TS EAMCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\cosh 2x = \frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1}$ है।
दिया गया है $\cosh 2x = 199$,इसलिए $\frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1} = 199$ है।
माना $u = \operatorname{coth}^2 x$ है। तो $\frac{u + 1}{u - 1} = 199$ है।
$u + 1 = 199u - 199$ है।
$200 = 198u$ है।
$u = \frac{200}{198} = \frac{100}{99}$ है।
अतः,$\operatorname{coth}^2 x = \frac{100}{99}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\operatorname{coth} x = \pm \sqrt{\frac{100}{99}} = \pm \frac{10}{3 \sqrt{11}}$ है।
धनात्मक मान लेने पर,परिणाम $\frac{10}{3 \sqrt{11}}$ प्राप्त होता है।

(D) रेखाओं का पहला युग्म $xy+4x-3y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x-3)(y+4)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=3$ और $y=-4$ हैं।
रेखाओं का दूसरा युग्म $xy-3x+4y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x+4)(y-3)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=-4$ और $y=3$ हैं।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएं $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ हैं।
विकर्ण $(3, 3)$ को $(-4, -4)$ से और $(3, -4)$ को $(-4, 3)$ से जोड़ते हैं।
$(3, 3)$ और $(-4, -4)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y-3 = x-3$ यानी $x-y=0$ में सरल होता है।
$(3, -4)$ और $(-4, 3)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y+4 = -1(x-3)$ यानी $x+y+1=0$ में सरल होता है।
संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है ...$(i)$.
रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
चूँकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
अतः,$k=2$ या $k=1$.
चूँकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ है।

(C) दिया गया है $3 \cos A + 2 = 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{2}{3}$।
चूँकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,$\sin A > 0$ होगा। अतः $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$।
तब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$।
मूलों $\alpha$ और $\beta$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ होता है।
यहाँ,$\alpha = \sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ और $\beta = \tan A = -\frac{\sqrt{5}}{2}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{6}$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = -\frac{5}{6}$।
समीकरण $x^2 - (-\frac{\sqrt{5}}{6})x - \frac{5}{6} = 0$ है,जो $x^2 + \frac{\sqrt{5}}{6}x - \frac{5}{6} = 0$ में सरल होता है।
$6$ से गुणा करने पर,$6x^2 + \sqrt{5}x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-6x+1=0$ के मूल हैं।
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$ है।
तब $y(x+1) = x$,जिसका अर्थ है $yx + y = x$,या $x(1-y) = y$,इसलिए $x = \frac{y}{1-y}$।
इसे मूल समीकरण $x^2-6x+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{1-y})^2 - 6(\frac{y}{1-y}) + 1 = 0$।
$(1-y)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 - 6y(1-y) + (1-y)^2 = 0$।
$y^2 - 6y + 6y^2 + 1 - 2y + y^2 = 0$।
$8y^2 - 8y + 1 = 0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $8x^2-8x+1=0$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+2=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma = -1$.
माना $y = \frac{\alpha+\beta-2\gamma}{\gamma}$.
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = -1$,इसलिए $\alpha+\beta = -1-\gamma$.
इसे $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{-1-\gamma-2\gamma}{\gamma} = \frac{-1-3\gamma}{\gamma} = -3 - \frac{1}{\gamma}$.
अतः,$\frac{1}{\gamma} = -y-3$,जिसका अर्थ है $\gamma = -\frac{1}{y+3}$.
चूंकि $\gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+2=0$ का मूल है,$x = -\frac{1}{y+3}$ रखने पर:
$(-\frac{1}{y+3})^3 + (-\frac{1}{y+3})^2 + (-\frac{1}{y+3}) + 2 = 0$.
$-(y+3)^3$ से गुणा करने पर:
$1 - (y+3) + (y+3)^2 - 2(y+3)^3 = 0$.
$1 - y - 3 + y^2 + 6y + 9 - 2(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = 0$.
$-2y^3 - 17y^2 - 49y - 47 = 0$.
$2y^3 + 17y^2 + 49y + 47 = 0$.
इस समीकरण के मूलों का गुणनफल $-\frac{d}{a} = -\frac{47}{2}$ है।

(C) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x+10=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta+\gamma=0$ है।
अब,$\alpha_1=\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2}=\frac{-\gamma}{\gamma^2}=\frac{-1}{\gamma}$ है।
इसी प्रकार,$\beta_1=\frac{-1}{\alpha}$ और $\gamma_1=\frac{-1}{\beta}$ है।
अतः,$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ उस समीकरण के मूल हैं जो $x = -\frac{1}{y}$ को $x^3+x+10=0$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है।
$(-\frac{1}{y})^3 + (-\frac{1}{y}) + 10 = 0 \implies -\frac{1}{y^3} - \frac{1}{y} + 10 = 0$ है।
$-y^3$ से गुणा करने पर,$10y^3 - y^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ समीकरण $10x^3-x^2-1=0$ के मूल हैं,इसलिए $10\alpha_1^3-\alpha_1^2-1=0$,$10\beta_1^3-\beta_1^2-1=0$,और $10\gamma_1^3-\gamma_1^2-1=0$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $10(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - (\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$10$ से भाग देने पर: $(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - \frac{1}{10}(\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) = \frac{3}{10}$।

(C) माना $f(n) = n^4-2n^3-n^2+2n-26$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f(n) = n^3(n-2) - n(n-2) - 26$
$f(n) = (n^3-n)(n-2) - 26$
$f(n) = n(n^2-1)(n-2) - 26$
$f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1) - 26$.
चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $4! = 24$ से विभाज्य होता है।
माना $(n-2)(n-1)n(n+1) = 24k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
अतः $f(n) = 24k - 26$.
$24$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए:
$f(n) = 24k - 48 + 22$
$f(n) = 24(k-2) + 22$.
अतः,शेषफल $22$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-4x+8=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$ हैं।
ध्रुवीय रूप में बदलने पर: $\alpha, \beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \pm i\sin \frac{\pi}{4})$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$\alpha^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} + i\sin \frac{n\pi}{2})$ और $\beta^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} - i\sin \frac{n\pi}{2})$।
दोनों को जोड़ने पर,$\alpha^{2n} + \beta^{2n} = 2^{3n} \cdot 2 \cos \frac{n\pi}{2} = 2^{3n+1} \cos \frac{n\pi}{2}$।

(A) दिया गया है $\alpha = \omega + 2\omega^2 - 3$.
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
इस मान को $\alpha$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = (\omega + \omega^2) + \omega^2 - 3 = -1 + \omega^2 - 3 = \omega^2 - 4$.
अतः,$\omega^2 = \alpha + 4$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(\omega^2)^3 = (\alpha + 4)^3$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^6 = 1$.
अतः,$1 = \alpha^3 + 3(\alpha^2)(4) + 3(\alpha)(4^2) + 4^3$.
$1 = \alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 64$.
दोनों पक्षों से $61$ घटाने पर:
$\alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 3 = 1 - 64 = -63$.

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ संख्या $2$ के अवास्तविक घनमूल हैं।
$2$ के घनमूल $2^{1/3}, 2^{1/3}\omega, 2^{1/3}\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अवास्तविक घनमूल $\alpha = 2^{1/3}\omega$ और $\beta = 2^{1/3}\omega^2$ हैं।
अब,$\alpha^6 + \beta^6 = (2^{1/3}\omega)^6 + (2^{1/3}\omega^2)^6$.
$= 2^2 \omega^6 + 2^2 \omega^{12}$.
$= 4(\omega^3)^2 + 4(\omega^3)^4$.
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $4(1)^2 + 4(1)^4 = 4 + 4 = 8$.

(A) दिया गया समीकरण $1+x+x^2=0$ है।
$(x-1)$ से गुणा करने पर,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3-1=0$,अतः $x^3=1$।
$1+x+x^2=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$।
हमें $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = \alpha = \omega$ और $\beta^4 = (\omega^2)^4 = \omega^8 = \omega^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\alpha^{-4}\beta^{-4} = (\alpha\beta)^{-4} = (\omega \cdot \omega^2)^{-4} = (\omega^3)^{-4} = (1)^{-4} = 1$।
अतः,$\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4} = \omega + \omega^2 + 1$।
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

(C) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$।

(C) दी गई श्रेणी $(1-\alpha)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{1!}(\frac{\alpha}{q}) + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{\alpha}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{\alpha}{q})^3 + \ldots$ के रूप में है।
इस श्रेणी की तुलना करने पर,हमें $p=3$,$p+q=7$,और $p+2q=11$ प्राप्त होता है।
$p=3$ और $p+q=7$ से,$q=4$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{\alpha}{q} = \frac{1}{6}$ है,इसलिए $\alpha = \frac{q}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
अतः,$x = (1-\alpha)^{-p/q} = (1-\frac{2}{3})^{-3/4} = (\frac{1}{3})^{-3/4} = (3)^{3/4}$।
इसलिए,$x^4 = (3^{3/4})^4 = 3^3 = 27$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-3)(x-2)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}$.
अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें: $\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} - \frac{1}{3(1-\frac{x}{3})}$.
$|y| < 1$ के लिए द्विपद विस्तार $(1-y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n - \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n$.
$x^n$ का गुणांक $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^n - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}$ है।

(B) दिया गया योग $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ है।
इसे $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए,हम ${}^{k} C_5$ को ${}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग इस प्रकार होगा:
$\sum_{k=30}^{40} ({}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6) = ({}^{31} C_6 - {}^{30} C_6) + ({}^{32} C_6 - {}^{31} C_6) + \dots + ({}^{41} C_6 - {}^{40} C_6)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है,जो सरल होकर ${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(1+\frac{2}{3}x)^{-3}(1-15x)^{-1/5}}{(2-3x)^4}$
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानते हुए,हम द्विपद सन्निकटन $(1+nx) \approx 1+nx$ का उपयोग करते हैं।
$E = \frac{1}{16} (1+\frac{2}{3}x)^{-3} (1-15x)^{-1/5} (1-\frac{3}{2}x)^{-4}$
सन्निकटन $(1+ax)^n \approx 1+nax$ लागू करने पर:
$(1+\frac{2}{3}x)^{-3} \approx 1-2x$
$(1-15x)^{-1/5} \approx 1+3x$
$(1-\frac{3}{2}x)^{-4} \approx 1+6x$
इनका गुणा करने पर:
$E \approx \frac{1}{16} (1-2x)(1+3x)(1+6x) = \frac{1}{16}(1+7x)$

(B) हमारे पास है,
$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$
$= (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta$
$= \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$
माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $x \in [0, 1]$।
तब $A = x^2 - x + 1$।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है जिसका शीर्ष $x = 1/2$ पर है।
चूँकि $1/2 \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $x = 1/2$ पर प्राप्त होता है:
$A_{min} = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 3/4$।
अधिकतम मान सीमाओं $x=0$ या $x=1$ पर प्राप्त होता है:
$x = 0$ के लिए,$A = 1$।
$x = 1$ के लिए,$A = 1$।
अतः,$A$ का परिसर $[3/4, 1]$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$ होता है।
दिया गया है $\cosh 2x = 199$,अतः:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 199$
$1 + \tanh^2 x = 199 - 199 \tanh^2 x$
$200 \tanh^2 x = 198$
$\tanh^2 x = \frac{198}{200} = \frac{99}{100}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$
चूँकि $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$,हमें प्राप्त होता है:
$\coth x = \frac{10}{3 \sqrt{11}}$

(B) दिया गया समीकरण: $\sec x \cos 5x + 1 = 0$.
चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,हमारे पास $\frac{\cos 5x}{\cos x} + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $\cos 5x + \cos x = 0$ जहाँ $\cos x \neq 0$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 3x \cos 2x = 0$.
इसका अर्थ है $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$.
$[0, 2\pi]$ में $\cos 3x = 0$ के लिए,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$,अतः $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
$[0, 2\pi]$ में $\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,अतः $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
हमें उन मानों को हटाना होगा जहाँ $\cos x = 0$,अर्थात $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
मान्य हल $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $8$ है।

(C) माना बिंदु के नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
दिया गया है कि मूल बिंदु को $(h, k) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर स्थानांतरित किया गया है और अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर वामावर्त घुमाया गया है।
मूल निर्देशांक $(x, y) = (1, -1)$ हैं।
नए निर्देशांक $(X, Y)$ के लिए सूत्र:
$X = (x - h) \cos \theta + (y - k) \sin \theta$
$Y = -(x - h) \sin \theta + (y - k) \cos \theta$
मान रखने पर:
$X = (1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$Y = -(1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - \sqrt{2}$
अतः,नए निर्देशांक $(0, -2-\sqrt{2})$ हैं।

(A) माना रेखा के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ हैं।
दिया है कि $a+b = -1$,अतः $b = -(1+a)$।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$b$ का मान रखने पर,$\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $(4,3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$।
$a(1+a)$ से गुणा करने पर,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$।
$4 + 4a - 3a = a + a^2$ $\Rightarrow 4 + a = a + a^2$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
अतः,$a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$ है,तो $b = -(1+2) = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1 \Rightarrow 3x - 2y - 6 = 0$ है।
यदि $a = -2$ है,तो $b = -(1-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ $\Rightarrow -x + 2y = 2$ $\Rightarrow x - 2y + 2 = 0$ है।
अतः,संयुक्त समीकरण $(3x - 2y - 6)(x - 2y + 2) = 0$ है।

(C) मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटती है।
बिंदु $P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,रेखाखंड $AB$ को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{2(a) + 3(0)}{2 + 3}, \frac{2(0) + 3(b)}{2 + 3}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
दिया गया है कि $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$,निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2a}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$
$\frac{3b}{5} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{5}{9}$
रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{5/4} + \frac{y}{5/9} = 1$
$\frac{4x}{5} + \frac{9y}{5} = 1$
$4x + 9y = 5$.

(C) रेखाओं $4x - y + 7 = 0$ और $kx - 5y - 9 = 0$ की ढाल (slopes) क्रमशः $m_1 = 4$ और $m_2 = \frac{k}{5}$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{4 - \frac{k}{5}}{1 + 4 \cdot \frac{k}{5}} \right|$
$1 = \left| \frac{20 - k}{5 + 4k} \right|$
इसका अर्थ है $\frac{20 - k}{5 + 4k} = 1$ या $\frac{20 - k}{5 + 4k} = -1$.
स्थिति $1$: $20 - k = 5 + 4k$ $\Rightarrow 5k = 15$ $\Rightarrow k = 3$.
स्थिति $2$: $20 - k = -5 - 4k$ $\Rightarrow 3k = -25$ $\Rightarrow k = -\frac{25}{3}$.
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए सही उत्तर $k = 3$ है।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $BD:CD = AB:AC$।
सबसे पहले भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-4)^2 + (-2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (2-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $BD:CD = AB:AC = 5\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 5:3$ है।
बिंदु $D$,$BC$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left(\frac{5(3) + 3(0)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(2)}{5+3}\right) = \left(\frac{15}{8}, \frac{4}{8}, \frac{11}{8}\right)$।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ और $L_2: 9x + 12y + 7 = 0$ हैं।
सबसे पहले,$L_2$ को $3$ से विभाजित करने पर: $3x + 4y + \frac{7}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि दोनों समीकरणों में $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ एक तीसरी रेखा होती है जो उन दोनों के ठीक बीच में स्थित होती है।
अतः,बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(C) दिए गए समीकरण $xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ हैं।
पहले समीकरण के लिए: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$। यह रेखाओं $x=3$ और $y=-4$ को दर्शाता है।
दूसरे समीकरण के लिए: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$। यह रेखाओं $x=-4$ और $y=3$ को दर्शाता है।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएँ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ और $D(-4,3)$ हैं।
विकर्ण $AC$,$A(-4,-4)$ और $C(3,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ है।
विकर्ण $BD$,$B(3,-4)$ और $D(-4,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2-y^2+x-y=0$ हो जाता है।

(D) रेखाओं के युग्म $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समघात (homogenize) बनाने पर,हम $\frac{x+y}{k}=1$ का उपयोग करते हैं।
समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
चूंकि रेखाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
समीकरण का विस्तार करने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य रखने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k=1$ या $k=2$.
चूंकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ सही उत्तर है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ और बिंदु $(1, 6)$ है,शक्ति $-16$ है।
बिंदु $(1, 6)$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव (polar) का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
वृत्त $x^2+y^2-5x+8y+6=0$ के लिए,$g = -\frac{5}{2}$,$f = 4$,और $c = 6$ है।
बिंदु $(4,2)$ का ध्रुव है:
$x(4) + y(2) - \frac{5}{2}(x+4) + 4(y+2) + 6 = 0$
$4x + 2y - \frac{5}{2}x - 10 + 4y + 8 + 6 = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$8x + 4y - 5x - 20 + 8y + 16 + 12 = 0$
$3x + 12y + 8 = 0$
चूंकि $(k,-3)$ एक संयुग्मी बिंदु है,इसलिए यह ध्रुव पर स्थित होगा।
$(k,-3)$ को समीकरण में रखने पर:
$3(k) + 12(-3) + 8 = 0$
$3k - 36 + 8 = 0$
$3k - 28 = 0$
$k = \frac{28}{3}$

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ वृत्त पर स्थित है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ है,जो $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$ अर्थात $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर मिलती है।
$P(1, \sqrt{3})$ पर अभिलंब मूल बिंदु $O(0, 0)$ से गुजरता है और इसका समीकरण $y = \sqrt{3}x$ है।
त्रिभुज $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ और $A(4, 0)$ बिंदुओं द्वारा निर्मित है।
$\triangle OPA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OA \times y_P = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।
यहाँ,$S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21$ और $S_2 = x^2+y^2-2x-15$.
समीकरण: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
चूंकि वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1+4-8-12+21) + \lambda(1+4-2-15) = 0$
$6 - 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x^2+2y^2-16x-12y+42 + x^2+y^2-2x-15 = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.

(B) वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-2ax=0$
$S_2: x^2+y^2-2by=0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-2ax) - (x^2+y^2-2by) = 0$
$-2ax + 2by = 0$
$ax - by = 0$
वृत्त $S_1$ का केंद्र $C_1(a, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = a$ है।
केंद्र $C_1(a, 0)$ से उभयनिष्ठ जीवा $ax - by = 0$ पर लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \frac{|a(a) - b(0)|}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ है:
$= 2\sqrt{a^2 - \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}$
$= 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2) - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}$
$= \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है। $P$ की नाभि $S(1, -1)$ से दूरी,उसकी नियता $x+y+3=0$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$\therefore PS = PQ \implies PS^2 = PQ^2$
दूरी सूत्र और लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = \left(\frac{x+y+3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = \frac{(x+y+3)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2) = x^2 + y^2 + 9 + 2xy + 6y + 6x$
$2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 6x + 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y - 5 = 0$

(A) माना $P$ परवलय $y^2=8x$ पर एक बिंदु है। $P$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ के रूप में लिए जा सकते हैं।
माना $M(x, y)$ रेखाखंड $AP$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $A(1, 0)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2t^2 + 1}{2}$ और $y = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$y = 2t$ से,हमें $t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{2(\frac{y}{2})^2 + 1}{2} = \frac{2(\frac{y^2}{4}) + 1}{2} = \frac{\frac{y^2}{2} + 1}{2} = \frac{y^2 + 2}{4}$.
$4x = y^2 + 2$.
$y^2 = 4x - 2 = 4(x - \frac{1}{2})$.
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $y^2 = 4(x - \frac{1}{2})$ है।

(P-6, Q-1, R-3) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ,$a^2=25 \Rightarrow a=5$ और $b^2=16 \Rightarrow b=4$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$(P)$ नाभि $(-ae, 0) = (-3, 0)$ के संगत नियता $x = -\frac{a}{e} = -\frac{5}{3/5} = -\frac{25}{3}$ है,जो $3x + 25 = 0$ देता है। यह $(6)$ से मेल खाता है।
$(Q)$ शीर्ष $(0, 4)$ पर स्पर्श रेखा $y = 4$ है। यह $(1)$ से मेल खाता है।
$(R)$ नाभि $(ae, 0) = (3, 0)$ से गुजरने वाला नाभिलंब $x = ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ है। यह $(3)$ से मेल खाता है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम वर्गों के भीतर के रैखिक व्यंजकों को शून्य के बराबर रखते हैं:
$x+y-3=0 \quad (i)$
$x-y+1=0 \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x+y-3) + (x-y+1) = 0 + 0$
$2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x=1$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1+y-3=0 \Rightarrow y=2$
अतः,दीर्घवृत्त का केंद्र $(1,2)$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$ होता है।
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^2-y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=16$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{गुणनफल} = \frac{16 \times 16}{16+16} = \frac{256}{32} = 8$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{1 / x}$.
चूंकि यह $1^\infty$ के रूप में है,हम सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x)-1]g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right] \frac{1}{x}}$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\tan(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}$ प्राप्त होता है।
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\tan x+1}{1-\tan x}-1\right] \frac{1}{x}} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \left[\frac{\tan x+1-1+\tan x}{1-\tan x}\right] \frac{1}{x}}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x}{x(1-\tan x)}}$.
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} (1-\tan x) = 1$,इसलिए $L = e^{2 \times 1 / 1} = e^2$.

(C) दिया गया है कि संख्या $i$,$i = 1, 2, \ldots, n$ के लिए $i$ बार दोहराई जाती है।
अवलोकनों का योग $\sum_{i=1}^{n} i \times i = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
कुल अवलोकनों की संख्या $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
माध्य $\bar{X}$ अवलोकनों के योग और कुल अवलोकनों की संख्या का अनुपात है:
$\bar{X} = \frac{\sum i^2}{\sum i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.

(C) दिया गया है कि माध्य समान है,मान लीजिए $\bar{X}_A = \bar{X}_B = \bar{X}$।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$ है।
टीम $A$ के लिए,$CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{X}} \times 100 = 4$।
टीम $B$ के लिए,$CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{X}} \times 100 = 2$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A / \bar{X}}{\sigma_B / \bar{X}} = \frac{4}{2}$।
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = 2$।
अतः,$\sigma_A = 2 \sigma_B$।

(B) दिया गया है $\angle C = \frac{\pi}{3}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है,जिसका अर्थ है $a^2+b^2-c^2 = ab$,या $a^2+b^2 = ab+c^2$.
दोनों पक्षों में $ac+bc$ जोड़ने पर,हमें $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $\frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{a+c} = 3$.
$(a+b+c)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
अतः,$\frac{3}{a+b+c} - \frac{1}{a+c} = \frac{1}{b+c}$.

(D) माना $\triangle ABC$ के कोण $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ हैं।
कोसाइन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$
$a^2+c^2-b^2 = ac$
$c^2 - ac + (a^2-b^2) = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $c$ के लिए हल करने पर:
$c = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2-b^2)}}{2}$
$c = \frac{a \pm \sqrt{4b^2-3a^2}}{2}$

(B) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} = \frac{s^2}{\Delta^2} + \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s^2 - 2as + a^2) + (s^2 - 2bs + b^2) + (s^2 - 2cs + c^2)}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए:
$= \frac{4s^2 - 2s(2s) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 4s^2 + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$

(A) दिया गया है,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$।
$s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2} = \frac{2\Delta}{r_1}$,$s-c = \frac{\Delta}{r_3} = \frac{3\Delta}{r_1}$।
$s = (s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{r_1} + \frac{2\Delta}{r_1} + \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{6\Delta}{r_1}$।
$b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{2\Delta}{r_1} = \frac{4\Delta}{r_1}$।
$c = s - (s-c) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{3\Delta}{r_1}$।
अतः,$b : c = 4 : 3$।

(C) दी गई असमिका: $|x|^2-5|x|+4 < 0$
माना $|x| = y$ है। चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ है।
असमिका $y^2-5y+4 < 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(y-4)(y-1) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 4$ है।
$y = |x|$ वापस रखने पर,हमें $1 < |x| < 4$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $|x| > 1$ और $|x| < 4$ के समतुल्य है।
$|x| > 1$ के लिए,$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ है।
$|x| < 4$ के लिए,$x \in (-4, 4)$ है।
इन दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$ प्राप्त होता है।

(C) माना वर्ग की भुजा $a$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण की लंबाई $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ है,या $d^2 = 2a^2$ होता है।
विकर्ण के अंतिम बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $C(2, -3, 5)$ दिए गए हैं।
विकर्ण $AC$ की लंबाई दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (-3-2)^2 + (5-3)^2}$
$AC = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 2^2}$
$AC = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$
चूंकि $AC^2 = 2a^2$,इसलिए:
$(\sqrt{30})^2 = 2a^2$
$30 = 2a^2$
$a^2 = 15$
$a = \sqrt{15} \text{ इकाई}$.

(A) दो कणों के बीच की दूरी $PQ$ को दूरी सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$PQ = \sqrt{((t+1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि सभी वास्तविक $t$ के लिए $(10t - 3)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(10t - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $10t - 3 = 0$,अर्थात $t = 0.3$।
अतः,न्यूनतम दूरी $\sqrt{1 + 0} = 1$ है।

(B) हमें दिया गया है: $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,और $P(B) = \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,$P(A)$ की गणना करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{13}{12} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} = \frac{1}{4}$.
अब,$P(A) \cdot P(B)$ की गणना करके स्वतंत्रता की जाँच करें:
$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(D) $y=9x^2$ और $y=5x^2+4$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$9x^2 = 5x^2 + 4$
$4x^2 = 4$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
जब $x = 1$ है,तो $y = 9(1)^2 = 9$ है। जब $x = -1$ है,तो $y = 9(-1)^2 = 9$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 9)$ और $(-1, 9)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} [(5x^2+4) - 9x^2] dx$
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम लिख सकते हैं:
$\text{Area} = 2 \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) dx$
$= 2 [4x - \frac{4x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 (4(1) - \frac{4(1)^3}{3}) - 2(0 - 0)$
$= 2 (4 - \frac{4}{3})$
$= 2 (\frac{12-4}{3})$
$= 2 (\frac{8}{3}) = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दी गई सर्वसमिका: $\left|\begin{array}{ccc}x^2+x+1 & x+1 & 2x-3 \\ 3x^2-1 & x+2 & x-1 \\ x^2+5x+1 & 2x+3 & x+4\end{array}\right| = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
$e$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों में $x=0$ रखते हैं।
सारणिक में $x=0$ रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}0^2+0+1 & 0+1 & 2(0)-3 \\ 3(0)^2-1 & 0+2 & 0-1 \\ 0^2+5(0)+1 & 2(0)+3 & 0+4\end{array}\right| = a(0)^4+b(0)^3+c(0)^2+d(0)+e$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right| = e$.
अब,पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$e = 1((2)(4) - (-1)(3)) - 1((-1)(4) - (-1)(1)) + (-3)((-1)(3) - (2)(1))$.
$e = 1(8 + 3) - 1(-4 + 1) - 3(-3 - 2)$.
$e = 1(11) - 1(-3) - 3(-5)$.
$e = 11 + 3 + 15$.
$e = 29$.

(A) दिया गया है $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2-1 & 3-2 \\ x+1 & (2x+1)-(x+1) & (3x+1)-(2x+1) \\ x^2+1 & (2x^2+1)-(x^2+1) & (3x^2+1)-(2x^2+1) \end{array} \right|$
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x+1 & x & x \\ x^2+1 & x^2 & x^2 \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\int_0^1 A(x) \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$.

(D) समीकरण निकाय के हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम क्रेमर के नियम का उपयोग करके सारणिक $D$ और $D_1, D_2, D_3$ की गणना करते हैं।
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \\ 9 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 4(-35 + 9) - 1(7 - 27) + 2(-3 + 45) = 4(-26) - 1(-20) + 2(42) = -104 + 20 + 84 = 0$.
चूंकि $D = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। अब हम $D_1, D_2, D_3$ की गणना करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 10 & -5 & 3 \\ 20 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 5(-35 + 9) - 1(70 - 60) + 2(-30 + 100) = 5(-26) - 1(10) + 2(70) = -130 - 10 + 140 = 0$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 10 & 3 \\ 9 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 4(70 - 60) - 5(7 - 27) + 2(20 - 90) = 4(10) - 5(-20) + 2(-70) = 40 + 100 - 140 = 0$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 10 \\ 9 & -3 & 20 \end{vmatrix} = 4(-100 + 30) - 1(20 - 90) + 5(-3 + 45) = 4(-70) - 1(-70) + 5(42) = -280 + 70 + 210 = 0$.
चूंकि $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$,इसलिए समीकरण निकाय संगत है और इसके अनंत हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot \left(\cos ^{-1} x\right)$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\frac{\pi}{3} = \cot \left(\cos ^{-1} x\right)$.
दोनों तरफ $\cot$ लेने पर: $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos ^{-1} x$.
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \cos ^{-1} x$.
अतः,$x = \cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। यदि प्रश्न $\cot^{-1}(\frac{1}{2}) = \cos^{-1}x$ होता,तो $x = \cos(\cot^{-1}(\frac{1}{2})) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।
फलन $g(x) = f(5x + 4)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $(5x + 4)$ को $f$ के प्रांत $[-1, 1]$ के भीतर होना चाहिए।
अतः,हमारे पास असमिका है:
$-1 \leq 5x + 4 \leq 1$
असमिका के सभी भागों से $4$ घटाने पर:
$-1 - 4 \leq 5x \leq 1 - 4$
$-5 \leq 5x \leq -3$
सभी भागों को $5$ से विभाजित करने पर:
$-1 \leq x \leq -\frac{3}{5}$
इस प्रकार,फलन $g(x)$ अंतराल $[-1, -\frac{3}{5}]$ पर परिभाषित है।

(C) दिया गया है,$f: N \rightarrow R$ जहाँ $f(1)=-1$ और पुनरावृत्ति संबंध $f(n+1)=3f(n)+2$ है,$n \geq 1$ के लिए।
$n=1$ के लिए,$f(2) = 3f(1)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$।
$n=2$ के लिए,$f(3) = 3f(2)+2 = 3(-1)+2 = -3+2 = -1$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यदि $f(k)=-1$ है,तो $f(k+1) = 3f(k)+2 = 3(-1)+2 = -1$।
चूँकि सभी $n \in N$ के लिए $f(n)=-1$ है,फलन $f$ प्रत्येक इनपुट को समान आउटपुट $-1$ पर मैप करता है।
इसलिए,$f$ एक अचर फलन है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = (x+1)^{\cot x}$।
$x \rightarrow 0$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} (x+1)^{\cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x \cdot \ln(1+x)}$।
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,घातांक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\tan x} \right)$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,इसलिए घातांक की सीमा $1 \cdot 1 = 1$ है।
अतः,$f(0) = e^1 = e$।

(B) दिए गए समीकरण $x^2+y^2=t+\frac{2}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{4}{t^2}$ हैं।
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{2}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
दूसरे समीकरण से $x^4+y^4$ का मान रखने पर: $(t^2+\frac{4}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{4}{t^2}+4$.
इसे सरल करने पर $2x^2y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2y^2 = 2$.
अतः,$y^2 = \frac{2}{x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -2 \cdot 2x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$.
दोनों पक्षों को $x^3$ से गुणा करने पर: $2x^3y \frac{dy}{dx} = -4$.
इसलिए,$x^3y \frac{dy}{dx} = -2$.

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\theta = \tan^{-1} x$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
यह सरल होकर $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ हो जाता है।
मान वापस रखने पर,$y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(B) दिया गया है $x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
दोनों पक्षों को $(1+\sqrt{y})$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $x(1+\sqrt{y}) = 1-\sqrt{y}$.
$x + x\sqrt{y} = 1 - \sqrt{y}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{y}(x+1) = 1-x$,इसलिए $\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-4\sqrt{y}}{(1+x)^2}$.
$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{dy}{dx} = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(x+1)^3}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ \frac{(x+1)^3(1) - (x-1) \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} \right] = 4 \left[ \frac{(x+1) - 3(x-1)}{(x+1)^4} \right] = 4 \left[ \frac{x+1-3x+3}{(x+1)^4} \right] = \frac{4(4-2x)}{(x+1)^4} = \frac{8(2-x)}{(x+1)^4}$.
इन मानों को $(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{3 \sqrt{y}+1}{\sqrt{y}}\right) \frac{d y}{d x}$ में रखने पर:
ध्यान दें कि $\frac{3\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}} = 3 + \frac{1}{\sqrt{y}} = 3 + \frac{1+x}{1-x} = \frac{3-3x+1+x}{1-x} = \frac{4-2x}{1-x}$.
व्यंजक $= (x+1) \frac{8(2-x)}{(x+1)^4} + \left(\frac{4-2x}{1-x}\right) \frac{4(x-1)}{(x+1)^3} = \frac{8(2-x)}{(x+1)^3} - \frac{8(2-x)}{(x+1)^3} = 0$.

(A) रेखा $y=-4x+b$ की ढाल $m=-4$ है।
वक्र $y=\frac{1}{x}$ की स्पर्शरेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्शरेखा है,इसलिए स्पर्श बिंदु पर उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{x^2} = -4
\Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}
\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.
जब $x = \frac{1}{2}$ है,तो वक्र पर $y$-निर्देशांक $y = \frac{1}{1/2} = 2$ है।
जब $x = -\frac{1}{2}$ है,तो वक्र पर $y$-निर्देशांक $y = \frac{1}{-1/2} = -2$ है।
इन बिंदुओं $(x, y)$ को रेखा के समीकरण $y = -4x + b$ में रखने पर:
स्थिति $1$: $2 = -4(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow 2 = -2 + b \Rightarrow b = 4$.
स्थिति $2$: $-2 = -4(-\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -2 = 2 + b \Rightarrow b = -4$.
अतः,$b = \pm 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A$ क्षेत्रफल है और $x$ समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$.
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta A$ को $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x \Delta x}{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
दिया गया है कि $x = 10$ और $\Delta x = 0.05$:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{2 \times 0.05}{10} \times 100 = \frac{0.1}{10} \times 100 = 1 \%$.
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $1 \%$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$.
रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,$f(x)$ को $[0, 2]$ पर सतत होना चाहिए,$(0, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए,और $f(0) = f(2)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2 - 1 = 1$.
$f(1) = 1$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$ $x = 1$ पर सतत है।
अब,$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(2-x) = -1$.
चूंकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$,फलन $f(x)$ $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि $f(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) माना $I = \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $\sqrt{2+x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2+x}{\sqrt{(2-x)(2+x)}} \, dx = \int \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करने पर:
$I = 2 \int \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
पहले भाग के लिए,मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर।
दूसरे भाग के लिए,$u = 4-x^2$ लेने पर,जिससे $du = -2x \, dx$ या $x \, dx = -\frac{1}{2} du$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C$.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{4-x^2} + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt{e^x-4} \, dx$ है।
$e^x-4 = t^2$ रखने पर।
तब $e^x \, dx = 2t \, dt$,जिसका अर्थ है कि $dx = \frac{2t}{e^x} \, dt = \frac{2t}{t^2+4} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t \cdot \frac{2t}{t^2+4} \, dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2+4} \, dt$।
अब,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = 2 \int \frac{t^2+4-4}{t^2+4} \, dt = 2 \int \left(1 - \frac{4}{t^2+2^2}\right) \, dt$।
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ t - 4 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right] + C$।
$I = 2t - 4 \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C$।
$t = \sqrt{e^x-4}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \sqrt{e^x-4} - 4 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{e^x-4}}{2}\right) + C$।

(D) माना $I = \int e^{-x} \tan ^{-1}\left(e^x\right) d x$ है।
$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x d x = d t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d x = \frac{1}{t} d t$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\tan ^{-1} t}{t^2} d t$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} t$ और $dv = t^{-2} dt$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ और $v = -\frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t - \int \left(-\frac{1}{t}\right) \frac{1}{1+t^2} d t = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \int \frac{1}{t(1+t^2)} d t$।
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$।
अतः,$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}\right) d t$।
$I = -\frac{1}{t} \tan ^{-1} t + \log |t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + C$।
$t = e^x$ वापस रखने पर:
$I = -e^{-x} \tan ^{-1} (e^x) + \log (e^x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$।
चूंकि $\log (e^x) = x$ है,इसलिए $I = -e^{-x} \tan ^{-1} (e^x) + x - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$।
दिए गए व्यंजक $f(x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = x - e^{-x} \tan ^{-1} (e^x)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x+5}{x^2+4x+5} dx$ है।
अंश को $x+5 = \lambda(2x+4) + \mu$ के रूप में व्यक्त करें।
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$1 = 2\lambda \implies \lambda = \frac{1}{2}$
$5 = 4\lambda + \mu \implies 5 = 4(\frac{1}{2}) + \mu \implies 5 = 2 + \mu \implies \mu = 3$।
अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+4) + 3}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + 3 \int \frac{1}{(x+2)^2 + 1^2} dx$।
सूत्र $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)|$ और $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \log(x^2+4x+5) + 3 \tan^{-1}(x+2) + C$।
दिए गए रूप $a \log(x^2+4x+5) + b \tan^{-1}(x+k) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{2}$,$b = 3$,और $k = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर:
$I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x} \times \frac{1-x}{1-x}} \, dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
प्रथम भाग का मान: $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = [\sin^{-1} x]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.
द्वितीय भाग का मान: माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x \, dx$,अतः $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_0^1 = [\sqrt{u}]_0^1 = 1 - 0 = 1$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16 x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(8\pi - 16x) \cos x \sin x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{8\pi \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
अंश और हर को $\cos^4 x$ से भाग देने पर:
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
माना $u = \tan^2 x$,तब $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$:
$I = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = 2\pi [\tan^{-1}(u)]_0^{\infty}$
$I = 2\pi [\frac{\pi}{2} - 0] = \pi^2$

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $y = ax + \frac{1}{a}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a$
$a = \frac{dy}{dx}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1$
यहाँ उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v} + v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v}$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर: $e^v dv = \frac{2}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v dv = \int \frac{2}{x} dx$.
$e^v = 2 \log |x| + C_1$.
अचर $C_1 = 2 \log |C|$ लेने पर,$e^v = 2 \log |x| + 2 \log |C| = 2 \log |Cx|$.
अतः,$e^{y/x} = 2 \log |Cx|$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है.

(A) $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए,समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{x^2}{x^3+1}y = \frac{3x^2}{x^3+1}$.
$IF = e^{\int \frac{x^2}{x^3+1} dx} = e^{\frac{1}{3}\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^{1/3}$. अतः,$P-5$.
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y = x^4$.
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3\ln x} = x^3$. अतः,$Q-1$.
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{x^3+1}y = \frac{x^2}{(x^3+1)^2}$.
$IF = e^{\int \frac{6x^2}{x^3+1} dx} = e^{2\ln(x^3+1)} = (x^3+1)^2$. अतः,$R-2$.
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{\ln x}{x^2+1}$.
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2\ln(x^2+1)} = (x^2+1)^2$. अतः,$S-3$.
अतः,सही मिलान $P-5, Q-1, R-2, S-3$ है।

(B) माना $S$ मूल बिंदु है। माना $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $P$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$P, AC$ का मध्य-बिंदु है और $BD$ का भी मध्य-बिंदु है।
चूंकि $P, AC$ का मध्य-बिंदु है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{p}$।
चूंकि $P, BD$ का मध्य-बिंदु है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{p}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{d}) = 2\vec{p} + 2\vec{p} = 4\vec{p}$।
चूंकि $S$ मूल बिंदु है,$\vec{a} = \vec{SA}, \vec{b} = \vec{SB}, \vec{c} = \vec{SC}, \vec{d} = \vec{SD}$ और $\vec{p} = \vec{SP}$ है।
अतः,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SP}$।
दिए गए समीकरण $\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = \lambda \vec{SP}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{AD} = \vec{b}$ है। चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ और $\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}$ होगा।
दिया गया है कि $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b}$ है।
दिया गया है कि $N$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{DN} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{a}$ है।
$\triangle ABM$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ है।
$\triangle ADN$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$ है।
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a})$
$= (1 + \frac{1}{2}) \vec{a} + (1 + \frac{1}{2}) \vec{b}$
$= \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} = \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ है।
चूंकि $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{AM} + \vec{AN} = \frac{3}{2} \vec{AC}$।

(A) माना शीर्षों $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 5\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} + 0\hat{k}$
परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + 0^2} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |\vec{BC}| \times p$,जहाँ $p$ शीर्ष $A$ से $BC$ पर लंब है।
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = 6$.
अतः,$4\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 6 \times p \implies 4\sqrt{5} = 3p \implies p = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम समांतर षट्फलक के किनारों की गणना करते हैं:
$a+b = 5 \hat{i}-7 \hat{j}+10 \hat{k}$
$b+c = 8 \hat{i}-7 \hat{j}+3 \hat{k}$
$c+a = 7 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[a+b, b+c, c+a]$ द्वारा दिया जाता है,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान है:
$V = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 10 \\ 8 & -7 & 3 \\ 7 & -6 & 3 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = 5(-21 + 18) + 7(24 - 21) + 10(-48 + 49)$
$V = 5(-3) + 7(3) + 10(1)$
$V = -15 + 21 + 10 = 16$
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $16$ घन इकाई है।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $A, B, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ हैं। तब $C$ का स्थिति सदिश $\vec{b} + \vec{d}$ है।
चूंकि $P$,$AD$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{0}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{d}$ है।
मान लीजिए कि $Q$,$BP$ को $k:1$ के अनुपात में और $AC$ को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$BP$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{k\vec{p} + 1\vec{b}}{k+1} = \frac{k(\frac{3}{4}\vec{d}) + \vec{b}}{k+1} = \frac{1}{k+1}\vec{b} + \frac{3k}{4(k+1)}\vec{d}$ है।
$AC$ पर $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{m\vec{c} + 1\vec{a}}{m+1} = \frac{m(\vec{b} + \vec{d})}{m+1} = \frac{m}{m+1}\vec{b} + \frac{m}{m+1}\vec{d}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{d}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{k+1} = \frac{m}{m+1}$ और $\frac{3k}{4(k+1)} = \frac{m}{m+1}$.
अतः,$\frac{1}{k+1} = \frac{3k}{4(k+1)} \Rightarrow 4 = 3k \Rightarrow k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ को $\frac{m}{m+1} = \frac{1}{k+1} = \frac{1}{4/3 + 1} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$ में रखने पर.
$7m = 3m + 3 \Rightarrow 4m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{4}$.
इसलिए,$AQ:QC = m:1 = \frac{3}{4}:1 = 3:4$.

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण सदिश रूप में इस प्रकार हैं:
$L_1: \vec{r} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
$L_2: \vec{r} = (\hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
यहाँ,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ प्राप्त करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{35}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$d = \left| \frac{(-2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{-2 - 33 + 0}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ है।
चूँकि समतल निर्देशांक अक्षों को $P, Q, R$ पर मिलता है,इसलिए $P, Q, R$ के निर्देशांक $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ हैं।
$\triangle P Q R$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ है।
दिए गए केंद्रक $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2}$
$\frac{c}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = 1$
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{3/2} + \frac{z}{1} = 1$
$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} + z = 1$
$3$ से गुणा करने पर,$x + 2y + 3z = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $P(A | B) = 0.6$,$P(B | A) = 0.3$ और $P(A) = 0.1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
मान रखने पर: $0.3 = \frac{P(A \cap B)}{0.1} \implies P(A \cap B) = 0.03$.
अब,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर: $0.6 = \frac{0.03}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.03}{0.6} = 0.05$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.1 + 0.05 - 0.03 = 0.12$.
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.12 = 0.88$.

(A) मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ वे घटनाएं हैं कि चुना गया छात्र क्रमशः महिला और पुरुष है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुना गया छात्र $1.8 \ m$ से अधिक लंबा है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 60/100 = 0.6$
$P(E_2) = 40/100 = 0.4$
$P(A|E_1) = 1/100 = 0.01$
$P(A|E_2) = 4/100 = 0.04$
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि छात्र $1.8 \ m$ से अधिक लंबा है,तो उसके महिला होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.6 \times 0.01}{(0.6 \times 0.01) + (0.4 \times 0.04)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.006}{0.006 + 0.016} = \frac{0.006}{0.022} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

(C) माना $X$ $100$ उछालों में चितों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 100$ है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $P(X=50) = P(X=51)$,इसलिए:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$
दोनों पक्षों को $p^{50} (1-p)^{49}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$
${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{100!}{50! 50!} (1-p) = \frac{100!}{51! 49!} p$
$\frac{1-p}{50} = \frac{p}{51}$
$51(1-p) = 50p$
$51 - 51p = 50p$
$101p = 51$
$p = \frac{51}{101}$

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद चर है जहाँ $n=6$ और सफलता की प्रायिकता $p$ है। मान लीजिए $q = 1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें शर्त $4 P(X=4) = P(X=2)$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{6-4} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{6-2}$
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}$
चूंकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,इसलिए वे कट जाएंगे:
$4 p^{4} q^{2} = p^{2} q^{4}$
दोनों पक्षों को $p^{2} q^{2}$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए):
$4 p^{2} = q^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2p = q$
चूंकि $q = 1-p$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$2p = 1-p$
$3p = 1$
$p = 1/3$