यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$PQ$,परवलय $y^2 = 4ax$ की $P$ पर एक अभिलंब जीवा है,जहाँ $A$ परवलय का शीर्ष है। $P$ से $AQ$ के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो $x$-अक्ष को $R$ पर मिलती है। तब $AR$ की लंबाई है:

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

यदि नाभिलंब के अंत्य बिंदु दिए गए हों,तो कितने परवलय खींचे जा सकते हैं?

यदि दो भिन्न शांकवों $x^2+y^2=4b$ और $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु वक्र $y^2=3x^2$ पर स्थित हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्मित आयत के क्षेत्रफल का $3\sqrt{3}$ गुना क्या होगा............................