ઉપવલય $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ નું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ બિંદુ $L$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ના નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ બિંદુઓ છે જ્યાં $L$ આગળ દોરેલ અભિલંબ આ આપેલ ઉપવલયના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષને મળે છે. તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જો $x+2y+k=0, k>0$ એ ઉપવલય $2x^2+y^2=2$ નો સ્પર્શક હોય,તો આપેલ ઉપવલયના બિંદુ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{k}{3}\right)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

એક ઉપવલયનું નાભિ ઉગમબિંદુ પર છે. નિયામિકા રેખા $x = 4$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. તો અર્ધ-પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.

જે બિંદુઓને $(p_1/q_1, p_2/q_2)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય (જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ $(i = 1, 2)$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) અને જે ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર આવેલા હોય,તેવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?