WBJEE 2016 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $Paracetamol$ का रासायनिक नाम $N-(4-hydroxyphenyl)acetamide$ है। इसकी संरचना में एक बेंजीन वलय होती है जिसमें $1$-स्थिति पर एक हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ और $4$-स्थिति पर एक एसिटामिडो समूह $(-NHCOCH_3)$ जुड़ा होता है। यह एनाल्जेसिक (दर्द निवारक) और एंटीपायरेटिक (ज्वरनाशक) के रूप में कार्य करता है।

(A) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $3D$ निर्देशांक प्रणाली में हैं। $a$ भुजा की लंबाई वाला एक घन लें। घन के चार विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं। आइए दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक का विकर्ण और $(a,0,0)$ से $(0,a,a)$ तक का विकर्ण।
पहले विकर्ण का दिशा सदिश $\vec{d_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$ है।
दूसरे विकर्ण का दिशा सदिश $\vec{d_2} = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$ है।
इन दो सदिशों के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$
डॉट प्रोडक्ट (dot product) की गणना करने पर:
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$
परिमाण (magnitudes) की गणना करने पर:
$|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
$|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का कोसाइन $1/3$ है।

(C) माना $f(x) = \tan x - x$ है।
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए,हम जानते हैं कि $\tan x > x$,इसलिए $f(x) > 0$ है। अतः,$(0, \frac{\pi}{2})$ में कोई मूल नहीं है।
$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ के लिए,$\tan x$ ऋणात्मक है और $x$ धनात्मक है,इसलिए $f(x) = \tan x - x < 0$ है। अतः,$(\frac{\pi}{2}, \pi)$ में कोई मूल नहीं है।
$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ के लिए,हम सीमाओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(\pi) = \tan(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi < 0$ है।
जैसे $x \to \frac{3\pi}{2}^-$,$\tan x \to \infty$,इसलिए $f(x) \to \infty$ है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ पर सतत है और इसका चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,$(\pi, \frac{3\pi}{2})$ में कम से कम एक मूल स्थित है।

(B) पैरासिटामोल,जिसे एसिटामिनोफेन के रूप में भी जाना जाता है,रासायनिक रूप से $N$-($4$-हाइड्रॉक्सीफेनिल)एसिटामाइड है।
इसकी संरचना में एक बेंजीन रिंग होती है जिसमें एक हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ और एक एसिटामिडो समूह $(-NHCOCH_3)$ एक-दूसरे के सापेक्ष पैरा-स्थिति ($1,4$-स्थान) में जुड़े होते हैं।
इसलिए,सही संरचना विकल्प $B$ द्वारा दर्शाई गई है।

(A) कैनिज़ारो अभिक्रिया में उन एल्डिहाइड्स का असमानुपातन (disproportionation) होता है जिनमें $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु नहीं होते हैं,जिससे कार्बोक्सिलिक एसिड लवण और अल्कोहल बनते हैं। इस प्रक्रिया में कोई नया $C-C$ बंध नहीं बनता है।
इसके विपरीत:
- वुर्ट्ज़ अभिक्रिया में दो एल्काइल समूहों के बीच $C-C$ बंध बनता है $(2 \ R-X + 2 \ Na \longrightarrow R-R + 2 \ NaX)$।
- राइमर-टीमैन अभिक्रिया में फिनोल वलय पर फॉर्मिल समूह जुड़ता है,जिससे $C-C$ बंध बनता है।
- फ्रीडेल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन में एरोमैटिक वलय पर एसाइल समूह जुड़ता है,जिससे $C-C$ बंध बनता है।

(A, C) $CO_{2}$ की आकृति $sp$ संकरण और केंद्रीय कार्बन परमाणु पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) की अनुपस्थिति के कारण रेखीय होती है।
$HgCl_{2}$ ($sp$ संकरण,रेखीय) और $C_{2}H_{2}$ ($sp$ संकरण,रेखीय) दोनों की आकृति $CO_{2}$ के समान है।
$SnCl_{2}$ और $NO_{2}$ में केंद्रीय परमाणु पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होने के कारण उनकी आकृति कोणीय (bent) होती है।

(B) प्रबल अंतराआण्विक हाइड्रोजन बंधन के कारण,$HF$ का क्वथनांक हाइड्रोजन हैलाइडों में सबसे अधिक होता है।
शेष हाइड्रोजन हैलाइडों ($HCl$,$HBr$,$HI$) के लिए,क्वथनांक का निर्धारण वान डर वाल्स बलों के परिमाण द्वारा किया जाता है।
जैसे-जैसे समूह में नीचे जाने पर आणविक आकार और द्रव्यमान बढ़ता है,वान डर वाल्स बल बढ़ते हैं,जिससे क्वथनांक में वृद्धि होती है।
इसलिए,क्वथनांक का क्रम $HI > HBr > HCl$ है।
अतः,सही क्रम $HF > HI > HBr > HCl$ है।

(A) साम्यावस्था स्थिरांक $K_p$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध वॉट हॉफ समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\ln K_p = -\frac{\Delta H^\circ}{R} \left(\frac{1}{T}\right) + \frac{\Delta S^\circ}{R}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln K_p$ और $x = \frac{1}{T}$,ढाल $m$ का मान $-\frac{\Delta H^\circ}{R}$ के बराबर होता है।
ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H^\circ$ ऋणात्मक होता है $(\Delta H^\circ < 0)$।
इसलिए,ढाल $m = -\frac{\Delta H^\circ}{R}$ धनात्मक होगा।
अतः,ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए $\ln K_p$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख धनात्मक ढाल वाला होगा।

(D) $4^{th}$ आवर्त और $15^{th}$ समूह का तत्व आर्सेनिक $(As)$ है।
$15^{th}$ समूह के तत्व का बाह्य इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $ns^{2} np^{3}$ होता है।
चूंकि आर्सेनिक $4^{th}$ आवर्त का है,इसलिए इसमें $3d$ उपकोश भी पूर्णतः भरा होता है।
अतः,$As$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{2} 4p^{3}$ है।
यह विन्यास दर्शाता है कि इसमें पूर्णतः भरी हुई $s$- और $d$-कक्षकें और आधी भरी हुई $p$-कक्षक है।

(D) जलीय $CuSO_{4}$ विलयन से धात्विक $Cu$ प्राप्त करने के लिए आयरन $(Fe)$ का उपयोग किया जाता है क्योंकि $Fe$,$Cu$ से अधिक अभिक्रियाशील है (इसका मानक अपचयन विभव $Cu$ से कम होता है),इसलिए यह $CuSO_{4}$ विलयन से कॉपर को विस्थापित करके धात्विक कॉपर $(Cu)$ देता है।
$CuSO_{4(aq)} + Fe_{(s)} \longrightarrow FeSO_{4(aq)} + Cu_{(s)}$

(B) किसी यौगिक के एरोमैटिक होने के लिए,उसे हकल के नियम का पालन करना चाहिए:
$(I)$ अणु चक्रीय होना चाहिए।
$(II)$ अणु समतलीय (planar) होना चाहिए।
$(III)$ अणु पूरी तरह से संयुग्मित (conjugated) होना चाहिए।
$(IV)$ अणु में $(4n+2) \pi$ इलेक्ट्रॉन होने चाहिए,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$।
दिए गए यौगिकों का विश्लेषण:
$(A)$ साइक्लोप्रोपेनाइल धनायन: चक्रीय,समतलीय,संयुग्मित और $2 \pi$ इलेक्ट्रॉन $(n=0)$ हैं। यह एरोमैटिक है।
$(B)$ साइक्लोऑक्टाटेट्राईन: इसमें $8 \pi$ इलेक्ट्रॉन ($4n$ सिस्टम,$n=2$) हैं। इसके अलावा,यह एंटी-एरोमैटिकिटी से बचने के लिए एक गैर-समतलीय 'टब' आकार अपनाता है। अतः,यह एरोमैटिक नहीं है।
$(C)$ साइक्लोपेंटाडाइनाइल ऋणायन: चक्रीय,समतलीय,संयुग्मित और $6 \pi$ इलेक्ट्रॉन $(n=1)$ हैं। यह एरोमैटिक है।
$(D)$ $6-$(डाइमिथाइलअमीनो)फुल्विन: यह एक फुल्विन व्युत्पन्न है जो एरोमैटिक गुण प्रदर्शित करता है।
अतः,साइक्लोऑक्टाटेट्राईन एरोमैटिक नहीं है।

(B, D) विकल्प $A$: दी गई संरचनाएं $but-2-ene$ के $cis$ और $trans$ समावयवी हैं,जो डायस्टेरियोमर्स हैं,प्रतिबिंब रूप नहीं। अतः,यह गलत है।
विकल्प $B$: $CH_3CHO$ की $HCN$ के साथ अभिक्रिया से सायनोहाइड्रिन प्राप्त होता है। चूंकि कार्बोनिल कार्बन $sp^2$ संकरित (समतलीय) होता है,इसलिए साइनाइड आयन दोनों तरफ से समान प्रायिकता के साथ आक्रमण कर सकता है,जिसके परिणामस्वरूप सायनोहाइड्रिन का रेसमिक मिश्रण प्राप्त होता है। अतः,यह सही है।
विकल्प $C$: $butan-2-ol$ के दो फिशर प्रक्षेपों के लिए $R/S$ विन्यास निर्धारित करने पर,दोनों का विन्यास समान (जैसे,$R$) पाया जाता है। इसलिए,वे एक ही अणु को दर्शाते हैं और प्रतिबिंब रूप नहीं हैं। अतः,यह गलत है।
विकल्प $D$: $CH_3-CH=NOH$ (एसीटाल्डॉक्सिम) $C=N$ बंध के चारों ओर प्रतिबंधित घूर्णन और नाइट्रोजन परमाणु पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित करता है,जिससे $syn$ और $anti$ (या $cis$ और $trans$) समावयवी बनते हैं। अतः,यह सही है।

(B) अभिक्रिया अनुक्रम में एल्काइन बनाने के लिए $NaNH_2$ का उपयोग करके विसिनल डाइब्रोमाइड का डिहाइड्रोहैलोजनीकरण शामिल है। $NaNH_2$ के साथ पहला चरण $hex-2-yne$ $(CH_3-C \equiv C-CH_2-CH_2-CH_3)$ उत्पन्न करने के लिए $HBr$ के दो अणुओं को हटा देता है।
दूसरे चरण में तरल $NH_3$ में $Na$ (बर्च रिडक्शन) का उपयोग करके एल्काइन का अपचयन शामिल है,जो आंतरिक एल्काइन को चयनात्मक रूप से $trans-alkene$ में अपचयित करता है।
इसलिए,अंतिम उत्पाद $X$,$trans-hex-2-ene$ है।

(B) एक चक्रीय एल्कीन का ओजोनोलिसिस द्वि-आबंध के विदलन (cleavage) का कारण बनता है,जिससे एक ही डाइकार्बोनिल यौगिक का निर्माण होता है। दिए गए विकल्पों में से,साइक्लोब्यूटीन एक चक्रीय एल्कीन है। ओजोनोलिसिस पर,साइक्लोब्यूटीन में द्वि-आबंध टूटकर ब्यूटेन$-1,4-$डायल (एक डाइकार्बोनिल यौगिक) बनाता है। अन्य विकल्प अचक्रीय एल्कीन हैं,जो ओजोनोलिसिस पर एक से अधिक कार्बोनिल यौगिक देंगे।

(B) एल्कीन का ओजोनोलिसिस और उसके बाद $Zn/H_2O$ के साथ अपचयन (रिडक्टिव ओजोनोलिसिस) में $C=C$ द्वि-आबंध का विखंडन होकर कार्बोनिल यौगिक बनते हैं।
$2,3-$डाइमिथाइल$-1-$ब्यूटीन की संरचना $(CH_3)_2CH-C(CH_3)=CH_2$ है।
ओजोनोलिसिस पर,$C=C$ आबंध टूटकर $HCHO$ (मेथेनल) और $(CH_3)_2CH-CO-CH_3$ ($3-$मिथाइल$-2-$ब्यूटेनोन) देता है।
अतः,मुख्य उत्पाद मेथेनल और $3-$मिथाइल$-2-$ब्यूटेनोन हैं।

(B) $(i)$ ऑर्थो और पैरा हाइड्रोजन का परमाणु चक्रण (nuclear spin) अलग होता है। $H_2$ अणु में,दो $H$ परमाणुओं में समानांतर चक्रण वाले दो प्रोटॉन को ऑर्थो-हाइड्रोजन कहा जाता है।
$(ii)$ कम तापमान पर पैरा-हाइड्रोजन ऑर्थो-रूप की तुलना में अधिक स्थिर होता है,जबकि कमरे के तापमान और उससे ऊपर ऑर्थो-हाइड्रोजन अधिक स्थिर होता है। इसलिए,यह कथन कि ऑर्थो-रूप पैरा-रूप से अधिक स्थिर है,सार्वभौमिक रूप से सही नहीं है।
$(iii)$ ऑर्थो और पैरा का प्रतिशत संगठन तापमान के साथ बदलता है। इस प्रकार,उनका अनुपात भी बदल जाता है।
$(iv)$ उनके क्वथनांक थोड़े अलग होते हैं।
अतः,$(B)$ सही उत्तर है।

(D) अम्लीय बफर विलयन का $pH$ हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$pH = pK_{a} + \log \frac{[salt]}{[acid]}$
$pH = pK_{a}$ के लिए,$\log \frac{[salt]}{[acid]} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[salt] = [acid]$.
$(1)$ $100 \ mL$ $0.1 \ M \ CH_{3}COOH$ $(10 \ mmol)$ + $100 \ mL$ $0.1 \ M \ CH_{3}COONa$ $(10 \ mmol)$.
यहाँ,$[salt] = [acid] = 10 \ mmol$. अतः,$pH = pK_{a} + \log(1) = pK_{a}$.
$(2)$ $100 \ mL$ $0.1 \ M \ CH_{3}COOH$ $(10 \ mmol)$ + $50 \ mL$ $0.1 \ M \ NaOH$ $(5 \ mmol)$.
अभिक्रिया: $CH_{3}COOH + NaOH \rightarrow CH_{3}COONa + H_{2}O$.
प्रारंभ में: $10 \ mmol \ CH_{3}COOH, 5 \ mmol \ NaOH$.
अंत में: $5 \ mmol \ CH_{3}COOH, 5 \ mmol \ CH_{3}COONa$.
चूंकि $[salt] = [acid] = 5 \ mmol$,इसलिए $pH = pK_{a} + \log(1) = pK_{a}$.
$(3)$ $100 \ mL$ $0.1 \ M \ CH_{3}COOH$ $(10 \ mmol)$ + $100 \ mL$ $0.1 \ M \ NaOH$ $(10 \ mmol)$.
यह पूर्ण उदासीनीकरण की ओर ले जाता है। बफर नहीं बनता है।
$(4)$ $CH_{3}COOH + NH_{3} \rightarrow CH_{3}COONH_{4}$.
यह एक दुर्बल अम्ल और दुर्बल क्षार का लवण बनाता है,बफर विलयन नहीं।
अतः,$(1)$ और $(2)$ दोनों $pH = pK_{a}$ की शर्त को पूरा करते हैं।

(B) अल्प विलेय लवण $MX_4$ के लिए:
$MX_{4(s)} \rightleftharpoons M^{4+}_{(aq)} + 4X^{-}_{(aq)}$
यदि मोलर विलेयता $S$ है,तो:
$[M^{4+}] = S$
$[X^{-}] = 4S$
विलेयता गुणनफल $K_{sp}$ इस प्रकार है:
$K_{sp} = [M^{4+}][X^{-}]^4$
$K_{sp} = (S)(4S)^4$
$K_{sp} = S \cdot 256S^4$
$K_{sp} = 256S^5$
$S^5 = \frac{K_{sp}}{256}$
$S = \left(\frac{K_{sp}}{256}\right)^{1/5}$

(A) केवल $KNO_{3}$ को गर्म करने पर $NO_{2}$ उत्पन्न नहीं होता है। तापीय अपघटन अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
$(a)$ $2 KNO_{3} \xrightarrow{\Delta} 2 KNO_{2} + O_{2}$
$(b)$ $2 Pb(NO_{3})_{2} \xrightarrow{\Delta} 2 PbO + 4 NO_{2} + O_{2}$
$(c)$ $2 Cu(NO_{3})_{2} \xrightarrow{\Delta} 2 CuO + 4 NO_{2} + O_{2}$
$(d)$ $2 AgNO_{3} \xrightarrow{\Delta} 2 Ag + 2 NO_{2} + O_{2}$
क्षार धातु नाइट्रेट (जैसे $KNO_{3}$) अपघटित होकर नाइट्राइट और ऑक्सीजन देते हैं,जबकि भारी धातु नाइट्रेट अपघटित होकर धातु ऑक्साइड (या धातु),नाइट्रोजन डाइऑक्साइड और ऑक्सीजन देते हैं।

(C) ठोस अवस्था में,$PCl_{5}$ स्वतः-आयनन (auto-ionization) के माध्यम से एक आयनिक जालक बनाता है,जिसमें चतुष्फलकीय $[PCl_{4}]^{+}$ धनायन और अष्टफलकीय $[PCl_{6}]^{-}$ ऋणायन होते हैं।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $2PCl_{5}(s) \longrightarrow [PCl_{4}]^{+}(s) + [PCl_{6}]^{-}(s)$.

(B) बंध लंबाई,बंध कोटि (bond order) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$1$. $O_{2}$ में,बंध कोटि $2$ है।
$2$. $O_{3}$ में,अनुनाद (resonance) के कारण बंध कोटि $1.5$ है।
$3$. $H_{2}O_{2}$ में,$O-O$ बंध एक एकल बंध है जिसकी बंध कोटि $1$ है।
बंध कोटि की तुलना करने पर: $O_{2} (2) > O_{3} (1.5) > H_{2}O_{2} (1)$।
अतः,बंध लंबाई का सही क्रम $H_{2}O_{2} > O_{3} > O_{2}$ है।

(B) जल में क्षारीय मृदा धातुओं के सल्फेट्स की विलेयता समूह में नीचे जाने पर घटती है।
इसका कारण यह है कि जैसे-जैसे धनायन का आकार बढ़ता है,हाइड्रेशन ऊर्जा जालक ऊर्जा (lattice energy) की तुलना में अधिक तेजी से घटती है।
सही क्रम है: $BeSO_{4} > MgSO_{4} > CaSO_{4} > SrSO_{4} > BaSO_{4}$।

(B) कैल्शियम कार्बाइड कैल्शियम एसिटाइलाइड,$CaC_2$ है,जिसकी संरचना $[Ca]^{2+} [:C \equiv C:]^{2-}$ है।
एसिटाइलाइड आयन $[:C \equiv C:]^{2-}$ में,दो कार्बन परमाणुओं के बीच एक त्रि-बंध होता है।
एक त्रि-बंध में एक सिग्मा $(\sigma)$ बंध और दो पाई $(\pi)$ बंध होते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $rms$ वेग $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{M}}$,इसलिए जिस गैस का मोलर द्रव्यमान $(M)$ सबसे कम होगा,उसकी $rms$ गति समान तापमान पर सबसे अधिक होगी।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $SO_{2} = 64 \ g/mol$,$CO_{2} = 44 \ g/mol$,$O_{2} = 32 \ g/mol$,और $H_{2} = 2 \ g/mol$।
चूंकि $H_{2}$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी $rms$ गति सबसे अधिक है।

(C) दिया गया समीकरण $\tan x - x = 0$ है,जिसका अर्थ है $\tan x = x$।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम वक्र $y = \tan x$ और $y = x$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$x = 0$ पर,दोनों वक्र मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं,लेकिन हमें सबसे छोटा धनात्मक मूल खोजना है।
अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\tan x > x$ है,इसलिए इस अंतराल में कोई प्रतिच्छेदन नहीं है।
अंतराल $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के लिए,$\tan x$ ऋणात्मक है जबकि $x$ धनात्मक है,इसलिए यहाँ भी कोई प्रतिच्छेदन नहीं है।
अंतराल $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ के लिए,वक्र $y = \tan x$ $x = \pi^+$ पर $-\infty$ से शुरू होता है और $x = \frac{3\pi}{2}^-$ पर $+\infty$ तक बढ़ता है। चूँकि रेखा $y = x$ इस अंतराल में धनात्मक है,इसलिए वक्र $y = \tan x$ रेखा $y = x$ को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मूल $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

(B) हमारे पास है,$\cos 15^{\circ} \cdot \cos 7.5^{\circ} \cdot \sin 7.5^{\circ}$
$= \frac{1}{2} \cos 15^{\circ} (2 \sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \cos 15^{\circ} \sin(2 \times 7.5^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ}$
$= \frac{1}{4} (2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ})$
$= \frac{1}{4} \sin(2 \times 15^{\circ})$
$= \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(B) शांकव का दिया गया समीकरण $y^{2}-4y=4x-4a$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $y^{2}-4y+4=4x-4a+4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(y-2)^{2}=4(x-a+1)$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $(y-k)^{2}=4A(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (a-1, 2)$ है।
मान लीजिए शीर्ष $(x_{0}, y_{0}) = (a-1, 2)$ है।
शीर्ष रेखाओं $x+y-3=0$ और $2x+2y-1=0$ के बीच स्थित है।
रेखाओं को $x+y$ के रूप में फिर से लिखने पर:
रेखा $1$: $x+y=3$.
रेखा $2$: $2(x+y)=1 \implies x+y=\frac{1}{2}$.
चूंकि शीर्ष इन दो समानांतर रेखाओं के बीच स्थित है,इसलिए शीर्ष के लिए $x+y$ का मान रेखाओं के लिए $x+y$ के मानों के बीच होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{2} < x_{0}+y_{0} < 3$.
$x_{0}+y_{0} = (a-1)+2 = a+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} < a+1 < 3$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर:
$\frac{1}{2}-1 < a < 3-1$,जो $-\frac{1}{2} < a < 2$ देता है।

(C) एक चक्कर में तय की गई दूरी कक्षा की परिधि है,जो $2 \pi r$ है।
वेग $(v)$ दूरी और समय $(T)$ का अनुपात है: $v = \frac{2 \pi r}{T}$।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ है,जिससे $v = \frac{nh}{2 \pi mr}$ प्राप्त होता है।
वेग के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{2 \pi r}{T} = \frac{nh}{2 \pi mr}$।
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{2 \pi r \times 2 \pi mr}{nh} = \frac{4 \pi^2 m r^2}{nh}$।

(C) $H_2$ बंध के एक मोल को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा $436 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
एकल बंध को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा $(E)$ = $\frac{436 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 7.24 \times 10^{-19} \ J$.
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $E = \frac{h \cdot c}{\lambda}$ है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र: $\lambda = \frac{h \cdot c}{E}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{7.24 \times 10^{-19} \ J} \approx 2.745 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में रूपांतरण: $\lambda \approx 274.5 \ nm \approx 274 \ nm$.

(C) स्थिर तापमान और दबाव पर अभिक्रिया के स्वतः प्रवर्तित (spontaneous) होने के लिए,गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन,$\Delta G$,ऋणात्मक होना चाहिए।
यह संबंध समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$.
अतः,स्वतः प्रवर्तित होने की शर्त $\Delta G < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(\Delta H - T \Delta S) < 0$।

(B) $Reimer-Tiemann$ अभिक्रिया में,एरोमैटिक वलय और फॉर्मिल समूह के बीच एक नया $C-C$ बंध बनता है।
$Cannizzaro$ अभिक्रिया में,$\alpha$-हाइड्रोजन रहित एल्डिहाइड का असमानुपातन (disproportionation) होता है,जिससे अल्कोहल और कार्बोक्सिलिक अम्ल का लवण बनता है। इस अभिक्रिया में कोई नया $C-C$ बंध नहीं बनता है।
$2HCHO \xrightarrow{\text{Conc. } NaOH} CH_3OH + HCOONa$
$Wurtz$ अभिक्रिया में,दो एल्किल हैलाइड सोडियम की उपस्थिति में अभिक्रिया करके उच्च एल्केन बनाते हैं,जिससे एक नया $C-C$ बंध बनता है।
$Friedel-Crafts$ एसाइलेशन में,एक एसाइल समूह को एरोमैटिक वलय में जोड़ा जाता है,जिससे वलय और एसाइल समूह के बीच एक नया $C-C$ बंध बनता है।
अतः,$Cannizzaro$ अभिक्रिया सही उत्तर है।

(C) लुकास अभिकर्मक परीक्षण का उपयोग प्राथमिक,द्वितीयक और तृतीयक अल्कोहल के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है।
तृतीयक अल्कोहल कमरे के तापमान पर तुरंत प्रतिक्रिया करके टर्बिडिटी (धुंधलापन) उत्पन्न करते हैं।
द्वितीयक अल्कोहल $5-10$ मिनट के भीतर प्रतिक्रिया करते हैं।
प्राथमिक अल्कोहल कमरे के तापमान पर लुकास अभिकर्मक के साथ प्रतिक्रिया नहीं करते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$CH_{3}CH_{2}CH_{2}OH$ एक प्राथमिक अल्कोहल है,इसलिए यह कमरे के तापमान पर प्रतिक्रिया नहीं करता है।

(B) क्षारीय माध्यम में,$\beta$-हाइड्रॉक्सी कार्बोनिल यौगिकों (एल्डोल उत्पाद) का निर्जलीकरण $E1cB$ क्रियाविधि द्वारा होता है।
सबसे पहले,क्षार अम्लीय $\alpha$-प्रोटॉन को हटाकर एनोलेट आयन बनाता है।
फिर,$\beta$-स्थान पर मौजूद हाइड्रॉक्साइड आयन $(-OH)$ निकलकर $\alpha,\beta$-असंतृप्त कार्बोनिल यौगिक बनाता है।
इसके लिए,अणु में एक कार्बोनिल समूह और उसके सापेक्ष $\beta$-स्थान पर एक हाइड्रॉक्सिल समूह होना चाहिए,और एक $\alpha$-हाइड्रोजन उपलब्ध होना चाहिए।
विकल्प $(B)$,$4$-हाइड्रॉक्सी$-2-$पेंटेनोन,एक $\beta$-हाइड्रॉक्सी कीटोन है जिसमें $\alpha$-हाइड्रोजन मौजूद है,जो आसानी से निर्जलीकृत होकर पेंट$-3-$ईन$-2-$ओन बनाता है।

(C) आयोडोफॉर्म परीक्षण उन यौगिकों द्वारा दिया जाता है जिनमें $CH_{3}CO-$ समूह या $CH_{3}CH(OH)-$ समूह होता है।
$CH_{3}CH(OH)CH_{2}CH_{3}$ एक द्वितीयक अल्कोहल है जिसमें $CH_{3}CH(OH)-$ समूह होता है,इसलिए यह परीक्षण देता है।
$CH_{3}COOH$ (एसिटिक एसिड) एक कार्बोक्सिलिक एसिड है।
एसिटिक एसिड में सबसे अधिक अम्लीय प्रोटॉन ऑक्सीजन परमाणु से जुड़ा होता है $(COOH)$।
हेलोफॉर्म अभिक्रिया के लिए मिथाइल कीटोन समूह $(CH_{3}CO-)$ से $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु का विप्रोटॉनीकरण (deprotonation) आवश्यक है।
चूंकि $CH_{3}COOH$ में मिथाइल कीटोन समूह नहीं होता है,इसलिए यह आयोडोफॉर्म अभिक्रिया नहीं देता है।

(A) कैनिज़ारो अभिक्रिया एक असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया है जो उन एल्डिहाइड द्वारा दी जाती है जिनमें $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु नहीं होता है।
$HCHO$,$Me_{3}CCHO$ और $C_{6}H_{5}CHO$ में $\alpha$-हाइड्रोजन नहीं होते हैं,इसलिए वे कैनिज़ारो अभिक्रिया देते हैं।
$Cl_{3}CCHO$ (क्लोरल) में भी $\alpha$-हाइड्रोजन नहीं होता है,लेकिन यह मानक कैनिज़ारो अभिक्रिया नहीं देता है।
इसके बजाय,जब इसे क्षार के साथ उपचारित किया जाता है,तो यह हेलोफॉर्म-प्रकार का विदलन (cleavage) करता है क्योंकि $CCl_{3}^{-}$ समूह एक उत्कृष्ट लिविंग ग्रुप है,जो तीन क्लोरीन परमाणुओं के प्रबल इलेक्ट्रॉन-आकर्षक प्रभाव के कारण कार्बोनियन को स्थिर करता है।
इसलिए,$Cl_{3}CCHO$ क्षार के साथ अभिक्रिया करके कैनिज़ारो अभिक्रिया के बजाय क्लोरोफॉर्म $(CHCl_{3})$ और फॉर्मेट $(HCOO^-)$ बनाता है।

(C) दिए गए यौगिकों की क्षारीयता प्रोटोनन के बाद बनने वाले संयुग्मी अम्ल की स्थिरता और नाइट्रोजन परमाणुओं पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) के अनुनाद स्थिरीकरण पर निर्भर करती है।
$(1)$ $CH_3CH_2NH_2$ (एथिलएमीन): एक प्राथमिक एलिफैटिक एमीन,जो एथिल समूह के $+I$ प्रभाव के कारण क्षारीय है।
$(2)$ $CH_3CH=NH$ (एथिलिडीनइमीन): नाइट्रोजन परमाणु $sp^2$ संकरित है,जिससे इसका एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म $sp^3$ संकरित नाइट्रोजन की तुलना में प्रोटोनन के लिए कम उपलब्ध होता है।
$(3)$ $CH_3C(=NH)NH_2$ (एसीटामिडिन): इमीन नाइट्रोजन पर मौजूद एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म अमीनो समूह के साथ अनुनाद में भाग लेता है,जो संयुग्मी अम्ल को काफी स्थिर करता है।
$(4)$ $H_2NC(=NH)NH_2$ (गुआनिडिन): यह सबसे अधिक क्षारीय यौगिक है क्योंकि संयुग्मी अम्ल पर मौजूद धनात्मक आवेश अनुनाद के माध्यम से तीन नाइट्रोजन परमाणुओं पर विस्थानीकृत (delocalized) हो जाता है,जो अधिकतम स्थिरता प्रदान करता है।
अतः,क्षारीयता का सही क्रम $2 < 1 < 3 < 4$ है।

(A, C) एथिल क्लोराइड इथेनॉलिक $KCN$ के साथ नाभिकरागी प्रतिस्थापन (nucleophilic substitution) अभिक्रिया करके एथिल साइनाइड बनाता है:
$C_2H_5Cl + KCN \xrightarrow{\text{Ethanol}} C_2H_5CN + KCl$
$(B)$ क्लोरोबेंजीन सामान्य परिस्थितियों में $KCN$ के साथ नाभिकरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया नहीं करता है क्योंकि $C-Cl$ बंध में आंशिक द्वि-बंध गुण होता है।
$(C)$ बेंज़ैल्डिहाइड $HCN$ के साथ अभिक्रिया करके (जो $KCN$ से अम्ल या अल्कोहलिक माध्यम में उत्पन्न होता है) साइनोहाइड्रिन बनाता है:
$C_6H_5CHO + HCN \rightarrow C_6H_5CH(OH)CN$
$(D)$ सैलिसिलिक एसिड $KCN$ के साथ अभिक्रिया नहीं करता है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक तत्व ${}_{Z}E^{M}$ है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $M$ परमाणु द्रव्यमान है।
जब एक $\alpha$-कण $({}_{2}He^{4})$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $2$ कम हो जाता है और परमाणु द्रव्यमान $4$ कम हो जाता है: ${}_{Z}E^{M} \rightarrow {}_{Z-2}E'^{M-4} + {}_{2}He^{4}$.
जब दो $\beta$-कण $({}_{-1}e^{0})$ उत्सर्जित होते हैं,तो प्रत्येक $\beta$-कण के लिए परमाणु क्रमांक $1$ बढ़ जाता है (कुल $2$ की वृद्धि),जबकि परमाणु द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है: ${}_{Z-2}E'^{M-4} \rightarrow {}_{Z}E''^{M-4} + 2({}_{-1}e^{0})$.
अंतिम तत्व ${}_{Z}E''^{M-4}$ है।
चूंकि अंतिम तत्व का परमाणु क्रमांक $Z$ प्रारंभिक तत्व $E$ के समान है लेकिन परमाणु द्रव्यमान $M-4$ अलग है,इसलिए यह $E$ का एक आइसोटोप है।

(B) पैरासिटामोल को रासायनिक रूप से $4$-एसिटामिडोफिनोल या $N-(4$-हाइड्रॉक्सीफेनिल$)$एथेनामाइड के रूप में जाना जाता है।
इसमें एक बेंजीन रिंग होती है जिसमें $1$-स्थान पर हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ और $4$-स्थान पर एसिटामिडो समूह $(-NHCOCH_3)$ जुड़ा होता है।
अतः,सही संरचना विकल्प $B$ द्वारा दर्शाई गई है।

(A, B, D) जब $NaCl$ और $K_{2}Cr_{2}O_{7}$ को सांद्र $H_{2}SO_{4}$ के साथ गर्म किया जाता है,तो क्रोमिल क्लोराइड $(CrO_{2}Cl_{2})$ की गहरे लाल रंग की वाष्प उत्पन्न होती है। अतः,कथन $(A)$ और $(D)$ सही हैं।
जब इन वाष्पों को $NaOH$ विलयन से गुजारा जाता है,तो वे सोडियम क्रोमेट $(Na_{2}CrO_{4})$ बनाते हैं,जो पीले रंग का होता है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
इस अभिक्रिया में क्लोरीन गैस उत्पन्न नहीं होती है। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
अभिक्रियाएं इस प्रकार हैं:
$(I)$ $K_{2}Cr_{2}O_{7} + 6 H_{2}SO_{4} \longrightarrow 2 KHSO_{4} + 2 CrO_{3} + 3 H_{2}O$
$(II)$ $NaCl + H_{2}SO_{4} \longrightarrow NaHSO_{4} + HCl$
$(III)$ $CrO_{3} + 2 HCl \longrightarrow CrO_{2}Cl_{2} + H_{2}O$
$(IV)$ $CrO_{2}Cl_{2} + 4 NaOH \longrightarrow Na_{2}CrO_{4} + 2 NaCl + 2 H_{2}O$

(D) विकल्प $(D)$ गलत है।
लैंथेनाइड श्रृंखला में,परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ त्रिसंयोजक लैंथेनाइड्स $(Ln^{3+})$ की आयनिक त्रिज्या लगातार घटती जाती है।
इस घटना को लैंथेनाइड संकुचन के रूप में जाना जाता है,जो $4f$ इलेक्ट्रॉनों के खराब परिरक्षण प्रभाव (poor shielding effect) के कारण होता है।

(B) अनंत तनुता पर,तुल्यांकी चालकता विलयन में आयनों की आयनिक गतिशीलता पर निर्भर करती है।
जलीय विलयन में,$Li^+$ आयन का आकार सबसे छोटा और आवेश घनत्व सबसे अधिक होता है,जिसके कारण इसका जलयोजन (hydration) सबसे अधिक होता है।
इस उच्च जलयोजन के कारण,जलयोजित $Li^+$ आयन का प्रभावी आकार सबसे बड़ा हो जाता है,जिससे इसकी आयनिक गतिशीलता सबसे कम हो जाती है।
इसके विपरीत,$K^+$ आयन का आकार सबसे बड़ा और आवेश घनत्व सबसे कम होता है,जिसके परिणामस्वरूप इसका जलयोजन सबसे कम होता है और इसका प्रभावी आकार सबसे छोटा होता है।
इसलिए,आयनिक गतिशीलता का क्रम $K^+ > Na^+ > Li^+$ है।
अतः,अनंत तनुता पर तुल्यांकी चालकता का क्रम $KCl > NaCl > LiCl$ है।

(C) $H_2S_2O_8$ (पेरॉक्सोडाइसल्फ्यूरिक अम्ल या मार्शल का अम्ल) में एक पेरोक्साइड लिंकेज ($-O-O-$ आबंध) होता है। इसकी संरचना इस प्रकार है:
$HO-S(=O)_2-O-O-S(=O)_2-OH$

(A) परीक्षण $1$: जलीय $NaOH$ के साथ प्रतिक्रिया और धीरे से गर्म करने पर $NH_3$ गैस उत्पन्न होती है (जो नम लाल लिटमस को नीला कर देती है),जो अमोनियम आयनों $(NH_4^+)$ की उपस्थिति का संकेत देती है।
परीक्षण $2$: तनु $HCl$ के साथ प्रतिक्रिया $SO_2$ गैस उत्पन्न करती है (जो चूने के पानी को दूधिया कर देती है और अम्लीकृत $K_2Cr_2O_7$ पेपर को हरा कर देती है),जो सल्फाइट आयनों $(SO_3^{2-})$ की उपस्थिति का संकेत देती है।
कार्बोनेट आयन चूने के पानी को दूधिया कर देंगे लेकिन अम्लीकृत $K_2Cr_2O_7$ का रंग नहीं बदलेंगे।
इसलिए,यौगिक $X$ में अमोनियम और सल्फाइट आयन होते हैं।

(C) रेडियोधर्मिता एक परमाणु घटना है जो पूरी तरह से परमाणु के नाभिक की संरचना और स्थिरता पर निर्भर करती है।
यह रासायनिक वातावरण से स्वतंत्र है,जैसे कि यौगिकों का निर्माण या कक्षीय इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति।
इसलिए,अपने मूल रूप में रेडियम और रेडियम क्लोराइड $(RaCl_2)$ के रूप में रेडियम समान स्तर की रेडियोधर्मिता प्रदर्शित करते हैं।

(C) $Schottky$ दोष में,क्रिस्टल जालक से समान संख्या में धनायन और ऋणायन गायब होते हैं,जो विद्युत उदासीनता बनाए रखने के लिए समान संख्या में धनायन और ऋणायन रिक्तियाँ बनाते हैं.

(C) अवाष्पशील विलेय वाले विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन विलेय के मोल अंश के बराबर होता है:
$\frac{p^{\circ} - p}{p^{\circ}} = x_{1} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$
जहाँ $x_{1}$ विलेय का मोल अंश है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - \frac{p}{p^{\circ}} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$
$\frac{p}{p^{\circ}} = 1 - \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$
$\frac{p}{p^{\circ}} = \frac{n_{1} + n_{2} - n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$
$\frac{p}{p^{\circ}} = \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$
अतः,$p = p^{\circ} \left( \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}} \right)$.

(A) विकल्प $(a)$ गलत है क्योंकि कोलाइडल सोल समांगी नहीं होते हैं।
कोलाइडल सोल परिक्षिप्त प्रावस्था (dispersed phase) और परिक्षेपण माध्यम (dispersion medium) का विषमांगी मिश्रण होते हैं।