Pi_1, Pi_2, Pi_3 तीन समतल हैं जो क्रमशः YZ, Z | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है। आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ आदि हैं। $d_1$ $XY$-समतल

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$\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है। आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ आदि हैं। $d_1$ $XY$-समतल के उस फलक का विकर्ण है जो मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है। इस फलक के शीर्ष $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ हैं। मूल बिंदु से न गुजरने वाला विकर्ण $(a, 0, 0)$ और $(0, b, 0)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है,अर्थात $AE$। $d_1$ की दिशा का सदिश $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ है। $d_2$ समतल $\Pi_2$ (जो $b$ दूरी पर $ZX$ समतल के समानांतर है) का विकर्ण है जो $d_1$ के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। समतल $\Pi_2$ में बिंदु $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ शामिल हैं। $d_1$ (जो $A(a, 0, 0)$ से शुरू होता है) के साथ उभयनिष्ठ बिंदु वाला विकर्ण $AD$ है,जहाँ $D$ बिंदु $(0, 0, c)$ है। दी गई आकृति के अनुसार,$d_1$ $AE$ है और $d_2$ $AD$ है। सदिश $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$। सदिश $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$। उनके बीच का कोण $	heta$,$\cos 	heta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ द्वारा दिया जाता है। $\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$। $|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$। $|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$। अतः,$\cos 	heta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$। इसलिए,$	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}ight)$।

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$k$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदु $A(-4, 9, k)$,$B(-1, 6, k)$,और $C(0, 7, 10)$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं:

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