ધન પૂર્ણાંક n માટે,n^{3} + 2n હંમેશા કોના વડે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં,$(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં,$(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. જોકે,પદાવલિ $n^{3} + 2n$ ખાસ કરીને $3$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ $n^{3} \equiv n \pmod{3}$,તેથી $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$. કિંમતો ચકાસતા: $n=1$ માટે,$1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=2$ માટે,$2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=3$ માટે,$3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). આમ,તે હંમેશા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^{3} + 2n$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

જો $(11)^{27} + (27)^{27}$ ને $16$ વડે ભાગવામાં આવે તો શેષ કેટલી વધે?

$5^{99}$ ને $13$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી છે?

$(13)^{507}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ :-

જો $k \in N$ હોય,તો $3^{3k} - 26k - 1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે સંખ્યાઓ $a_n = 6^n - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module