एक समतल Pi बिंदुओं A=(0,0,2),B=(1,0,1) और C=( | vedclass

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Question

(A) $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ और $C(3,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया गया है: $\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \ 1-0 & 0

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$\frac{7}{6}$

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(A) $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ और $C(3,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया गया है: $\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \ 1-0 & 0-0 & 1-2 \ 3-0 & 1-0 & 1-2 \end{vmatrix} = 0$ $\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z-2 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(0 - (-1)) - y(-1 - (-3)) + (z-2)(1 - 0) = 0$ $x(1) - y(2) + (z-2)(1) = 0$ $x - 2y + z - 2 = 0$. समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, -2, 1 angle$ है। $XY$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_1 = \langle 0, 0, 1 angle$ है। समतलों के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| |\vec{n}_1|} = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$. अतः,$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. $XZ$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_2 = \langle 0, 1, 0 angle$ है। समतलों के बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार है: $\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}| |\vec{n}_2|} = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \sqrt{1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$. अतः,$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$. इसलिए,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.

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यदि समतल $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ और $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(-2,-1,3)$ से समतल $\pi$ पर खींचे गए लंब का पाद $(1,0,-2)$ है। यदि $a, b, c$ समतल $\pi$ द्वारा $X, Y, Z$-अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं,तो $3a+b+5c=$

रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ के लंबवत और बिंदु $(2, 3, 4)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:

यदि समतलों $x-2y+3z-5=0$ और $x+\alpha y+2z+7=0$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{14}\right)$ है,तो $\alpha$ के मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

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