TS EAMCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\cosh 2x = \frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1}$ છે.
આપેલ છે કે $\cosh 2x = 199$,તેથી $\frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1} = 199$.
ધારો કે $u = \operatorname{coth}^2 x$. તો $\frac{u + 1}{u - 1} = 199$.
$u + 1 = 199u - 199$.
$200 = 198u$.
$u = \frac{200}{198} = \frac{100}{99}$.
આમ,$\operatorname{coth}^2 x = \frac{100}{99}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\operatorname{coth} x = \pm \sqrt{\frac{100}{99}} = \pm \frac{10}{3 \sqrt{11}}$.
ધન કિંમત લેતા,પરિણામ $\frac{10}{3 \sqrt{11}}$ મળે છે.

(D) પ્રથમ જોડીની રેખાઓ $xy+4x-3y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x-3)(y+4)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ છે.
બીજી જોડીની રેખાઓ $xy-3x+4y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x+4)(y-3)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ છે.
વિકર્ણો $(3, 3)$ થી $(-4, -4)$ અને $(3, -4)$ થી $(-4, 3)$ ને જોડે છે.
$(3, 3)$ અને $(-4, -4)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y-3 = x-3$ એટલે કે $x-y=0$ માં પરિણમે છે.
$(3, -4)$ અને $(-4, 3)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y+4 = -1(x-3)$ એટલે કે $x+y+1=0$ માં પરિણમે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે ...$(i)$.
રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
તેથી,$k=2$ અથવા $k=1$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $3 \cos A + 2 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{2}{3}$.
ત્રિકોણના ખૂણા માટે $\sin A > 0$ હોવાથી,$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
અહીં,$\alpha = \sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ અને $\beta = \tan A = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{6}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = -\frac{5}{6}$.
સમીકરણ $x^2 - (-\frac{\sqrt{5}}{6})x - \frac{5}{6} = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + \frac{\sqrt{5}}{6}x - \frac{5}{6} = 0$ થાય છે.
$6$ વડે ગુણતા,$6x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-6x+1=0$ ના બીજ છે.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$.
તેથી $y(x+1) = x$,જેનો અર્થ છે $yx + y = x$,અથવા $x(1-y) = y$,તેથી $x = \frac{y}{1-y}$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણ $x^2-6x+1=0$ માં મૂકતા:
$(\frac{y}{1-y})^2 - 6(\frac{y}{1-y}) + 1 = 0$.
$(1-y)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$y^2 - 6y(1-y) + (1-y)^2 = 0$.
$y^2 - 6y + 6y^2 + 1 - 2y + y^2 = 0$.
$8y^2 - 8y + 1 = 0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $8x^2-8x+1=0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+x^2+x+2=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma = -1$.
ધારો કે $y = \frac{\alpha+\beta-2\gamma}{\gamma}$.
$\alpha+\beta+\gamma = -1$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -1-\gamma$.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા:
$y = \frac{-1-\gamma-2\gamma}{\gamma} = \frac{-1-3\gamma}{\gamma} = -3 - \frac{1}{\gamma}$.
તેથી,$\frac{1}{\gamma} = -y-3$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = -\frac{1}{y+3}$.
$\gamma$ એ $x^3+x^2+x+2=0$ નું બીજ હોવાથી,$x = -\frac{1}{y+3}$ મૂકતા:
$(-\frac{1}{y+3})^3 + (-\frac{1}{y+3})^2 + (-\frac{1}{y+3}) + 2 = 0$.
$-(y+3)^3$ વડે ગુણતા:
$1 - (y+3) + (y+3)^2 - 2(y+3)^3 = 0$.
$1 - y - 3 + y^2 + 6y + 9 - 2(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = 0$.
$-2y^3 - 17y^2 - 49y - 47 = 0$.
$2y^3 + 17y^2 + 49y + 47 = 0$.
આ સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a} = -\frac{47}{2}$ થાય.

(C) $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+x+10=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta+\gamma=0$ થાય.
હવે,$\alpha_1=\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2}=\frac{-\gamma}{\gamma^2}=\frac{-1}{\gamma}$.
તે જ રીતે,$\beta_1=\frac{-1}{\alpha}$ અને $\gamma_1=\frac{-1}{\beta}$.
આમ,$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ એ $x = -\frac{1}{y}$ ને $x^3+x+10=0$ માં મૂકતા મળતા સમીકરણના બીજ છે.
$(-\frac{1}{y})^3 + (-\frac{1}{y}) + 10 = 0 \implies -\frac{1}{y^3} - \frac{1}{y} + 10 = 0$.
$-y^3$ વડે ગુણતા,$10y^3 - y^2 - 1 = 0$ મળે.
$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ એ $10x^3-x^2-1=0$ ના બીજ હોવાથી,$10\alpha_1^3-\alpha_1^2-1=0$,$10\beta_1^3-\beta_1^2-1=0$,અને $10\gamma_1^3-\gamma_1^2-1=0$ થાય.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $10(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - (\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) - 3 = 0$.
$10$ વડે ભાગતા: $(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - \frac{1}{10}(\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) = \frac{3}{10}$.

(C) ધારો કે $f(n) = n^4-2n^3-n^2+2n-26$.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$f(n) = n^3(n-2) - n(n-2) - 26$
$f(n) = (n^3-n)(n-2) - 26$
$f(n) = n(n^2-1)(n-2) - 26$
$f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1) - 26$.
ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $4! = 24$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ધારો કે $(n-2)(n-1)n(n+1) = 24k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી $f(n) = 24k - 26$.
$24$ વડે ભાગતા શેષ શોધવા માટે:
$f(n) = 24k - 48 + 22$
$f(n) = 24(k-2) + 22$.
આમ,શેષ $22$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-4x+8=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $\alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\alpha, \beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \pm i\sin \frac{\pi}{4})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} + i\sin \frac{n\pi}{2})$ અને $\beta^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} - i\sin \frac{n\pi}{2})$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$\alpha^{2n} + \beta^{2n} = 2^{3n} \cdot 2 \cos \frac{n\pi}{2} = 2^{3n+1} \cos \frac{n\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \omega + 2\omega^2 - 3$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમત $\alpha$ માં મૂકતા:
$\alpha = (\omega + \omega^2) + \omega^2 - 3 = -1 + \omega^2 - 3 = \omega^2 - 4$.
તેથી,$\omega^2 = \alpha + 4$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$(\omega^2)^3 = (\alpha + 4)^3$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^6 = 1$.
આમ,$1 = \alpha^3 + 3(\alpha^2)(4) + 3(\alpha)(4^2) + 4^3$.
$1 = \alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 64$.
બંને બાજુથી $61$ બાદ કરતા:
$\alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 3 = 1 - 64 = -63$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $2$ ના અવાસ્તવિક ઘનમૂળ છે.
$2$ ના ઘનમૂળ $2^{1/3}, 2^{1/3}\omega, 2^{1/3}\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
અવાસ્તવિક ઘનમૂળ $\alpha = 2^{1/3}\omega$ અને $\beta = 2^{1/3}\omega^2$ છે.
હવે,$\alpha^6 + \beta^6 = (2^{1/3}\omega)^6 + (2^{1/3}\omega^2)^6$.
$= 2^2 \omega^6 + 2^2 \omega^{12}$.
$= 4(\omega^3)^2 + 4(\omega^3)^4$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$4(1)^2 + 4(1)^4 = 4 + 4 = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ $1+x+x^2=0$ છે.
$(x-1)$ વડે ગુણતા,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^3-1=0$,તેથી $x^3=1$.
$1+x+x^2=0$ ના બીજ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = \alpha = \omega$ અને $\beta^4 = (\omega^2)^4 = \omega^8 = \omega^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ મળે.
વળી,$\alpha^{-4}\beta^{-4} = (\alpha\beta)^{-4} = (\omega \cdot \omega^2)^{-4} = (\omega^3)^{-4} = (1)^{-4} = 1$.
આમ,$\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4} = \omega + \omega^2 + 1$.
$1+\omega+\omega^2 = 0$ હોવાથી,જવાબ $0$ છે.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.

(C) આપેલ શ્રેણી $(1-\alpha)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{1!}(\frac{\alpha}{q}) + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{\alpha}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{\alpha}{q})^3 + \ldots$ સ્વરૂપમાં છે.
આ શ્રેણીની સરખામણી કરતા,$p=3$,$p+q=7$,અને $p+2q=11$ મળે છે.
$p=3$ અને $p+q=7$ પરથી,$q=4$ મળે છે.
વળી,$\frac{\alpha}{q} = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\alpha = \frac{q}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,$x = (1-\alpha)^{-p/q} = (1-\frac{2}{3})^{-3/4} = (\frac{1}{3})^{-3/4} = (3)^{3/4}$.
તેથી,$x^4 = (3^{3/4})^4 = 3^3 = 27$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-3)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}$.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} - \frac{1}{3(1-\frac{x}{3})}$.
$|y| < 1$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n - \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n$.
$x^n$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^n - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}$ છે.

(B) આપેલ સરવાળો $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ છે.
આને $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ${}^{k} C_5$ ને ${}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,સરવાળો આ મુજબ થશે:
$\sum_{k=30}^{40} ({}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6) = ({}^{31} C_6 - {}^{30} C_6) + ({}^{32} C_6 - {}^{31} C_6) + \dots + ({}^{41} C_6 - {}^{40} C_6)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ ${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$ થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{(1+\frac{2}{3}x)^{-3}(1-15x)^{-1/5}}{(2-3x)^4}$
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતોને અવગણતા,આપણે દ્વિપદી આશરે કિંમત $(1+nx) \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$E = \frac{1}{16} (1+\frac{2}{3}x)^{-3} (1-15x)^{-1/5} (1-\frac{3}{2}x)^{-4}$
આશરે કિંમત $(1+ax)^n \approx 1+nax$ લાગુ પાડતા:
$(1+\frac{2}{3}x)^{-3} \approx 1-2x$
$(1-15x)^{-1/5} \approx 1+3x$
$(1-\frac{3}{2}x)^{-4} \approx 1+6x$
આ બધાનો ગુણાકાર કરતા:
$E \approx \frac{1}{16} (1-2x)(1+3x)(1+6x) = \frac{1}{16}(1+7x)$

(B) આપણી પાસે છે,
$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$
$= (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta$
$= \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$
ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
તેથી $A = x^2 - x + 1$.
આ $x$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેનું શિરોબિંદુ $x = 1/2$ પર છે.
$1/2 \in [0, 1]$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1/2$ પર મળે છે:
$A_{min} = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 3/4$.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $x=0$ અથવા $x=1$ પર મળે છે:
$x = 0$ માટે,$A = 1$.
$x = 1$ માટે,$A = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $[3/4, 1]$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$.
આપેલ છે કે $\cosh 2x = 199$,તેથી:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 199$
$1 + \tanh^2 x = 199 - 199 \tanh^2 x$
$200 \tanh^2 x = 198$
$\tanh^2 x = \frac{198}{200} = \frac{99}{100}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$
$\coth x = \frac{1}{\tanh x}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\coth x = \frac{10}{3 \sqrt{11}}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sec x \cos 5x + 1 = 0$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,$\frac{\cos 5x}{\cos x} + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $\cos 5x + \cos x = 0$ જ્યાં $\cos x \neq 0$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 3x \cos 2x = 0$.
આથી $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$.
$[0, 2\pi]$ માં $\cos 3x = 0$ માટે,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
$[0, 2\pi]$ માં $\cos 2x = 0$ માટે,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આપણે $\cos x = 0$ હોય તેવી કિંમતો દૂર કરવી પડશે,એટલે કે $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
માન્ય ઉકેલો $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $8$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(X, Y)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(h, k) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ પર ખસેડવામાં આવે છે અને અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે.
મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ $(x, y) = (1, -1)$ છે.
નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(X, Y)$ માટેના સૂત્રો:
$X = (x - h) \cos \theta + (y - k) \sin \theta$
$Y = -(x - h) \sin \theta + (y - k) \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$X = (1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$Y = -(1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - \sqrt{2}$
આમ,નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(0, -2-\sqrt{2})$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a+b = -1$,તેથી $b = -(1+a)$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$ મળે.
રેખા $(4,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$.
$a(1+a)$ વડે ગુણતા,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$ $\Rightarrow 4 + a = a + a^2$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી,$a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$ હોય,તો $b = -(1+2) = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1 \Rightarrow 3x - 2y - 6 = 0$ મળે.
જો $a = -2$ હોય,તો $b = -(1-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ $\Rightarrow -x + 2y = 2$ $\Rightarrow x - 2y + 2 = 0$ મળે.
આમ,સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y - 6)(x - 2y + 2) = 0$ છે.

(C) ધારો કે રેખા યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $2: 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left(\frac{2(a) + 3(0)}{2 + 3}, \frac{2(0) + 3(b)}{2 + 3}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
આપેલ છે કે $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,તેથી યામ સરખાવતા:
$\frac{2a}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$
$\frac{3b}{5} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{5}{9}$
રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{5/4} + \frac{y}{5/9} = 1$
$\frac{4x}{5} + \frac{9y}{5} = 1$
$4x + 9y = 5$.

(C) રેખાઓ $4x - y + 7 = 0$ અને $kx - 5y - 9 = 0$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1 = 4$ અને $m_2 = \frac{k}{5}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{4 - \frac{k}{5}}{1 + 4 \cdot \frac{k}{5}} \right|$
$1 = \left| \frac{20 - k}{5 + 4k} \right|$
આથી $\frac{20 - k}{5 + 4k} = 1$ અથવા $\frac{20 - k}{5 + 4k} = -1$.
કિસ્સો $1$: $20 - k = 5 + 4k$ $\Rightarrow 5k = 15$ $\Rightarrow k = 3$.
કિસ્સો $2$: $20 - k = -5 - 4k$ $\Rightarrow 3k = -25$ $\Rightarrow k = -\frac{25}{3}$.
$k > 0$ હોવાથી,સાચો જવાબ $k = 3$ છે.

(A) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $BD:CD = AB:AC$.
પહેલા બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-4)^2 + (-2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (2-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $BD:CD = AB:AC = 5\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 5:3$.
બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ ના યામ:
$D = \left(\frac{5(3) + 3(0)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(2)}{5+3}\right) = \left(\frac{15}{8}, \frac{4}{8}, \frac{11}{8}\right)$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 9x + 12y + 7 = 0$ છે.
પ્રથમ,$L_2$ ને $3$ વડે ભાગતા: $3x + 4y + \frac{7}{3} = 0$.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુનો બિંદુપથ એ બંનેની વચ્ચે આવેલી ત્રીજી સમાંતર રેખા છે.
તેથી,બિંદુપથ એક સુરેખા છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $xy+4x-3y-12=0$ અને $xy-3x+4y-12=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$. આ રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ દર્શાવે છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$. આ રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ દર્શાવે છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ અને $D(-4,3)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $A(-4,-4)$ અને $C(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $B(3,-4)$ અને $D(-4,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2+x-y=0$ થાય છે.

(D) રેખાયુગ્મ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ ને રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા,આપણે $\frac{x+y}{k}=1$ લઈએ છીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
રેખાઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k=1$ અથવા $k=2$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ અને બિંદુ $(1, 6)$ છે,પાવર $-16$ છે.
બિંદુ $(1, 6)$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-5x+8y+6=0$ માટે,$g = -\frac{5}{2}$,$f = 4$,અને $c = 6$ છે.
બિંદુ $(4,2)$ નો ધ્રુવ:
$x(4) + y(2) - \frac{5}{2}(x+4) + 4(y+2) + 6 = 0$
$4x + 2y - \frac{5}{2}x - 10 + 4y + 8 + 6 = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$8x + 4y - 5x - 20 + 8y + 16 + 12 = 0$
$3x + 12y + 8 = 0$
કારણ કે $(k,-3)$ એ સંયુગ્મી બિંદુ છે,તે ધ્રુવ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
$(k,-3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(k) + 12(-3) + 8 = 0$
$3k - 36 + 8 = 0$
$3k - 28 = 0$
$k = \frac{28}{3}$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે. બિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે,જે $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$ એટલે કે $x + \sqrt{3}y = 4$ થાય.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(4, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
$P(1, \sqrt{3})$ આગળનો અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x$ છે.
ત્રિકોણ $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ અને $A(4, 0)$ બિંદુઓ દ્વારા બને છે.
$\triangle OPA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OA \times y_P = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
અહીં,$S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21$ અને $S_2 = x^2+y^2-2x-15$.
સમીકરણ: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1+4-8-12+21) + \lambda(1+4-2-15) = 0$
$6 - 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x^2+2y^2-16x-12y+42 + x^2+y^2-2x-15 = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-2ax=0$
$S_2: x^2+y^2-2by=0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-2ax) - (x^2+y^2-2by) = 0$
$-2ax + 2by = 0$
$ax - by = 0$
વર્તુળ $S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1(a, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = a$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(a, 0)$ થી સામાન્ય જીવા $ax - by = 0$ પરના લંબનું અંતર $d$:
$d = \frac{|a(a) - b(0)|}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ છે:
$= 2\sqrt{a^2 - \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}$
$= 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2) - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}$
$= \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે. $P$ નું નાભિ $S(1, -1)$ થી અંતર એ તેની નિયામિકા $x+y+3=0$ થી લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$\therefore PS = PQ \implies PS^2 = PQ^2$
અંતર સૂત્ર અને લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = \left(\frac{x+y+3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = \frac{(x+y+3)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2) = x^2 + y^2 + 9 + 2xy + 6y + 6x$
$2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 6x + 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y - 5 = 0$

(A) ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2=8x$ પરનું બિંદુ છે. $P$ ના યામ $(2t^2, 4t)$ તરીકે લઈ શકાય.
ધારો કે $M(x, y)$ એ રેખાખંડ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $A(1, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2t^2 + 1}{2}$ અને $y = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$y = 2t$ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{2(\frac{y}{2})^2 + 1}{2} = \frac{2(\frac{y^2}{4}) + 1}{2} = \frac{\frac{y^2}{2} + 1}{2} = \frac{y^2 + 2}{4}$.
$4x = y^2 + 2$.
$y^2 = 4x - 2 = 4(x - \frac{1}{2})$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $y^2 = 4(x - \frac{1}{2})$ છે.

(P-6, Q-1, R-3) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે. અહીં,$a^2=25 \Rightarrow a=5$ અને $b^2=16 \Rightarrow b=4$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$(P)$ નાભિ $(-ae, 0) = (-3, 0)$ ને અનુરૂપ નિયામિકા $x = -\frac{a}{e} = -\frac{5}{3/5} = -\frac{25}{3}$ છે,જે $3x + 25 = 0$ આપે છે. આ $(6)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(Q)$ શિરોબિંદુ $(0, 4)$ આગળ સ્પર્શક $y = 4$ છે. આ $(1)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(R)$ નાભિ $(ae, 0) = (3, 0)$ માંથી પસાર થતું નાભિલંબ $x = ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ છે. આ $(3)$ સાથે બંધ બેસે છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વર્ગની અંદરના રેખીય પદોને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ:
$x+y-3=0 \quad (i)$
$x-y+1=0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x+y-3) + (x-y+1) = 0 + 0$
$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x=1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1+y-3=0 \Rightarrow y=2$
આમ,ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(1,2)$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=16$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ગુણાકાર} = \frac{16 \times 16}{16+16} = \frac{256}{32} = 8$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{1 / x}$.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x)-1]g(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right] \frac{1}{x}}$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}$ મળે.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\tan x+1}{1-\tan x}-1\right] \frac{1}{x}} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \left[\frac{\tan x+1-1+\tan x}{1-\tan x}\right] \frac{1}{x}}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x}{x(1-\tan x)}}$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} (1-\tan x) = 1$,તેથી $L = e^{2 \times 1 / 1} = e^2$.

(C) આપેલ છે કે સંખ્યા $i$ એ $i = 1, 2, \ldots, n$ માટે $i$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} i \times i = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
મધ્યક $\bar{X}$ એ અવલોકનોના સરવાળા અને કુલ અવલોકનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$\bar{X} = \frac{\sum i^2}{\sum i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક સમાન છે,ધારો કે $\bar{X}_A = \bar{X}_B = \bar{X}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$ છે.
ટીમ $A$ માટે,$CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{X}} \times 100 = 4$.
ટીમ $B$ માટે,$CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{X}} \times 100 = 2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A / \bar{X}}{\sigma_B / \bar{X}} = \frac{4}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = 2$.
તેથી,$\sigma_A = 2 \sigma_B$.

(B) આપેલ છે કે $\angle C = \frac{\pi}{3}$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2-c^2 = ab$,અથવા $a^2+b^2 = ab+c^2$.
બંને બાજુ $ac+bc$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $\frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{a+c} = 3$.
$(a+b+c)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
તેથી,$\frac{3}{a+b+c} - \frac{1}{a+c} = \frac{1}{b+c}$.

(D) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$
$a^2+c^2-b^2 = ac$
$c^2 - ac + (a^2-b^2) = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $c$ માટે ઉકેલતા:
$c = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2-b^2)}}{2}$
$c = \frac{a \pm \sqrt{4b^2-3a^2}}{2}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} = \frac{s^2}{\Delta^2} + \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s^2 - 2as + a^2) + (s^2 - 2bs + b^2) + (s^2 - 2cs + c^2)}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી:
$= \frac{4s^2 - 2s(2s) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 4s^2 + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$

(A) આપેલ છે,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
$s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2} = \frac{2\Delta}{r_1}$,$s-c = \frac{\Delta}{r_3} = \frac{3\Delta}{r_1}$.
$s = (s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{r_1} + \frac{2\Delta}{r_1} + \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{6\Delta}{r_1}$.
$b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{2\Delta}{r_1} = \frac{4\Delta}{r_1}$.
$c = s - (s-c) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{3\Delta}{r_1}$.
તેથી,$b : c = 4 : 3$.

(C) આપેલ અસમતા: $|x|^2-5|x|+4 < 0$
ધારો કે $|x| = y$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$.
અસમતા $y^2-5y+4 < 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y-4)(y-1) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 4$.
$y = |x|$ પાછું મૂકતા,આપણને $1 < |x| < 4$ મળે છે.
આ અસમતા $|x| > 1$ અને $|x| < 4$ ને સમાન છે.
$|x| > 1$ માટે,$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$|x| < 4$ માટે,$x \in (-4, 4)$.
આ બંને ગણનો છેદ લેતા,આપણને $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$ મળે છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણની લંબાઈ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે,અથવા $d^2 = 2a^2$ થાય.
વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $C(2, -3, 5)$ આપેલા છે.
વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (-3-2)^2 + (5-3)^2}$
$AC = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 2^2}$
$AC = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$
કારણ કે $AC^2 = 2a^2$,તેથી:
$(\sqrt{30})^2 = 2a^2$
$30 = 2a^2$
$a^2 = 15$
$a = \sqrt{15} \text{ એકમ}$.

(A) બે કણો વચ્ચેનું અંતર $PQ$ અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{((t+1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $(10t - 3)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(10t - 3)^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ થાય છે જ્યારે $10t - 3 = 0$,એટલે કે $t = 0.3$.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{1 + 0} = 1$ છે.

(B) આપણને આપેલ છે: $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,અને $P(B) = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,$P(A)$ ની ગણતરી કરો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{13}{12} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(A) \cdot P(B)$ ની ગણતરી કરીને નિરસતતા તપાસો:
$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરસત છે.

(D) $y=9x^2$ અને $y=5x^2+4$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$9x^2 = 5x^2 + 4$
$4x^2 = 4$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $y = 9(1)^2 = 9$. જ્યારે $x = -1$ હોય,ત્યારે $y = 9(-1)^2 = 9$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(1, 9)$ અને $(-1, 9)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલ સંકલન છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} [(5x^2+4) - 9x^2] dx$
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\text{Area} = 2 \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) dx$
$= 2 [4x - \frac{4x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 (4(1) - \frac{4(1)^3}{3}) - 2(0 - 0)$
$= 2 (4 - \frac{4}{3})$
$= 2 (\frac{12-4}{3})$
$= 2 (\frac{8}{3}) = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ નિત્યસમ: $\left|\begin{array}{ccc}x^2+x+1 & x+1 & 2x-3 \\ 3x^2-1 & x+2 & x-1 \\ x^2+5x+1 & 2x+3 & x+4\end{array}\right| = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
$e$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ $x=0$ મૂકીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc}0^2+0+1 & 0+1 & 2(0)-3 \\ 3(0)^2-1 & 0+2 & 0-1 \\ 0^2+5(0)+1 & 2(0)+3 & 0+4\end{array}\right| = a(0)^4+b(0)^3+c(0)^2+d(0)+e$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right| = e$.
હવે,પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$e = 1((2)(4) - (-1)(3)) - 1((-1)(4) - (-1)(1)) + (-3)((-1)(3) - (2)(1))$.
$e = 1(8 + 3) - 1(-4 + 1) - 3(-3 - 2)$.
$e = 1(11) - 1(-3) - 3(-5)$.
$e = 11 + 3 + 15$.
$e = 29$.

(A) આપેલ છે કે $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2-1 & 3-2 \\ x+1 & (2x+1)-(x+1) & (3x+1)-(2x+1) \\ x^2+1 & (2x^2+1)-(x^2+1) & (3x^2+1)-(2x^2+1) \end{array} \right|$
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x+1 & x & x \\ x^2+1 & x^2 & x^2 \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\int_0^1 A(x) \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચાયક $D$ અને $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \\ 9 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 4(-35 + 9) - 1(7 - 27) + 2(-3 + 45) = 4(-26) - 1(-20) + 2(42) = -104 + 20 + 84 = 0$.
કારણ કે $D = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. હવે આપણે $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 10 & -5 & 3 \\ 20 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 5(-35 + 9) - 1(70 - 60) + 2(-30 + 100) = 5(-26) - 1(10) + 2(70) = -130 - 10 + 140 = 0$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 10 & 3 \\ 9 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 4(70 - 60) - 5(7 - 27) + 2(20 - 90) = 4(10) - 5(-20) + 2(-70) = 40 + 100 - 140 = 0$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 10 \\ 9 & -3 & 20 \end{vmatrix} = 4(-100 + 30) - 1(20 - 90) + 5(-3 + 45) = 4(-70) - 1(-70) + 5(42) = -280 + 70 + 210 = 0$.
આમ,$D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેને અનંત ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot \left(\cos ^{-1} x\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\frac{\pi}{3} = \cot \left(\cos ^{-1} x\right)$.
બંને બાજુ $\cot$ લેતા: $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos ^{-1} x$.
કારણ કે $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \cos ^{-1} x$.
તેથી,$x = \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્નમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જો પ્રશ્ન $\cot^{-1}(\frac{1}{2}) = \cos^{-1}x$ હોત,તો $x = \cos(\cot^{-1}(\frac{1}{2})) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ મળે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $[-1, 1]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $g(x) = f(5x + 4)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો ચલ $(5x + 4)$ એ $f$ ના પ્રદેશ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે અસમતા મેળવીએ છીએ:
$-1 \leq 5x + 4 \leq 1$
દરેક પદમાંથી $4$ બાદ કરતા:
$-1 - 4 \leq 5x \leq 1 - 4$
$-5 \leq 5x \leq -3$
દરેક પદને $5$ વડે ભાગતા:
$-1 \leq x \leq -\frac{3}{5}$
આમ,વિધેય $g(x)$ એ $[-1, -\frac{3}{5}]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત છે.

(C) આપેલ છે કે,$f: N \rightarrow R$ જ્યાં $f(1)=-1$ અને પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(n+1)=3f(n)+2$ છે,જ્યાં $n \geq 1$.
$n=1$ માટે,$f(2) = 3f(1)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$.
$n=2$ માટે,$f(3) = 3f(2)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $f(k)=-1$ હોય,તો $f(k+1) = 3f(k)+2 = 3(-1)+2 = -1$.
આમ,તમામ $n \in N$ માટે $f(n)=-1$ હોવાથી,વિધેય $f$ દરેક ઇનપુટને સમાન આઉટપુટ $-1$ પર લઈ જાય છે.
તેથી,$f$ એ એક અચળ વિધેય છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^{\cot x}$.
$x \rightarrow 0$ માટે લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} (x+1)^{\cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x \cdot \ln(1+x)}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,ઘાતાંકને આ રીતે લખી શકાય:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\tan x} \right)$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,તેથી ઘાતાંકનું લક્ષ $1 \cdot 1 = 1$ થાય છે.
તેથી,$f(0) = e^1 = e$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2+y^2=t+\frac{2}{t}$ અને $x^4+y^4=t^2+\frac{4}{t^2}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{2}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
બીજા સમીકરણમાંથી $x^4+y^4$ ની કિંમત મૂકતા: $(t^2+\frac{4}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2x^2y^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2y^2 = 2$.
તેથી,$y^2 = \frac{2}{x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -2 \cdot 2x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$.
બંને બાજુ $x^3$ વડે ગુણતા: $2x^3y \frac{dy}{dx} = -4$.
તેથી,$x^3y \frac{dy}{dx} = -2$.

(D) આપેલ છે,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ લેતા,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
આનું સાદું રૂપ $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ થાય છે.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
બંને બાજુ $(1+\sqrt{y})$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x(1+\sqrt{y}) = 1-\sqrt{y}$.
$x + x\sqrt{y} = 1 - \sqrt{y}$.
પદોને ગોઠવતા,$\sqrt{y}(x+1) = 1-x$,તેથી $\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{-4\sqrt{y}}{(1+x)^2}$.
$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(x+1)^3}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ \frac{(x+1)^3(1) - (x-1) \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} \right] = 4 \left[ \frac{(x+1) - 3(x-1)}{(x+1)^4} \right] = 4 \left[ \frac{x+1-3x+3}{(x+1)^4} \right] = \frac{4(4-2x)}{(x+1)^4} = \frac{8(2-x)}{(x+1)^4}$.
આ કિંમતોને $(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{3 \sqrt{y}+1}{\sqrt{y}}\right) \frac{d y}{d x}$ માં મૂકતા:
નોંધો કે $\frac{3\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}} = 3 + \frac{1}{\sqrt{y}} = 3 + \frac{1+x}{1-x} = \frac{3-3x+1+x}{1-x} = \frac{4-2x}{1-x}$.
પદાવલિ $= (x+1) \frac{8(2-x)}{(x+1)^4} + \left(\frac{4-2x}{1-x}\right) \frac{4(x-1)}{(x+1)^3} = \frac{8(2-x)}{(x+1)^3} - \frac{8(2-x)}{(x+1)^3} = 0$.

(A) રેખા $y=-4x+b$ નો ઢાળ $m=-4$ છે.
વક્ર $y=\frac{1}{x}$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે રેખા વક્રને સ્પર્શે છે,તેથી સ્પર્શબિંદુએ તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{x^2} = -4
\Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}
\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{1}{2}$ હોય,ત્યારે વક્ર પર $y$-યામ $y = \frac{1}{1/2} = 2$ મળે છે.
જ્યારે $x = -\frac{1}{2}$ હોય,ત્યારે વક્ર પર $y$-યામ $y = \frac{1}{-1/2} = -2$ મળે છે.
આ બિંદુઓ $(x, y)$ ને રેખાના સમીકરણ $y = -4x + b$ માં મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $2 = -4(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow 2 = -2 + b \Rightarrow b = 4$.
કિસ્સો $2$: $-2 = -4(-\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -2 = 2 + b \Rightarrow b = -4$.
આમ,$b = \pm 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $\Delta A$ એ $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ભૂલ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x \Delta x}{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
આપેલ છે કે $x = 10$ અને $\Delta x = 0.05$:
$\text{પ્રતિશત ભૂલ} = \frac{2 \times 0.05}{10} \times 100 = \frac{0.1}{10} \times 100 = 1 \%$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં થતી પ્રતિશત ભૂલ $1 \%$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$.
રોલના પ્રમેય માટે,$f(x)$ એ $[0, 2]$ પર સતત હોવું જોઈએ,$(0, 2)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ અને $f(0) = f(2)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 1$ આગળ સાતત્ય તપાસીએ:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2 - 1 = 1$.
$f(1) = 1$.
$LHL = RHL = f(1)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે.
હવે,$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા તપાસીએ:
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(2-x) = -1$.
$f'(1^-) \neq f'(1^+)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી કારણ કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, 2)$ પર વિકલનીય નથી.

(D) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $\sqrt{2+x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2+x}{\sqrt{(2-x)(2+x)}} \, dx = \int \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$I = 2 \int \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા.
બીજા ભાગ માટે,$u = 4-x^2$ લેતા,જેથી $du = -2x \, dx$ અથવા $x \, dx = -\frac{1}{2} du$ થાય.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C$.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{4-x^2} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt{e^x-4} \, dx$.
$e^x-4 = t^2$ લેતા.
તેથી $e^x \, dx = 2t \, dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{2t}{e^x} \, dt = \frac{2t}{t^2+4} \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t \cdot \frac{2t}{t^2+4} \, dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2+4} \, dt$.
હવે,સંકલ્યને ફરીથી લખતા:
$I = 2 \int \frac{t^2+4-4}{t^2+4} \, dt = 2 \int \left(1 - \frac{4}{t^2+2^2}\right) \, dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ t - 4 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right] + C$.
$I = 2t - 4 \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C$.
$t = \sqrt{e^x-4}$ પાછા મૂકતા:
$I = 2 \sqrt{e^x-4} - 4 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{e^x-4}}{2}\right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int e^{-x} \tan ^{-1}\left(e^x\right) d x$.
$e^x = t$ આદેશ લેતા,$e^x d x = d t$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $d x = \frac{1}{t} d t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\tan ^{-1} t}{t^2} d t$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \tan ^{-1} t$ અને $dv = t^{-2} dt$ લેતા,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ અને $v = -\frac{1}{t}$ મળે.
$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t - \int \left(-\frac{1}{t}\right) \frac{1}{1+t^2} d t = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \int \frac{1}{t(1+t^2)} d t$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.
તેથી,$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}\right) d t$.
$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \log |t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + C$.
$t = e^x$ પાછું મૂકતા:
$I = -e^{-x} \tan ^{-1} (e^x) + \log (e^x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$.
$\log (e^x) = x$ હોવાથી,$I = -e^{-x} \tan ^{-1} (e^x) + x - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$.
આપેલ પદ $f(x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = x - e^{-x} \tan ^{-1} (e^x)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x+5}{x^2+4x+5} dx$.
અંશને $x+5 = \lambda(2x+4) + \mu$ તરીકે દર્શાવો.
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$1 = 2\lambda \implies \lambda = \frac{1}{2}$
$5 = 4\lambda + \mu \implies 5 = 4(\frac{1}{2}) + \mu \implies 5 = 2 + \mu \implies \mu = 3$.
આમ,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+4) + 3}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + 3 \int \frac{1}{(x+2)^2 + 1^2} dx$.
સૂત્ર $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)|$ અને $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \log(x^2+4x+5) + 3 \tan^{-1}(x+2) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ $a \log(x^2+4x+5) + b \tan^{-1}(x+k) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{2}$,$b = 3$,અને $k = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$.
સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા:
$I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x} \times \frac{1-x}{1-x}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = [\sin^{-1} x]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x \, dx$,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_0^1 = [\sqrt{u}]_0^1 = 1 - 0 = 1$.
આમ,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16 x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(8\pi - 16x) \cos x \sin x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{8\pi \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
ધારો કે $u = \tan^2 x$,તેથી $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$:
$I = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = 2\pi [\tan^{-1}(u)]_0^{\infty}$
$I = 2\pi [\frac{\pi}{2} - 0] = \pi^2$

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = ax + \frac{1}{a}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a$
$a = \frac{dy}{dx}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1$
અહીં સૌથી વધુ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v} + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $e^v dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^v dv = \int \frac{2}{x} dx$.
$e^v = 2 \log |x| + C_1$.
અચળાંક $C_1 = 2 \log |C|$ લેતા,$e^v = 2 \log |x| + 2 \log |C| = 2 \log |Cx|$.
તેથી,$e^{y/x} = 2 \log |Cx|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપના સુરેખ વિકલ સમીકરણ માટે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{x^2}{x^3+1}y = \frac{3x^2}{x^3+1}$.
$IF = e^{\int \frac{x^2}{x^3+1} dx} = e^{\frac{1}{3}\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^{1/3}$. તેથી,$P-5$.
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = x^4$.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3\ln x} = x^3$. તેથી,$Q-1$.
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{x^3+1}y = \frac{x^2}{(x^3+1)^2}$.
$IF = e^{\int \frac{6x^2}{x^3+1} dx} = e^{2\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^2$. તેથી,$R-2$.
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{\ln x}{x^2+1}$.
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2\ln(x^2+1)} = (x^2+1)^2$. તેથી,$S-3$.
આમ,સાચી જોડણી $P-5, Q-1, R-2, S-3$ છે.

(B) ધારો કે $S$ એ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $P$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે.
$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{p}$.
$P$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{p}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{d}) = 2\vec{p} + 2\vec{p} = 4\vec{p}$.
$S$ એ ઉગમબિંદુ હોવાથી,$\vec{a} = \vec{SA}, \vec{b} = \vec{SB}, \vec{c} = \vec{SC}, \vec{d} = \vec{SD}$ અને $\vec{p} = \vec{SP}$ થાય.
આમ,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SP}$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = \lambda \vec{SP}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{AD} = \vec{b}$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ અને $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b}$.
આપેલ છે કે $N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{DN} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{a}$.
$\triangle ABM$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$.
$\triangle ADN$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$.
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a})$
$= (1 + \frac{1}{2}) \vec{a} + (1 + \frac{1}{2}) \vec{b}$
$= \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} = \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2} \vec{AC}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 5\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ છે.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} + 0\hat{k}$
માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + 0^2} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
વળી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |\vec{BC}| \times p$,જ્યાં $p$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ છે.
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = 6$.
તેથી,$4\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 6 \times p \implies 4\sqrt{5} = 3p \implies p = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સમાંતરફલકની ધારની ગણતરી કરીએ:
$a+b = 5 \hat{i}-7 \hat{j}+10 \hat{k}$
$b+c = 8 \hat{i}-7 \hat{j}+3 \hat{k}$
$c+a = 7 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$
સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a+b, b+c, c+a]$ દ્વારા મળે છે,જે આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$V = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 10 \\ 8 & -7 & 3 \\ 7 & -6 & 3 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = 5(-21 + 18) + 7(24 - 21) + 10(-48 + 49)$
$V = 5(-3) + 7(3) + 10(1)$
$V = -15 + 21 + 10 = 16$
આમ,સમાંતરફલકનું ઘનફળ $16$ ઘન એકમ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ છે. તો $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b} + \vec{d}$ થાય.
$P$ એ $AD$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{0}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{d}$ થાય.
ધારો કે $Q$ એ $BP$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $AC$ ને $m:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$BP$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{k\vec{p} + 1\vec{b}}{k+1} = \frac{k(\frac{3}{4}\vec{d}) + \vec{b}}{k+1} = \frac{1}{k+1}\vec{b} + \frac{3k}{4(k+1)}\vec{d}$ છે.
$AC$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{m\vec{c} + 1\vec{a}}{m+1} = \frac{m(\vec{b} + \vec{d})}{m+1} = \frac{m}{m+1}\vec{b} + \frac{m}{m+1}\vec{d}$ છે.
$\vec{b}$ અને $\vec{d}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{k+1} = \frac{m}{m+1}$ અને $\frac{3k}{4(k+1)} = \frac{m}{m+1}$.
આમ,$\frac{1}{k+1} = \frac{3k}{4(k+1)} \Rightarrow 4 = 3k \Rightarrow k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ ને $\frac{m}{m+1} = \frac{1}{k+1} = \frac{1}{4/3 + 1} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$ માં મૂકતા.
$7m = 3m + 3 \Rightarrow 4m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{4}$.
તેથી,$AQ:QC = m:1 = \frac{3}{4}:1 = 3:4$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$L_1: \vec{r} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
$L_2: \vec{r} = (\hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
અહીં,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}$ ગણો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{35}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$d = \left| \frac{(-2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{-2 - 33 + 0}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $P, Q, R$ માં મળે છે,તેથી $P, Q, R$ ના યામ $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ થશે.
$\triangle P Q R$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2}$
$\frac{c}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = 1$
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{3/2} + \frac{z}{1} = 1$
$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} + z = 1$
$3$ વડે ગુણતા,$x + 2y + 3z = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $P(A | B) = 0.6$,$P(B | A) = 0.3$ અને $P(A) = 0.1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.3 = \frac{P(A \cap B)}{0.1} \implies P(A \cap B) = 0.03$.
હવે,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{0.03}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.03}{0.6} = 0.05$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.1 + 0.05 - 0.03 = 0.12$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.12 = 0.88$.

(A) ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ એ ઘટનાઓ છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી અનુક્રમે સ્ત્રી અને પુરુષ છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી $1.8 \ m$ કરતા ઊંચો છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 60/100 = 0.6$
$P(E_2) = 40/100 = 0.4$
$P(A|E_1) = 1/100 = 0.01$
$P(A|E_2) = 4/100 = 0.04$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો વિદ્યાર્થી $1.8 \ m$ કરતા ઊંચો હોય તો તે સ્ત્રી હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.6 \times 0.01}{(0.6 \times 0.01) + (0.4 \times 0.04)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.006}{0.006 + 0.016} = \frac{0.006}{0.022} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

(C) ધારો કે $X$ એ $100$ ઉછાળમાં મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$,તેથી:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$
${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{100!}{50! 50!} (1-p) = \frac{100!}{51! 49!} p$
$\frac{1-p}{50} = \frac{p}{51}$
$51(1-p) = 50p$
$51 - 51p = 50p$
$101p = 51$
$p = \frac{51}{101}$

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $n=6$ અને સફળતાની સંભાવના $p$ ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે. ધારો કે $q = 1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને શરત $4 P(X=4) = P(X=2)$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{6-4} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{6-2}$
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}$
કારણ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી તે ઉડી જશે:
$4 p^{4} q^{2} = p^{2} q^{4}$
બંને બાજુ $p^{2} q^{2}$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને):
$4 p^{2} = q^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2p = q$
$q = 1-p$ હોવાથી,આપણને મળે:
$2p = 1-p$
$3p = 1$
$p = 1/3$