વિકલ સમીકરણ (x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$. આ

Vedclass · Accepted Answer

$y = x \log(c|x+y|)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$. આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$. તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$. ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$. $v - \log|1+v| = \log|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$. આમ,$y = x \log|x+y| + Cx$,જેને $y = x \log(c|x+y|)$ તરીકે લખી શકાય.

વિકલ સમીકરણ $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$ નો ઉકેલ શોધો.

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) dy - (x+y) dx = 0$ એ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module