यदि एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन P(X=n) | vedclass

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Question

(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ है,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इ

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$\frac{20}{27}$

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(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ है,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) = 1$ है।$k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n} = k \left( \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots \right) = 1$ है।यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=1$,और $r=\frac{1}{3}$ है।श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-1/3} + \frac{1 \cdot (1/3)}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{2} + \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ है।अतः,$k \cdot \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$ है।हमें $P(X $P(X=0) = k \cdot \frac{0+1}{3^0} = k \cdot 1 = \frac{4}{9}$ है।$P(X=1) = k \cdot \frac{1+1}{3^1} = k \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ है।$P(X < 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$ है।

$Y$	$-1$	$0$	$1$
$P(Y)$	$0.6$	$0.1$	$0.2$

$X=x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

$X = x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$

यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता फलन $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ और $k$ एक स्थिरांक है,तो $P(X < 2) = $

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