WBJEE 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) समीकरण $\tan x - x = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम $y = \tan x$ और $y = x$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$x = 0$ पर,दोनों फलन शून्य हैं,लेकिन हमें सबसे छोटा धनात्मक मूल ज्ञात करना है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > x$ है,इसलिए इस अंतराल में कोई मूल नहीं है।
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$\tan x$ ऋणात्मक है जबकि $x$ धनात्मक है,इसलिए कोई मूल नहीं है।
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$y = \tan x$ का ग्राफ $-\infty$ से शुरू होकर $+\infty$ तक बढ़ता है,जबकि $y = x$ एक धनात्मक ढाल वाली रेखा है। वे $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मूल $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में स्थित है।

(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$.
हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
हालाँकि,व्यंजक $n^{3} + 2n$ विशेष रूप से $3$ से विभाज्य है क्योंकि फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार $n^{3} \equiv n \pmod{3}$,इसलिए $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$।
मानों की जाँच करने पर:
$n=1$ के लिए,$1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ से विभाज्य)।
$n=2$ के लिए,$2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ से विभाज्य)।
$n=3$ के लिए,$3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ से विभाज्य)।
अतः,यह हमेशा $3$ से विभाज्य है।

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $p+q = -p \Rightarrow 2p+q=0$ (समीकरण $1$)
मूलों का गुणनफल: $pq = q$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$pq - q = 0 \Rightarrow q(p-1) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $q=0$ या $p=1$.
स्थिति $I$: यदि $q=0$ है,तो समीकरण $1$ से,$2p+0=0 \Rightarrow p=0$.
स्थिति $II$: यदि $p=1$ है,तो समीकरण $1$ से,$2(1)+q=0 \Rightarrow q=-2$.
अतः,$(p, q) = (1, -2)$ दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
नए समीकरण के लिए जिसके मूल $\alpha^{2}$ और $\beta^{2}$ हैं:
मूलों का योग: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^{2}-2(\frac{c}{a}) = \frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a} = \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha^{2}\beta^{2} = (\alpha\beta)^{2} = (\frac{c}{a})^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^{2}-(\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^{2}-(\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}})x + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 0$.
$a^{2}$ से गुणा करने पर,हमें $a^{2}x^{2}-(b^{2}-2ac)x+c^{2}=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2} - 10x + y^{2} + 21 = 0$.
$x$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
समीकरण को $x$ में द्विघात के रूप में लेने पर: $x^{2} - 10x + (y^{2} + 21) = 0$.
$D = (-10)^{2} - 4(1)(y^{2} + 21) \geq 0$.
$100 - 4y^{2} - 84 \geq 0$ $\Rightarrow 16 - 4y^{2} \geq 0$ $\Rightarrow y^{2} \leq 4$.
अतः,$-2 \leq y \leq 2$.
इसी प्रकार,$y$ के वास्तविक मूल होने के लिए,समीकरण को $y$ में द्विघात के रूप में लेने पर: $y^{2} + (x^{2} - 10x + 21) = 0$.
चूंकि $y^{2} = -x^{2} + 10x - 21$,$y$ के वास्तविक होने के लिए $y^{2} \geq 0$.
$-x^{2} + 10x - 21 \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 10x + 21 \leq 0$.
$(x-7)(x-3) \leq 0 \Rightarrow 3 \leq x \leq 7$.

(D) माना $f(x) = x^{2}-3x+k$ है।
मूलों के अंतराल $(0,1)$ में स्थित होने के लिए,परवलय का शीर्ष $(0,1)$ के भीतर होना चाहिए।
शीर्ष का $x$-निर्देशांक $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$ है।
चूंकि $1.5 \notin (0,1)$,इसलिए दोनों मूलों का अंतराल $(0,1)$ में स्थित होना असंभव है।
अतः,$k$ का कोई भी मान दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है।

(B) हमारे पास $\sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}) = \sum_{n=1}^{13} i^{n} + \sum_{n=1}^{13} i^{n+1}$ है।
चूंकि $i^{n}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=i$ और सार्व अनुपात $r=i$ है,तो $13$ पदों का योग $S_{13} = i \frac{1-i^{13}}{1-i}$ है।
ध्यान दें कि $i^{13} = (i^{4})^{3} \times i = 1^{3} \times i = i$.
अतः,$\sum_{n=1}^{13} i^{n} = i \frac{1-i}{1-i} = i$.
इसी प्रकार,$\sum_{n=1}^{13} i^{n+1} = i^{2} \frac{1-i^{13}}{1-i} = -1 \frac{1-i}{1-i} = -1$.
इसलिए,कुल योग $i + (-1) = i-1$ है।

(A) दिया गया है $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$.
चूँकि $|z|=1$ $\Rightarrow z\bar{z}=1$ $\Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$.
अतः,$\frac{1}{z_{1}}=\bar{z}_{1}$,$\frac{1}{z_{2}}=\bar{z}_{2}$,और $\frac{1}{z_{3}}=\bar{z}_{3}$.
हमें दिया गया है $|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$.
संयुग्मों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}|=1$ प्राप्त होता है।
$|\bar{z}|=|z|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $|\overline{z_{1}+z_{2}+z_{3}}|=1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=1$.

(A) दिया गया है,$z = \sin \theta - i \cos \theta$
$z = \cos \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{n} = e^{i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) + i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
तब,$\frac{1}{z^{n}} = z^{-n} = e^{-i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) - i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
इन्हें जोड़ने पर,$z^{n} + \frac{1}{z^{n}} = 2 \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{n \pi}{2} - n \theta\right)$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया व्यंजक $(1+e^{i\theta})^n$ के द्विपद विस्तार का वास्तविक भाग है।
माना $S = 1+{ }^{n} C_{1} \cos \theta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 \theta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n \theta$.
तब $S = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^{n} { }^{n} C_{k} e^{ik\theta}\right) = \operatorname{Re}((1+e^{i\theta})^n)$.
$1+e^{i\theta} = 1+\cos \theta + i \sin \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर.
$1+e^{i\theta} = 2 \cos \frac{\theta}{2} \left(\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}\right) = 2 \cos \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}$.
अतः,$(1+e^{i\theta})^n = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n e^{in\theta/2} = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n \left(\cos \frac{n\theta}{2} + i \sin \frac{n\theta}{2}\right)$.
वास्तविक भाग लेने पर,हमें $S = (2 \cos \frac{\theta}{2})^n \cos \frac{n\theta}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $COCHIN$ शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, H, I, N, O$.
$COCHIN$ से पहले आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए:
$1$. $CC$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $H, I, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$2$. $CH$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, I, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$3$. $CI$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$4$. $CN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, I, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
अतः,$COCHIN$ से पहले कुल शब्दों की संख्या $= 24 + 24 + 24 + 24 = 96$ है।

(C) $ARRANGE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A(2), R(2), N(1), G(1), E(1)$.
दोनों $R$ को एक साथ रखने के लिए,हम $(RR)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब,हमारे पास कुल $6$ इकाइयाँ हैं: $(RR), A, A, N, G, E$।
इन $6$ इकाइयों में,$A$ दो बार आता है।
अतः,व्यवस्थित करने के कुल तरीके = $\frac{6!}{2!}$।
$(RR)$ ब्लॉक के भीतर,दो $R$ को $\frac{2!}{2!} = 1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल तरीके = $\frac{6!}{2!} \times 1 = \frac{6!}{2!}$।

(C) दिया गया है कि $\log _{a} x, \log _{b} x, \log _{c} x$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2 \log _{b} x = \log _{a} x + \log _{c} x$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{m} n = \frac{1}{\log _{n} m}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{1}{\log _{x} a} + \frac{1}{\log _{x} c}$.
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{\log _{x} c + \log _{x} a}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c} = \frac{\log _{x} (ac)}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c}$.
सरल करने पर,$c^2 = (ac)^{\log _{a} b}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$।
अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$।
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$।

(A) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_{n} = (2n-1)^{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(A) माना सामान्य पद $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ है,जहाँ $k=2$ से $n$ तक है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,हमारे पास $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है,जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$।
पद का विस्तार करने पर: $T_k = (k-1)(k^2 - k(\omega + \omega^2) + \omega^3) = (k-1)(k^2 + k + 1) = k^3 - 1$।
योग $S = \sum_{k=2}^{n} (k^3 - 1)$ है।
इसे $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) - (1^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$।

(D) माना प्रथम पद $x$ है और $(2n-1)$-वां पद $y$ है।
चूँकि $a, b, c$ क्रमशः $AP, GP, HP$ के $n$-वें पद हैं,वे $x$ और $y$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$AM \geq GM \geq HM$ होता है।
इसलिए,$a \geq b \geq c$।
साथ ही,$AM, GM$ और $HM$ के बीच का संबंध $AM \cdot HM = GM^2$ है,जिसका अर्थ है $a \cdot c = b^2$ या $ac - b^2 = 0$।

(B) दिया गया है,$\frac{1}{{ }^{5}C_{r}} + \frac{1}{{ }^{6}C_{r}} = \frac{1}{{ }^{4}C_{r}}$
सूत्र ${ }^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{r!(5-r)!}{5!} + \frac{r!(6-r)!}{6!} = \frac{r!(4-r)!}{4!}$
$r!$ से भाग देने और $4!$ से गुणा करने पर:
$\frac{(5-r)!}{5} + \frac{(6-r)(5-r)!}{6 \times 5} = (4-r)!$
$(4-r)!$ से भाग देने पर:
$\frac{(5-r)}{5} + \frac{(6-r)(5-r)}{30} = 1$
$30$ से गुणा करने पर:
$6(5-r) + (6-r)(5-r) = 30$
$30 - 6r + 30 - 11r + r^{2} = 30$
$r^{2} - 17r + 30 = 0$
$(r-2)(r-15) = 0$
चूंकि $r \leq 4$ (क्योंकि ${ }^{4}C_{r}$ परिभाषित है),इसलिए $r = 2$ प्राप्त होता है।

(C) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
इसका उपयोग करते हुए:
$1) \frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n - 3r + 3 = 7r$ $\Rightarrow 3n - 10r = -3$ (समीकरण $1$)
$2) \frac{{}^n C_{r+1}}{{}^n C_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-(r+1)+1}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n - 2r = 3r + 3$ $\Rightarrow 2n - 5r = 3$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $4n - 10r = 6$ प्राप्त होता है (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \Rightarrow n = 9$.
$n=9$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $2(9) - 5r = 3$ $\Rightarrow 18 - 5r = 3$ $\Rightarrow 5r = 15$ $\Rightarrow r = 3$.
अतः,${}^n C_8 = {}^9 C_8 = {}^9 C_{9-8} = {}^9 C_1 = 9$.

(B) व्यंजक $P(x) = (x-1)(x-2) \ldots (x-18)$ दिया गया है।
यह $18$ घात का एक बहुपद है।
$(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)$ के विस्तार में $x^{n-1}$ का गुणांक $-(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ होता है।
यहाँ,$n = 18$ और पद $a_1=1, a_2=2, \ldots, a_{18}=18$ हैं।
$x^{17}$ का गुणांक $-(1 + 2 + 3 + \ldots + 18)$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_{18} = \frac{18 \times 19}{2} = 9 \times 19 = 171$.
अतः,गुणांक $-171$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
इस मान को मूल अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
पुनः,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ हो जाती है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,अंतिम मान $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।

(B) त्रिभुज की तीन भुजाएँ इस प्रकार हैं:
$x+8y-22=0$ $(i)$
$5x+2y-34=0$ $(ii)$
$2x-3y+13=0$ $(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x=6, y=2$. शीर्ष $A = (6, 2)$.
$(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=4, y=7$. शीर्ष $B = (4, 7)$.
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=-2, y=3$. शीर्ष $C = (-2, 3)$.
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |6(7-3) + 4(3-2) + (-2)(2-7)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |24 + 4 + 10|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |38| = 19$ वर्ग इकाई।

(B) बिंदु $P(x, y)$ की $A(8, 0)$ और $B(0, 12)$ से दूरियों का योग तब न्यूनतम होता है जब $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित हो।
$(8, 0)$ और $(0, 12)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{8} + \frac{y}{12} = 1$ है।
$24$ से गुणा करने पर,$3x + 2y = 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ और $y$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं $(x, y \in \mathbb{N})$,हम रेखाखंड पर पूर्णांक हल की जाँच करते हैं।
यदि $x = 2$,तो $3(2) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 18$ $\Rightarrow y = 9$।
यदि $x = 4$,तो $3(4) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$।
यदि $x = 6$,तो $3(6) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 6$ $\Rightarrow y = 3$।
ये बिंदु $(2, 9), (4, 6), (6, 3)$ सभी $S$ में हैं।
अतः,ऐसे $3$ बिंदु हैं।

(C) माना दिए गए बिंदु $A(a, b)$ और $B(-a, -b)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-b - b}{-a - a} = \frac{-2b}{-2a} = \frac{b}{a}$.
$(a, b)$ से गुजरने वाली और $\frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - b = \frac{b}{a}(x - a)$
$ay - ab = bx - ab$
$bx = ay$
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा विकल्प समीकरण $bx = ay$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(C)$ के लिए,$x = a^2$ और $y = ab$ रखने पर:
$b(a^2) = a(ab)$
$a^2b = a^2b$
अतः,रेखा $(a^2, ab)$ से होकर गुजरती है।

(A) मान लीजिए कि चार बिंदु $A(-a,-b)$,$B(a, b)$,$C(0,0)$ और $D(a^{2}, ab)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या $A, B$ और $C$ संरेख हैं,हम सारणिक की गणना करते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & 1 \\ a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = -a(b-0) + b(a-0) + 1(0) = -ab + ab = 0$.
चूंकि सारणिक $0$ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,जांचें कि क्या $B, C$ और $D$ संरेख हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ a^{2} & ab & 1\end{array}\right| = a(0-ab) - b(0-a^{2}) + 1(0) = -a^{2}b + a^{2}b = 0$.
चूंकि सारणिक $0$ है,इसलिए बिंदु $B, C$ और $D$ संरेख हैं।
अतः,$A, B, C$ और $D$ चारों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।

(B, D) माना $(h, k)$ रेखा $x+y+1=0$ पर स्थित एक बिंदु है।
अतः,$h+k+1=0,$ जिसका अर्थ है $h = -k-1.$
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $3x+4y+2=0$ की लंबवत दूरी $\frac{|3h+4k+2|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ है।
$h = -k-1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{|3(-k-1)+4k+2|}{5} = \frac{1}{5}$
$|k-1| = 1$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$k-1 = 1 \implies k=2$ (जिससे $h=-3$) या $k-1 = -1 \implies k=0$ (जिससे $h=-1$).
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-3, 2)$ और $(-1, 0)$ हैं।

(B) दोनों अक्षों पर $2a$ अंतःखंड वाली रेखा $AB$ का समीकरण अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{2a} = 1$,जो $x + y = 2a$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए रेखा $AB$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2h, 2k)$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $x + y = 2a$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 2k = 2a$,जो $h + k = a$ में सरल हो जाता है।
अक्षों पर लंब $PR$ और $PS$ खींचे गए हैं,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(2h, 0)$ और $S$ के निर्देशांक $(0, 2k)$ हैं।
$RS$ का मध्य-बिंदु $(\frac{2h+0}{2}, \frac{0+2k}{2}) = (h, k)$ है।
मान लीजिए मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं,इसलिए $x = h$ और $y = k$ है।
इन मानों को $h + k = a$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x + y = a$ प्राप्त होता है।
अतः,$RS$ के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $x + y = a$ है।

(D) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ $(1)$
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ $(2)$
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = K \times \frac{1}{K}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है। अतः,बिंदु-पथ एक अतिपरवलय है।

(B) $x^{3}-y x^{2}+x-y=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-y)+1(x-y)=0$
$(x^{2}+1)(x-y)=0$
चूंकि $x^{2}+1=0$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक हल नहीं है,इसलिए केवल वास्तविक बिंदु पथ निम्न द्वारा दिया जाता है:
$x-y=0$
$x=y$
अतः,यह समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 9$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$3x + 4y = 0$ के समांतर कोई भी रेखा $3x + 4y = k$ के रूप की होगी।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $3x + 4y - k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 3$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु से रेखा की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|3(0) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 3$.
$\frac{|-k|}{\sqrt{9 + 16}} = 3$ $\Rightarrow \frac{|k|}{5} = 3$ $\Rightarrow |k| = 15$.
अतः,$k = 15$ या $k = -15$ है।
रेखाएं $3x + 4y = 15$ और $3x + 4y = -15$ हैं।
रेखा के प्रथम चतुर्थांश में वृत्त को स्पर्श करने के लिए,अंतःखंड रूप $\frac{x}{5} + \frac{y}{3.75} = 1$ ($k=15$ के लिए) धनात्मक अंतःखंड दिखाता है,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x + 4y = 15$ है।

(B) माना $(h, k)$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ की एक जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $hx+ky = h^{2}+k^{2}$ है।
वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण जीवा के समीकरण का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:
$x^{2}+y^{2} = 1 \cdot \left(\frac{hx+ky}{h^{2}+k^{2}}\right)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = (hx+ky)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = h^{2}x^{2} + k^{2}y^{2} + 2hkxy$
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(h^{2}+k^{2})^{2} - h^{2} + (h^{2}+k^{2})^{2} - k^{2} = 0$
$2(h^{2}+k^{2})^{2} - (h^{2}+k^{2}) = 0$
चूंकि $h^{2}+k^{2} \neq 0$,इसलिए $2(h^{2}+k^{2}) = 1$,अर्थात $h^{2}+k^{2} = \frac{1}{2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^{2}+y^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण $x+y=4$ $(i)$ और $x-y=2$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $x=3$ और $y=1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(3, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ढाल वाली रेखा:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
इसे परवलय के समीकरण $y^{2}=4(x-3)$ में रखने पर:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$ है।
अतः $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(A, B) दिया गया परवलय का समीकरण $x^{2}=ay$ है,जिसका अर्थ है $y=\frac{x^{2}}{a}$।
रेखा का समीकरण $y=2x+1$ है।
परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $\frac{x^{2}}{a}=2x+1 \Rightarrow x^{2}-2ax-a=0$।
माना मूल $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। तो $x_{1}+x_{2}=2a$ और $x_{1}x_{2}=-a$।
अंतर $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4a^{2}+4a} = 2\sqrt{a^{2}+a}$।
चूंकि बिंदु $y=2x+1$ पर स्थित हैं,$(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ है।
चूंकि $y_{2}-y_{1} = 2(x_{2}-x_{1})$,इसलिए $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+4(x_{2}-x_{1})^{2}} = |x_{2}-x_{1}|\sqrt{5}$।
दिया गया है कि $d=\sqrt{40}$,इसलिए $\sqrt{40} = 2\sqrt{a^{2}+a} \cdot \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{40} = \sqrt{20(a^{2}+a)}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40 = 20(a^{2}+a) \Rightarrow a^{2}+a-2=0$।
$(a+2)(a-1)=0$,इसलिए $a=1$ या $a=-2$।

(B) दिया गया समीकरण $y^{2}-4y=4x-4a$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $(a-1, 2)$ है।
शीर्ष रेखाओं $L_1: x+y-3=0$ और $L_2: 2x+2y-1=0$ के बीच स्थित है।
इसलिए,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$।
$(a-2)(2a+1) < 0$।
इस असमिका को हल करने पर,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ प्राप्त होता है।

(D) माना जीवा शीर्ष $V(0, 0)$ से गुजरती है और परवलय $y^{2}=4ax$ को $P(at^{2}, 2at)$ पर काटती है।
माना $(h, k)$ जीवा $VP$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{at^{2}+0}{2} = \frac{at^{2}}{2}$ और $k = \frac{2at+0}{2} = at$ है।
$k = at$ से,हमें $t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
$h$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर: $h = \frac{a}{2} \left(\frac{k}{a}\right)^{2} = \frac{k^{2}}{2a}$।
अतः,$k^{2} = 2ah$ है।
मध्य-बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $y^{2} = 2ax$ है।
इसे $(y-0)^{2} = 4\left(\frac{a}{2}\right)(x-0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय $Y^{2} = 4AX$ के लिए,नियता $X = -A$ होती है।
यहाँ,$A = \frac{a}{2}$ है,इसलिए नियता $x = -\frac{a}{2}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $16 x^{2}+25 y^{2}+32 x-100 y=284$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$16(x^{2}+2 x)+25(y^{2}-4 y)=284$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$16(x^{2}+2 x+1)+25(y^{2}-4 y+4)=284+16+100$ प्राप्त होता है।
$16(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=400$।
$400$ से भाग देने पर,$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=25$ है। दीर्घवृत्त $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ का सहायक वृत्त $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ होता है।
अतः,सहायक वृत्त का समीकरण $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ है।
विस्तार करने पर,$x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4=25$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-20=0$।

(B, D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$8x + 18yy' = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$।
रेखा $8x = 9y$ की ढाल $y = \frac{8}{9}x$ से $m = \frac{8}{9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं रेखा के समानांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$।
इसे सरल करने पर $-4x = 8y$ या $x = -2y$ प्राप्त होता है।
$x = -2y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $4(-2y)^{2} + 9y^{2} = 1$।
$4(4y^{2}) + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 16y^{2} + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 25y^{2} = 1$।
अतः,$y^{2} = \frac{1}{25}$,जिससे $y = \pm \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = \frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$।
यदि $y = -\frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$।
अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ और $\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ हैं।

(C) रेखा का समीकरण $y=x+\lambda$ है।
इसे $y=mx+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m=1$ और $c=\lambda$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^{2}+3y^{2}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/2} + \frac{y^{2}}{1/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^{2}=\frac{1}{2}$ और $b^{2}=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है,तो स्पर्शरेखा की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ है।
मान रखने पर,$\lambda^{2} = \frac{1}{2}(1)^{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$।
अतः,$\lambda = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $\lambda = \sqrt{\frac{5}{6}}$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और $\Delta OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ हैं।
$\Delta OPQ$ में,$OP = PQ \Rightarrow OP^2 = PQ^2$.
$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 (1 + \tan^2 \theta) = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 = (3b^2 - a^2) \tan^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{a^2}{3b^2 - a^2}$.
चूँकि $\tan^2 \theta > 0$,इसलिए $3b^2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
अतः,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) हमारे पास है,$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{1+\sqrt{x}}}$
$= \left(\frac{1+1}{2+1}\right)^{\frac{1}{1+1}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) माना प्रेक्षण $x_{i} = a_{i}$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$ है। मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2}$ है।
नए प्रेक्षण $y_{i} = \lambda a_{i} = \lambda x_{i}$ हैं।
नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y} = \lambda \bar{x}$ है।
नए प्रेक्षणों का मानक विचलन $\sigma_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\lambda x_{i} - \lambda \bar{x})^2} = \sqrt{\lambda^2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^2} = |\lambda| \sigma$.

(A) माना $\triangle DEF$ की परिवृत्त त्रिज्या $R'$ है।
$\triangle ABC$ में,पैडल त्रिभुज $\triangle DEF$ के कोण $\angle FDE = 180^{\circ} - 2A$,$\angle DEF = 180^{\circ} - 2B$ और $\angle EFD = 180^{\circ} - 2C$ हैं।
पैडल त्रिभुज की भुजा $EF$ की लंबाई $EF = R \sin 2A$ द्वारा दी जाती है।
$\triangle DEF$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$2R' = \frac{EF}{\sin(\angle FDE)}$।
मान रखने पर,$2R' = \frac{R \sin 2A}{\sin(180^{\circ} - 2A)} = \frac{R \sin 2A}{\sin 2A} = R$।
अतः,$R' = \frac{R}{2}$।

(C) हमारे पास $A = 5^{n} - 4n - 1 = (1 + 4)^{n} - 4n - 1$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1 + 4)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(4) + {}^{n}C_{2}(4^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n})$।
अतः,$A = (1 + 4n + 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))) - 4n - 1$।
$A = 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))$।
यह दर्शाता है कि $A$ का प्रत्येक अवयव $16$ का गुणज है।
$n=1$ के लिए,$5^{1}-4(1)-1 = 0$।
$n=2$ के लिए,$5^{2}-4(2)-1 = 16$।
$n=3$ के लिए,$5^{3}-4(3)-1 = 112 = 16 \times 7$।
इस प्रकार,$A = \{0, 16, 112, \dots\}$।
$B = \{16(n-1) : n \in N\} = \{0, 16, 32, 48, \dots\}$।
चूंकि $A$ का प्रत्येक अवयव $16$ का गुणज है,इसलिए $A \subseteq B$ है।

(A) दिया गया है,$\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.09}(x-1)$.
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $x-1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
हम असमिका को $\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3^{2}}(x-1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणधर्म $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\log _{0.3}(x-1) < \frac{1}{2} \log _{0.3}(x-1)$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $2 \log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3}(x-1)$.
दोनों पक्षों से $\log _{0.3}(x-1)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\log _{0.3}(x-1) < 0$.
चूंकि आधार $0.3 < 1$ है,इसलिए जब हम लघुगणक को हटाते हैं तो असमिका उलट जाती है: $x-1 > (0.3)^0$.
$x-1 > 1$.
$x > 2$.
अतः,$x$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,और $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$ है।
चूंकि $P(B) = 1 - P(\bar{B})$,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$.
$P(A) = \frac{31}{45} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{62 + 15 - 27}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करते हैं: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
चूंकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(C) स्वतुल्यता: $x \in Z$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $(x, x) \in R$ है।
$x + 2x = 3x$,जो $3$ से विभाज्य है।
अतः,$xRx$ सभी $x \in Z$ के लिए सत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
सममितता: मान लीजिए $(x, y) \in R$,जिसका अर्थ है कि $x + 2y = 3\lambda$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए।
तब $x = 3\lambda - 2y$।
हम $y + 2x$ की जाँच करते हैं:
$y + 2x = y + 2(3\lambda - 2y) = y + 6\lambda - 4y = 6\lambda - 3y = 3(2\lambda - y)$।
चूँकि $3(2\lambda - y)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(y, x) \in R$।
अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$।
तब $x + 2y = 3\lambda$ और $y + 2z = 3\mu$ किन्हीं पूर्णांकों $\lambda, \mu$ के लिए।
दोनों को जोड़ने पर: $(x + 2y) + (y + 2z) = 3\lambda + 3\mu \Rightarrow x + 3y + 2z = 3(\lambda + \mu)$।
$x + 2z = 3(\lambda + \mu) - 3y = 3(\lambda + \mu - y)$।
चूँकि $x + 2z$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(x, z) \in R$।
अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) दिया गया है $Q = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ और $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि मैट्रिक्स $Q(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ एक रोटेशन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$Q^{n}(\theta) = Q(n\theta)$.
इसलिए,$Q^{3} = Q\left(3 \times \frac{\pi}{4}\right) = Q\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} \cos \frac{3\pi}{4} & -\sin \frac{3\pi}{4} \\ \sin \frac{3\pi}{4} & \cos \frac{3\pi}{4} \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$Q^{3} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
अब,$Q^{3}x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
$Q^{3}x = \begin{bmatrix} (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
हम $A = 2I + B$ लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
चूँकि $2I$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B + 0 + ...$
$A^n = 2^n I + n(2^{n-1}) B = 2^n \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + n 2^{n-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ n 2^n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ n 2^n & 0 & 2^n \end{bmatrix}$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2^n$ और $b = n 2^n$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
दिया गया है कि $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$ है।
इसलिए,$|A|^2 = 64$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए,हम सारणिक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\log x}{\log x} & \frac{\log y}{\log x} & \frac{\log z}{\log x} \\ \frac{\log x}{\log y} & \frac{\log y}{\log y} & \frac{\log z}{\log y} \\ \frac{\log x}{\log z} & \frac{\log y}{\log z} & \frac{\log z}{\log z}\end{array}\right|$.
अब,$R_{1}$ से $\frac{1}{\log x}$,$R_{2}$ से $\frac{1}{\log y}$ और $R_{3}$ से $\frac{1}{\log z}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{\log x \cdot \log y \cdot \log z} \left|\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम अवकलनीय फलन है।
विषम फलन की परिभाषा के अनुसार,$f(-x) = -f(x)$ होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[-f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
यह दर्शाता है कि एक विषम फलन का अवकलज एक सम फलन होता है।
अब,समीकरण $f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ में $x = 3$ रखने पर:
$f^{\prime}(-3) = f^{\prime}(3)$
चूँकि हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(3) = 2$,इसलिए:
$f^{\prime}(-3) = 2$.

(C) दिया गया है,$f(x) = (x^{2} + 1)^{35}$ सभी $x \in R$ के लिए।
एकैकी (one-one) के लिए: जाँचें कि क्या $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ है।
$f(1) = (1^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$ और $f(-1) = ((-1)^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$।
चूँकि $f(1) = f(-1)$ लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) के लिए: $f(x)$ का परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर होना चाहिए।
चूँकि $x^{2} \geq 0$,हमारे पास $x^{2} + 1 \geq 1$ है,जिसका अर्थ है $(x^{2} + 1)^{35} \geq 1^{35} = 1$।
अतः,परिसर $[1, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है।
एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने पर,हमें $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(f(x)) = x$ है,इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ है।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए:
किसी भी $y \in X$ के लिए,मान लीजिए $x = f(y)$ है।
तब $f(x) = f(f(y)) = y$ होगा।
चूँकि प्रत्येक $y \in X$ के लिए,एक ऐसा $x \in X$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = y$ है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।

(C) दिया गया है,$y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ पर,$y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
अवकलज व्यंजक में $x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(C) हमें फलन $f(x) = \max \{a-x, a+x, b\}$ दिया गया है।
अवकलनीयता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम फलनों $y_1 = a-x$,$y_2 = a+x$,और $y_3 = b$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $y_1$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $a-x = b \implies x = a-b$.
$2$. $y_2$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $a+x = b \implies x = b-a$.
$3$. $y_1$ और $y_2$ का प्रतिच्छेदन: $a-x = a+x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
चूंकि $0 < a < b$,इसलिए $a-b < 0$ और $b-a > 0$ है।
$x = a-b$ पर,$f(x)$,$a-x$ से $b$ में परिवर्तित होता है,जिससे एक तीक्ष्ण मोड़ बनता है।
$x = b-a$ पर,$f(x)$,$b$ से $a+x$ में परिवर्तित होता है,जिससे एक तीक्ष्ण मोड़ बनता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = \max \{a, a, b\} = b$ (चूंकि $b > a$)। अंतराल $[a-b, b-a]$ में फलन $b$ है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय है।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $2$ है: $x = a-b$ और $x = b-a$।

(D) दिया गया है,$f(x)=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^{2}}\right)}{\log \left(e x^{2}\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(e/x^2) = 1 - 2 \log x$ और $\log(ex^2) = 1 + 2 \log x$.
अतः,$f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - 2 \log x}{1 + 2 \log x}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + 2 \log x}{1 - 3(2 \log x)}\right]$.
माना $2 \log x = u$. तब $f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - u}{1 + u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + u}{1 - 3u}\right]$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ और $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} u) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1} u)$.
$f(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} 3$.
चूंकि $f(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $f'(x) = 0$ और द्वितीय अवकलन $f''(x) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है कि कोटि $y$ उसी दर से घटती है जिस दर से भुज $x$ बढ़ता है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $16x^{2} + 9y^{2} = 400$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$16(2x) \frac{dx}{dt} + 9(2y) \frac{dy}{dt} = 0$
$32x \frac{dx}{dt} + 18y \frac{dy}{dt} = 0$
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{dy}{dt} = -\frac{dx}{dt}$ को समीकरण में रखने पर:
$16x \frac{dx}{dt} + 9y \left(-\frac{dx}{dt}\right) = 0$
$(16x - 9y) \frac{dx}{dt} = 0$.
चूँकि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,इसलिए $16x - 9y = 0$,जिसका अर्थ है $y = \frac{16}{9}x$.
$y = \frac{16}{9}x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$16x^{2} + 9\left(\frac{16}{9}x\right)^{2} = 400$
$16x^{2} + 9 \cdot \frac{256}{81}x^{2} = 400$
$16x^{2} + \frac{256}{9}x^{2} = 400$
$\frac{144x^{2} + 256x^{2}}{9} = 400$
$\frac{400x^{2}}{9} = 400$
$x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
यदि $x = 3$,तो $y = \frac{16}{9}(3) = \frac{16}{3}$.
यदि $x = -3$,तो $y = \frac{16}{9}(-3) = -\frac{16}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(3, \frac{16}{3}\right)$ और $\left(-3, -\frac{16}{3}\right)$ हैं।

(B) दिया गया है,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$.
दिया गया है कि लंबाई में $2 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dl}{l} = 0.02$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dT}{T} \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल में अनुमानित परिवर्तन $1 \%$ है।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}(4-x).$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x)=0$ रखते हैं।
$(x-1)^{2}(4-x)=0 \implies x=1, 4.$
हम अंतरालों $(-\infty, 1), (1, 4),$ और $(4, \infty)$ में $f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
$x \in (-\infty, 1)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (1, 4)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (4, \infty)$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0.$
चूंकि $x \in (-\infty, 4)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $(-\infty, 4)$ में वर्धमान है।
चूंकि $x \in (4, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए फलन $(4, \infty)$ में ह्रासमान है।
$x=4$ पर,$f^{\prime}(x)=0$ है,अतः $x=4$ एक क्रांतिक बिंदु है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} d x$ है।
$z = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ प्रतिस्थापित करें।
तब,$dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x} = 2 dz$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{z}{3} (2 dz) = \frac{2}{3} \int z dz$।
$z$ का $z$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + C = \frac{1}{3} z^2 + C$।
$z = \log \sqrt{x}$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$।

(C) माना $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.
हम जानते हैं कि दो फलनों के गुणनफल का अवकलन गुणन नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
फलन $g(x) = 2^{x} f(x)$ पर विचार करें।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^{x}) \cdot f(x) + 2^{x} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} \log 2 \cdot f(x) + 2^{x} f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2]$.
चूंकि समाकल्य $g(x)$ का अवकलज है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = \int g^{\prime}(x) \, dx = g(x) + C = 2^{x} f(x) + C$.

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1}\right) d x$
$I = -\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(B) माना $I = \int_{0}^{2} x^{2}[x] d x$.
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम अंतराल $[0, 2]$ में पूर्णांक बिंदुओं पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
$I = \int_{0}^{1} x^{2}[x] d x + \int_{1}^{2} x^{2}[x] d x$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$ है।
$1 \le x < 2$ के लिए,$[x] = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} x^{2}(0) d x + \int_{1}^{2} x^{2}(1) d x$.
$I = 0 + \int_{1}^{2} x^{2} d x$.
$I = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{1}^{2}$.
$I = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$
अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n+r}{n}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{r}{n}}$
यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप का एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \sqrt{1+x}$
$= \int_{0}^{1} (1+x)^{1/2} dx = \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left[ (1+x)^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(B) हमें दिया गया है कि $\phi(t) = 1$ जब $0 \leq t < 1$ और अन्यथा $0$ है। इसका अर्थ है कि $\phi(t-k) = 1$ जब $k \leq t < k+1$ और अन्यथा $0$ है।
समाकलन $I = \int_{-3000}^{3000} \sum_{r'=2014}^{2016} \phi(t-r') \phi(t-2016) dt$ है।
योग का विस्तार करने पर: $I = \int_{-3000}^{3000} [\phi(t-2014)\phi(t-2016) + \phi(t-2015)\phi(t-2016) + \phi(t-2016)\phi(t-2016)] dt$.
ध्यान दें कि $\phi(t-2014)\phi(t-2016) = 0$ क्योंकि अंतराल $[2014, 2015)$ और $[2016, 2017)$ अलग-अलग हैं।
इसी प्रकार,$\phi(t-2015)\phi(t-2016) = 0$ क्योंकि अंतराल $[2015, 2016)$ और $[2016, 2017)$ अलग-अलग हैं।
अतः,व्यंजक $\int_{-3000}^{3000} \phi(t-2016)^2 dt$ में बदल जाता है।
चूंकि $\phi(t-2016) = 1$ जब $2016 \leq t < 2017$ और अन्यथा $0$ है,इसलिए $\phi(t-2016)^2 = \phi(t-2016)$।
अतः,$I = \int_{2016}^{2017} 1 dt = [t]_{2016}^{2017} = 2017 - 2016 = 1$।

(C) वक्र $y=\sqrt{5-x^2}$ (त्रिज्या $\sqrt{5}$ वाला अर्धवृत्त) और $y=|x-1|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sqrt{5-x^2} = |x-1|$ रखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5-x^2 = x^2-2x+1 \implies 2x^2-2x-4=0 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-1$ और $x=2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$.
$A = \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
पहले समाकलन के लिए,$\int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) \right]_{-1}^{2} = 2 + \frac{5\pi}{4}$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int_{-1}^{2} |x-1| dx = \int_{-1}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx = 2 + 0.5 = 2.5 = 5/2$.
अतः,$A = 2 + \frac{5\pi}{4} - 2.5 = \frac{5\pi}{4} - 0.5$ वर्ग इकाई।

(A) $X$-अक्ष के अनुदिश सममिति अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y^2 = 4a(x - h)$ है,जिसे $y^2 = Ax + B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A$ और $B$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए उन्हें विलुप्त करने के लिए हमें समीकरण का दो बार अवकलन करना होगा।
प्रथम अवकलज: $2y \frac{dy}{dx} = A$.
द्वितीय अवकलज: $2 \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} \right) = 0$.
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज द्वितीय अवकलज है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$.
माना $y^2 = z$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$.
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$.
यह $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2b$ और $Q = 2a \cos x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ है।
हल $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$.
मानक समाकलन $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करते हुए:
$z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$.
$y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$.
$e^{-2bx}$ से गुणा करने पर: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$.
अतः,$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ है।
हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$xy = \int x e^x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)$.
अतः,$xy = e^x(x-1) + C$.
इसे दिए गए रूप $xy = e^x \phi(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\phi(x) = x-1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$|a+b| < |a-b|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 < |a-b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करने पर,$(a+b) \cdot (a+b) < (a-b) \cdot (a-b)$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) < |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $|a|^2 + |b|^2$ घटाने पर,$2(a \cdot b) < -2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
यह $4(a \cdot b) < 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $a \cdot b < 0$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta < 0$ और $|a|, |b| > 0$,इसलिए $\cos \theta < 0$ होना चाहिए।
अतः,$a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ एक अधिक कोण है।

(A) मान लीजिए कि एक घन के शीर्ष $(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ हैं। घन के चार विकर्णों को विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले सदिशों द्वारा दर्शाया जा सकता है: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (-a,a,a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,और $\vec{d_4} = (a,a,-a)$।
दिक् अनुपात $(1,1,1)$ और $(-1,1,1)$ वाले दो विकर्णों पर विचार करें।
दो सदिशों $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(1)(-1) + (1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 1 + 1|}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$।
अतः,एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का कोसाइन $1/3$ है।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $x+y+2z-6=0$ और $2x-y+z-9=0$ हैं।
इन्हें सामान्य रूप $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $(1, 1, 1)$ और $(0, 0, 0)$ के लिए,समीकरण $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z-0}{1-0} = \lambda$ है।
इसका अर्थ है $x = \lambda, y = \lambda, z = \lambda$।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda, \lambda, \lambda)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 2y + z = 10$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\lambda) + 2(\lambda) + \lambda = 10$।
$5\lambda = 10$।
$\lambda = 2$।
$\lambda = 2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $(2, 2, 2)$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
दिया गया है कि $\frac{3}{4} \leq P(A \cup B) \leq 1$ और $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$.
इन असमिकाओं को जोड़ने पर:
$\frac{3}{4} + \frac{1}{8} \leq P(A \cup B) + P(A \cap B) \leq 1 + \frac{3}{8}$.
$\frac{7}{8} \leq P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$.
इस प्रकार,$P(A) + P(B) \geq \frac{7}{8}$ और $P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$ दोनों सही हैं।

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति एक महिला है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति $40 \text{ yr}$ से अधिक आयु का है।
हमें दिया गया है:
महिलाओं की कुल संख्या $n(F) = 6$ है।
$40 \text{ yr}$ से अधिक आयु वाली महिलाओं की संख्या $n(A \cap F) = 3$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|F)$ ज्ञात करनी है,जो कि यह प्रायिकता है कि व्यक्ति $40 \text{ yr}$ से अधिक आयु का है,यह देखते हुए कि वह एक महिला है।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A|F) = \frac{n(A \cap F)}{n(F)}$ है।
मान रखने पर:
$P(A|F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.