यदि दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं,तो उन स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों के बीच बनाए गए अंतःखंडों के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है?

माना $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$ है। माना $E_{2}$ एक अन्य दीर्घवृत्त है जो $E_{1}$ के दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदुओं को स्पर्श करता है और $E_{2}$ की नाभियाँ $E_{1}$ के लघु अक्ष के अंतिम बिंदु हैं। यदि $E_{1}$ और $E_{2}$ की उत्केंद्रता $e$ समान है,तो $e$ का मान है:

दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित तीन बिंदुओं $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ को शीर्षों के रूप में रखने वाले समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र $(r, s)$ है। तो $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ और $\cos(\theta_3-\theta_1)$ का औसत क्या है?

दीर्घवृत्त $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$ की नाभियाँ हैं

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।