।
इसे मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$I = 0.044 \times 1000 \ mA = 44 \ mA$।

(C) दिया गया है: धारा लाभ $\beta = 45$,कलेक्टर प्रतिरोध $R_C = 1 \ k\Omega = 1000 \ \Omega$,कलेक्टर प्रतिरोध पर विभव पतन $V_C = 5 \ V$।
हम जानते हैं कि कलेक्टर धारा $I_C = \frac{V_C}{R_C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_C = \frac{5 \ V}{1000 \ \Omega} = 5 \times 10^{-3} \ A = 5 \ mA$।
कलेक्टर धारा $I_C$ और आधार धारा $I_B$ के बीच संबंध $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ है।
अतः,$I_B = \frac{I_C}{\beta}$।
मान रखने पर: $I_B = \frac{5 \times 10^{-3} \ A}{45} = \frac{1}{9} \times 10^{-3} \ A \approx 0.111 \times 10^{-3} \ A$।
माइक्रोएम्पियर में बदलने पर: $I_B \approx 111 \ \mu A$।

(B) Fraunhofer विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा विवर्तनकारी छिद्र या अवरोध से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
यह सुनिश्चित करता है कि छिद्र पर आपतित तरंगाग्र समतल तरंगाग्र हों,और पर्दे तक पहुँचने वाली विवर्तित किरणें एक-दूसरे के समानांतर हों।
इसलिए,विवर्तनकारी तत्व के सापेक्ष स्रोत और पर्दा दोनों का अनंत पर होना आवश्यक है।