જો $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ અને $5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ હોય,તો $A$ માંથી બાજુ $BC$ પર દોરેલા વેધનું માન શોધો.

જો $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $\vec{p}=\vec{a}-\vec{b}$ અને $\vec{q}=\vec{a}+\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ . . . . . . છે.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})+24 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c}=-3$ થાય. તો $|\overrightarrow{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

કોઈપણ સદિશ $x$ માટે,જ્યાં $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે,$(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ અને $a \times b=0$ હોય,તો $(m, n)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $QR, RP, PQ$ ની દિશામાં ત્રણ એકમ સદિશો છે.
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ શોધો.
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ જો ત્રિકોણ $PQR$ બદલાતો હોય,તો $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ અને $(2)$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.