बिंदुओं A और B के स्थिति सदिश क्रमशः hat{i}+2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $A(1, 2, 0)$ और $B(2, 1, 1)$ हैं।समतल का समीकरण $x+y+z=3$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+\hat{

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$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

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(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $A(1, 2, 0)$ और $B(2, 1, 1)$ हैं।समतल का समीकरण $x+y+z=3$ है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।$A$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}) + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1+\lambda, 2+\lambda, \lambda)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(1+\lambda) + (2+\lambda) + \lambda = 3$,जिससे $3\lambda + 3 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = 0$। इस प्रकार,$P = (1, 2, 0)$।$B$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2+\mu, 1+\mu, 1+\mu)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(2+\mu) + (1+\mu) + (1+\mu) = 3$,जिससे $3\mu + 4 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\mu = -\frac{1}{3}$।इस प्रकार,$Q = (2-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$।दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

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