જો $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ હોય,તો $\int_0^1 A(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $1$ છે,તો

જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $f: N \to Z$ એ $f(n) = \det \begin{vmatrix} n & -1 & -5 \\ -2n^2 & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^3 & 3(2k+1) & 3(k+2)+1 \end{vmatrix}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,જ્યાં $k \in N$ અને $\sum_{n=1}^k f(n) = 98$,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 x & \sin(2x) & -\sin x \\ \sin(2x) & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$. તો,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx$ ની કિંમત શોધો.

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$,જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$,આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે,તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?