TS EAMCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પગલું $1$: હથોડા અને ખીલી વચ્ચેની અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$M \times 20 + m \times 0 = (M + m) \times v'$
$v' = \frac{20M}{M+m}$
પગલું $2$: દીવાલના સરેરાશ અવરોધક બળ $F$ ને શોધવા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.
અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્ર $(M+m)$ ની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$F \times d = \frac{1}{2} (M+m) (v')^2$
અહીં,$d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
પગલું $3$: સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો.
$F = \frac{(M+m) \times (v')^2}{2d}$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \left( \frac{20M}{M+m} \right)^2$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{400M^2}{(M+m)^2}$
$F = \frac{200M^2}{(M+m) \times 10^{-2}} = \frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$
આમ,સરેરાશ અવરોધ $\frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$ છે.

(A) કુલ દળ $M = 1 \,kg$ છે. દળનો ગુણોત્તર $1:1:3$ છે, તેથી દળ $m_1 = \frac{1}{5} \,kg$, $m_2 = \frac{1}{5} \,kg$, અને $m_3 = \frac{3}{5} \,kg$ છે.
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે સમાન દળના ટુકડાઓ $x$ અને $y$ અક્ષ પર ગતિ કરે છે. તેમના વેગમાન સદિશો $\vec{p}_1 = m_1 v_1 \hat{i} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{i} = 6 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ અને $\vec{p}_2 = m_2 v_2 \hat{j} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{j} = 6 \hat{j} \,kg \cdot m/s$ છે.
આ બે ભાગોનું પરિણામી વેગમાન $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 6 \hat{i} + 6 \hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}_{12}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6 \sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે, ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ એ $\vec{p}_{12} + \vec{p}_3 = 0$ નું પાલન કરવું જોઈએ, તેથી $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}_3| = m_3 v_3 = \frac{3}{5} v_3 = 6 \sqrt{2}$ છે.
$v_3$ માટે ઉકેલતા: $v_3 = \frac{6 \sqrt{2} \times 5}{3} = 10 \sqrt{2} \,m/s$.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બિંદુવત પદાર્થને કારણે ઉગમબિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = \frac{Gm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $r = 1, 2, 4, 8, 16, \dots$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,ઉગમબિંદુ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો થશે:
$E = \frac{Gm}{1^2} + \frac{Gm}{2^2} + \frac{Gm}{4^2} + \frac{Gm}{8^2} + \dots$
$E = Gm \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી (Geometric Progression) છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ થાય છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = Gm \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} Gm$ થશે.

(B) ચોક્કસ તાપમાન $T$ પર વાયુના અણુઓના $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$NTP$ પર તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$M_1 = 32 \,g/mol$ અને $v_1 = 0.5 \,km/s$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$M_2 = 2 \,g/mol$ છે અને ધારો કે વેગ $v_2$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{v_2} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$v_2 = 0.5 \times 4 = 2 \,km/s$ થાય.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે, જ્યાં $F_1$ નાનું બળ છે.
આપેલ છે: $F_1 + F_2 = 25$ (સમીકરણ $1$)
પરિણામી બળ $R$ એ $F_1$ ને લંબ છે. પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R = 10 \,N$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ, $R \perp F_1$ હોવાથી, $F_1$, $R$ અને $F_2$ (કર્ણ તરીકે) એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$
$F_2^2 - F_1^2 = 10^2 = 100$
$(F_2 - F_1)(F_2 + F_1) = 100$
સમીકરણમાં $F_1 + F_2 = 25$ મૂકતા:
$(F_2 - F_1)(25) = 100$
$F_2 - F_1 = 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$2F_2 = 29 \implies F_2 = 14.5 \,N$
સમીકરણ $1$ માંથી $2$ બાદ કરતા:
$2F_1 = 21 \implies F_1 = 10.5 \,N$
આમ, બે બળો $14.5 \,N$ અને $10.5 \,N$ છે.

(B) ધારો કે $n = 1000$ એ નાના ટીપાંની સંખ્યા છે અને $r$ એ દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે. વ્યાસ $10^{-8} \ m$ છે,તેથી $r = 0.5 \times 10^{-8} \ m$.
$n$ નાના ટીપાંનું કદ = $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક મોટા ટીપાંનું કદ.
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$R = (1000)^{1/3} \times (0.5 \times 10^{-8} \ m) = 10 \times 0.5 \times 10^{-8} \ m = 5 \times 10^{-8} \ m$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta U = T \times \Delta A$,જ્યાં $\Delta A = (n \times 4 \pi r^2) - (4 \pi R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (n r^2 - R^2) = 4 \pi (1000 \times (0.5 \times 10^{-8})^2 - (5 \times 10^{-8})^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (1000 \times 0.25 \times 10^{-16} - 25 \times 10^{-16}) = 4 \pi (250 - 25) \times 10^{-16} = 4 \pi \times 225 \times 10^{-16} = 900 \pi \times 10^{-16} = 9 \pi \times 10^{-14} \ m^2$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta U = 0.075 \times 9 \pi \times 10^{-14} = 0.675 \pi \times 10^{-14} = 6.75 \pi \times 10^{-15} \ J$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં તારની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર તે લગાડવામાં આવેલા બળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $L$ એ તારની મૂળ લંબાઈ છે અને $K$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
$F_1$ બળ માટે,લંબાઈમાં વધારો $(L_1 - L)$ છે,તેથી $F_1 = K(L_1 - L)$ --- $(i)$
$F_2$ બળ માટે,લંબાઈમાં વધારો $(L_2 - L)$ છે,તેથી $F_2 = K(L_2 - L)$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{K(L_1 - L)}{K(L_2 - L)}$
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$
$L$ માટે પદ ગોઠવતા:
$F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 L_2 - F_2 L_1}{F_1 - F_2}$

(B) ધારો કે અંતર $AB = BC = h$ છે. કુલ અંતર $AC = 2h$ થાય.
પદાર્થ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$AB = h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$AC = 2h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$:
$T = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$
$BC$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2$ એ કુલ સમય $T$ અને $t_1$ નો તફાવત છે:
$t_2 = T - t_1 = 2\sqrt{\frac{h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})$
હવે,ગુણોત્તર $(t_2 / t_1)$:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$,બળ $F = (3t^2 - 30) \,N$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ સમય સાથે બળના સંકલન જેટલો હોય છે:
$\Delta p = \int_{0}^{t} F dt = m(v - u)$
$\int_{0}^{5} (3t^2 - 30) dt = 10(v - 10)$
$[t^3 - 30t]_{0}^{5} = 10(v - 10)$
$(5^3 - 30(5)) - (0) = 10(v - 10)$
$(125 - 150) = 10(v - 10)$
$-25 = 10(v - 10)$
$-2.5 = v - 10$
$v = 10 - 2.5 = 7.5 \,m/s$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = A t^3 + B t^2 + C t + D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = 3At^2 + 2Bt + C$.
પ્રારંભિક વેગ $(v_{\text{initial}})$ એ $t = 0$ સમયે વેગ છે:
$v_{\text{initial}} = 3A(0)^2 + 2B(0) + C = C$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = 6At + 2B$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $(a_{\text{initial}})$ એ $t = 0$ સમયે પ્રવેગ છે:
$a_{\text{initial}} = 6A(0) + 2B = 2B$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ અને પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{\text{initial}}}{v_{\text{initial}}} = \frac{2B}{C}$ થાય છે.

(B) $v_1$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1 = \frac{v_1}{g}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g}$ છે.
$v_2$ વેગ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_2 = \frac{v_2 \sin \theta}{g}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 2t_2$,તેથી $\frac{v_1}{g} = 2 \left( \frac{v_2 \sin \theta}{g} \right)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ મળે છે.
હવે,ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \frac{v_1^2 / 2g}{v_2^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{v_1^2}{v_2^2 \sin^2 \theta}$ થાય.
$v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ કિંમત મૂકતા,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{(2 v_2 \sin \theta)^2}{v_2^2 \sin^2 \theta} = \frac{4 v_2^2 \sin^2 \theta}{v_2^2 \sin^2 \theta} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) કણની ગતિનું સમીકરણ $y = 8 \cos [100 t + \pi / 4] \,cm$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = a \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $a = 8 \,cm = 8 \times 10^{-2} \,m$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \,rad/s$
દળ $m = 4 \,kg$
$SHM$ માં મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 4 \times (100)^2 \times (8 \times 10^{-2})^2$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 64 \times 10^{-4}$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 0.0064$
$K_{max} = 128 \,J$

(B) $M$ દળ,$L$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = M(\frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4})$ છે.
અહીં $L = 2R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$I_1 = M(\frac{(2R)^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{4R^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{R^2}{3} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{7R^2}{12})$.
નળાકારના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I = I_{CM} + M d^2$,જ્યાં $d = \frac{L}{2} = R$.
$I_2 = I_1 + M R^2 = M(\frac{7R^2}{12}) + M R^2 = M(\frac{7R^2 + 12R^2}{12}) = M(\frac{19R^2}{12})$.
આમ,$I_2 - I_1 = M R^2$.

(B) $100^{\circ} C$ તાપમાને $1 \,g$ પાણીનું $100^{\circ} C$ તાપમાને વરાળમાં રૂપાંતર કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $(dQ)$ $dQ = mL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 1 \,g$ અને $L = 540 \,cal/g$ છે.
$dQ = 1 \times 540 = 540 \,cal$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $dQ = 540 \times 4.2 = 2268 \,J$.
વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $(dW)$ $dW = p \Delta V$ છે.
અહીં $p = 10^5 \,N/m^2$ અને $\Delta V = 1650 \,cc = 1650 \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
$dW = 10^5 \times 1650 \times 10^{-6} = 165 \,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $dQ = dU + dW$, તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો વધારો $dU = dQ - dW$ છે.
$dU = 2268 - 165 = 2103 \,J$. (નોંધ: વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $2203 \,J$ છે).

(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,કોફી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = દૂધ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
કોફી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_c \cdot c_c \cdot (T_i - T)$
દૂધ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_m \cdot c_m \cdot (T - T_m)$
આપેલ છે: $m_c = 250 \ g$,$c_c = 1.00 \ cal/g^{\circ} C$,$T_i = 90^{\circ} C$,$m_m = 20 \ g$,$c_m = 1.00 \ cal/g^{\circ} C$,$T_m = 5^{\circ} C$.
બંનેને સરખાવતા:
$250 \times 1.00 \times (90 - T) = 20 \times 1.00 \times (T - 5)$
$250(90 - T) = 20(T - 5)$
$22500 - 250T = 20T - 100$
$22600 = 270T$
$T = \frac{22600}{270} \approx 83.7^{\circ} C$

(C) ધારો કે તાંબા અને લોખંડના જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી અને સપાટીઓ ઉષ્મીય રીતે અવાહક હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હશે.
ધારો કે $K_1 = 386.4 \ W/m-K$ (તાંબુ),$l_1 = 0.75 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$.
ધારો કે $K_2 = 48.46 \ W/m-K$ (લોખંડ),$l_2 = 1.25 \ m$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
બંને માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા વહનના દરને સરખાવતા: $\frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{l_2}$.
$\frac{386.4 (100 - \theta)}{0.75} = \frac{48.46 (\theta - 0)}{1.25}$.
$515.2 (100 - \theta) = 38.768 \theta$.
$51520 - 515.2 \theta = 38.768 \theta$.
$553.968 \theta = 51520$.
$\theta = \frac{51520}{553.968} \approx 93^{\circ} C$.

(A) આપેલ સમીકરણ $F = \frac{X}{\text{રેખીય ઘનતા}}$ છે.
$X$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$X = F \times \text{રેખીય ઘનતા}$ મળે છે.
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
રેખીય ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = [MLT^{-2}] \times [ML^{-1}]$
$X = [M^{1+1} L^{1-1} T^{-2}]$
$X = [M^2 L^0 T^{-2}]$.

(C) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ બધા ભાગો માટે સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ $n$ એ ભાગની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto \frac{1}{l})$.
આપેલ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ છે.
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{n_1} : \frac{1}{n_2} : \frac{1}{n_3} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$ થશે.
તારની કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 + l_3 = 99 \ cm$ છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $= 6 + 3 + 2 = 11$.
દરેક ભાગની લંબાઈની ગણતરી:
$l_1 = \frac{6}{11} \times 99 = 54 \ cm$
$l_2 = \frac{3}{11} \times 99 = 27 \ cm$
$l_3 = \frac{2}{11} \times 99 = 18 \ cm$
આમ,લંબાઈઓ $54 \ cm, 27 \ cm, 18 \ cm$ છે.

(C) પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી, પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ છે.
થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $3 \, m$ ($x=3$ થી $x=6$ સુધી) અને $9 \, m$ ($x=0$ થી $x=9$ સુધી) છે, અને ઊંચાઈ $20 \, N$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times 20 = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 = 120 \, J$.
આમ, થયેલું કાર્ય $W = 120 \, J$.
કાર્યને ગતિઊર્જા સાથે સરખાવતા: $120 = \frac{1}{2} m v^2$.
અહીં $m = 2.4 \, kg$ આપેલ છે, તેથી $120 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times v^2$.
$120 = 1.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{120}{1.2} = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot S_n = mg \cdot S_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_n$ એ $n$મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર છે.
અહીં $m$,$g$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$W \propto S_n$ થાય.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ માટે $n$મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $u = 0$ અને $a = g$ હોવાથી,$S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ મળે.
$n = 1, 2, 3$ માટે:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1)$
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3)$
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5)$
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = 1 : 3 : 5$ છે.
તેથી,થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $1 : 3 : 5$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,ત્યારે કળા કોણ $\phi = -45^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $X_C - X_L = -R$ અથવા $X_L - X_C = R$.
પરંતુ,પ્રવાહ આગળ હોય તે સ્થિતિ માટે $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(-45^{\circ}) = -1 = \frac{X_L - X_C}{R}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $X_C - X_L = R$.
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ અને $X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi f C} - 2 \pi f L = R$
$\frac{1}{2 \pi f C} = R + 2 \pi f L$
$C = \frac{1}{2 \pi f (R + 2 \pi f L)}$.

(A) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$. મહત્તમ તરંગલંબાઇ (પ્રથમ રેખા) $n=2$ માટે છે,$\lambda_{L,1} = \frac{4}{3R} \approx 121.6 \ nm$.
બામર શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$. બીજી વર્ણપટ રેખા $n=5$ માટે છે,$\lambda_{B,2} = \frac{1}{R(\frac{1}{4} - \frac{1}{25})} = \frac{100}{21R} \approx 434 \ nm$.
કારણ કે $121.6 \ nm < 434 \ nm$,લાયમન શ્રેણીની તરંગલંબાઇ બામર શ્રેણીની બીજી રેખાની તરંગલંબાઇ કરતા નાની છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
વિધાન $B$ એ બોહર મોડેલનું મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે,જે જણાવે છે કે $2\pi r = n\lambda$. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોડાણોને ઓળખી શકીએ છીએ:
$1$. કેપેસિટર $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
$2$. આ સંયોજન $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$3$. અંતે,આ આખો બ્લોક $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
દરેક કેપેસિટર $C = 9 pF$ આપેલ છે:
પગલું $1$: $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
$C_{13} = \frac{C_1 \times C_3}{C_1 + C_3} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = 4.5 pF$.
પગલું $2$: $C_{13}$ એ $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$C_{123} = C_{13} + C_2 = 4.5 + 9 = 13.5 pF$.
પગલું $3$: $C_{123}$ એ $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$C_{AB} = \frac{C_{123} \times C_4}{C_{123} + C_4} = \frac{13.5 \times 9}{13.5 + 9} = \frac{121.5}{22.5} = 5.4 pF$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$5.4 pF$ એ $5 pF$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(E_m)$ અને કેરિયર વેવના પીક વોલ્ટેજ $(E_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\mu = \frac{E_m}{E_c}$
આપેલ છે:
કેરિયર વેવનો પીક વોલ્ટેજ $E_c = 12 \,V$
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 75 \% = 0.75 = \frac{3}{4}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.75 = \frac{E_m}{12}$
$E_m = 0.75 \times 12$
$E_m = 9 \,V$
તેથી, મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $9 \,V$ છે.

(B) સમાંતરમાં જોડાયેલ બે બેટરીઓનું સમતુલ્ય emf $(E_{eq})$ સૂત્ર $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $E_1 = 18 \, V$, $r_1 = 3 \, \Omega$, $E_2 = 10 \, V$, અને $r_2 = 1 \, \Omega$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બેટરીઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતામાં જોડાયેલ હોવાથી, આપણે $E_2 = -10 \, V$ લઈશું.
$E_{eq} = \frac{18/3 + (-10)/1}{1/3 + 1/1} = \frac{6 - 10}{4/3} = \frac{-4}{4/3} = -3 \, V$.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{18 - 10}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2 \, A$ છે.
$18 \, V$ ની બેટરી માટે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_1 - i r_1 = 18 - (2 \times 3) = 18 - 6 = 12 \, V$.
$10 \, V$ ની બેટરી માટે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_2 + i r_2 = 10 + (2 \times 1) = 12 \, V$.
આમ, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $12 \, V$ છે.

(C) આપેલ છે: વોલ્ટમીટરની રેન્જ $V_g = 250 mV = 0.25 V$,અવરોધ $G = 10 \Omega$.
પ્રથમ,ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g$ શોધો:
$I_g = \frac{V_g}{G} = \frac{0.25 V}{10 \Omega} = 0.025 A = 25 mA$.
આપણે તેને $I = 250 mA = 0.25 A$ ની રેન્જના એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માંગીએ છીએ.
શંટ અવરોધ $S$ માટેનું સૂત્ર:
$S = \frac{G I_g}{I - I_g}$
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{10 \times 0.025}{0.25 - 0.025} = \frac{0.25}{0.225} = \frac{250}{225} \approx 1.11 \Omega$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1 \Omega$ છે.

(D) એલ્યુમિનિયમ એક ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે, જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસ વાઇબ્રેશન (ફોનોન્સ) ઘટે છે, જેના પરિણામે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઓછું થાય છે.
જર્મેનિયમ એક અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે, જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ વધે છે કારણ કે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા તાપમાન સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી, જ્યારે $77 \,K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એલ્યુમિનિયમના તારનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમના તારનો અવરોધ વધે છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ઉર્જા $E$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,અને $\lambda = 5500 \ \text{Å} = 5.5 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (5.5 \times 10^{-7})^2}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 30.25 \times 10^{-14}}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{550.55 \times 10^{-45}}$
$E \approx 0.0791 \times 10^{-23} \ \text{J} \approx 7.91 \times 10^{-25} \ \text{J}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-25} \ \text{J}$ છે.

(B) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ માટે એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_d$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_r = \phi_E \left( \frac{\pi r^2}{A} \right)$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \phi_E \frac{\pi r^2}{A} \right) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{r^2}{A} \frac{d\phi_E}{dt} \cdot \pi$.
$B = \frac{\mu_0 \varepsilon_0 r}{2A} \frac{d\phi_E}{dt}$.
આપેલ છે $\frac{d\phi_E}{dt} = 7 \times 10^{14}$,$r = 0.1 \text{ m}$,$A = 1 \text{ m}^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(8.85 \times 10^{-12})(0.1)}{2(1)} (7 \times 10^{14}) \approx 7.79 \times 10^{-6} \text{ T} = 0.779 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(A) $L$ બાજુવાળા મોટા ચોરસ લૂપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $l$ બાજુવાળું નાનું લૂપ કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યું છે,નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$ મળે છે.
તેથી,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ખૂણા $D$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને ધ્યાનમાં લો. અન્ય વિદ્યુતભારો $A$ (વિદ્યુતભાર $q$),$B$ (વિદ્યુતભાર $Q$),અને $C$ (વિદ્યુતભાર $q$) પર છે.
$A$ પરના $q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_A = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DA$ ની દિશામાં) છે.
$C$ પરના $q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_C = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DC$ ની દિશામાં) છે.
આ બે બળોનું પરિણામી બળ $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2}$ (વિકર્ણ $DB$ ની દિશામાં) છે.
$B$ પરના $Q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_B = \frac{K Q^2}{(\sqrt{2} a)^2} = \frac{K Q^2}{2 a^2}$ (વિકર્ણ $DB$ ની દિશામાં) છે.
$Q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{K Q^2}{2 a^2} + \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2} = 0$
$\frac{K Q}{a^2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $Q \neq 0$):
$\frac{Q}{2} + \sqrt{2} q = 0$
$Q = -2 \sqrt{2} q$
સંતુલન માટે $Q$ અને $q$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ,તેથી જો $Q$ ધન હોય,તો $q$ ઋણ હોવો જોઈએ.

(A-R, B-P, C-Q, D-S) સાચી જોડી નીચે મુજબ છે:
$A$. રોકેટ પ્રોપલ્શન ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ પર આધારિત છે,જે $R$ ને અનુરૂપ છે.
$B$. વિમાનની લિફ્ટ (ઉડ્ડયન) ફ્લુઇડ ડાયનેમિક્સમાં બર્નુલીના સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,જે $P$ ને અનુરૂપ છે.
$C$. ઓપ્ટિકલ ફાઇબર પ્રકાશના સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જે $Q$ ને અનુરૂપ છે.
$D$. ફ્યુઝન ટેસ્ટ રિએક્ટર ફ્યુઝન પ્રક્રિયાને જાળવી રાખવા માટે પ્લાઝ્માના ચુંબકીય કેદ (Magnetic confinement) નો ઉપયોગ કરે છે,જે $S$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડી $A-R, B-P, C-Q, D-S$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
શરૂઆતમાં,ચુંબક પ્રતિ મિનિટ $30$ દોલનો કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $f = 30/60 = 0.5 \,Hz$.
પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 1/f = 1/0.5 = 2 \,s$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $B' = 2B$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = \frac{T}{\sqrt{B'/B}} = \frac{T}{\sqrt{2B/B}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$ મળે છે.

(D) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = L$,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ થાય.
ચોરસ લૂપ માટે,પરિમિતિ $4a = L$,તેથી $a = \frac{L}{4}$. ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = iA$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન હોવાથી,ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{i A_1}{i A_2} = \frac{A_1}{A_2}$ થાય.
ક્ષેત્રફળની કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{L^2 / 4 \pi}{L^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(B) પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ અને બીજી પ્રક્રિયા માટે $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ છે.
ન્યુક્લિયસ બે પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામતું હોવાથી,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય.
ક્ષય અચળાંકના સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ થાય છે.
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_1 = 5 \times 10^3 \text{ વર્ષ}$ અને $T_2 = 10^5 \text{ વર્ષ} = 100 \times 10^3 \text{ વર્ષ}$ આપેલ છે.
$T = \frac{(5 \times 10^3) \times (100 \times 10^3)}{5 \times 10^3 + 100 \times 10^3} = \frac{500 \times 10^6}{105 \times 10^3} = \frac{500000}{105} \approx 4761.9 \text{ વર્ષ}$.
પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $4762 \text{ વર્ષ}$ મળે છે.

(A) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
હવામાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_a$ છે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં $\mu_g = 1.45$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_a} = (1.45 - 1) K = 0.45 K$.
પ્રવાહીમાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ છે: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
અહીં $\mu_l = 1.3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.45}{1.3} - 1) K = (\frac{1.45 - 1.3}{1.3}) K = (\frac{0.15}{1.3}) K$.
હવે,$f_l / f_a$ નો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.45 K}{(\frac{0.15}{1.3}) K} = \frac{0.45 \times 1.3}{0.15} = 3 \times 1.3 = 3.9$.

(B) સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ પાતળા લેન્સની સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_3}$ છે.
અહીં $F_1 = F_2 = F_3 = 3 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{F} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \,cm^{-1}$.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = 1 \,cm$ મળે છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં સિમ્પલ મેગ્નિફાયર (અથવા લેન્સ સંયોજન) ની મોટવણી $M = 1 + \frac{D}{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે.
અહીં $D = 25 \,cm$ અને $F = 1 \,cm$ હોવાથી,$M = 1 + \frac{25}{1} = 26$ મળે છે.

(A) હાફ-વેવ રેક્ટિફાયરમાં, ડાયોડ માત્ર ઇનપુટ $AC$ સિગ્નલના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન જ વહન કરે છે.
આઉટપુટમાં ઇનપુટના દરેક પૂર્ણ ચક્ર માટે એક પલ્સ મળે છે, તેથી આઉટપુટ સિગ્નલની આવૃત્તિ ઇનપુટ સિગ્નલની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
તેથી, $50 \,Hz$ ની ઇનપુટ આવૃત્તિ માટે, આઉટપુટની મૂળભૂત આવૃત્તિ $50 \,Hz$ થશે.

(D) બાહ્ય સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $(n_e)$ અને હોલ સાંદ્રતા $(n_h)$ નો ગુણાકાર આપેલા તાપમાને અચળ રહે છે.
આ સંબંધને 'Law of Mass Action' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન અને હોલની સાંદ્રતાનો ગુણાકાર એ આંતરિક વાહક સાંદ્રતા $(n_i)$ ના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $n_e n_h = n_i^2$ છે.

(B) મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ક્રમના બે ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
પડદાનું અંતર $D = 2 \,m$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6330 \mathring{A} = 6330 \times 10^{-10} \,m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$w = \frac{2 \times 6330 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$
$w = 2 \times 6330 \times 10^{-7} \,m$
$w = 12660 \times 10^{-7} \,m = 1.266 \times 10^{-3} \,m$
$w \approx 1.27 \,mm$.