TS EAMCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) चरण $1$: हथौड़े और कील के बीच टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करें।
$M \times 20 + m \times 0 = (M + m) \times v'$
$v' = \frac{20M}{M+m}$
चरण $2$: दीवार के औसत प्रतिरोध बल $F$ को खोजने के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करें।
प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य निकाय $(M+m)$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$F \times d = \frac{1}{2} (M+m) (v')^2$
यहाँ,$d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है।
चरण $3$: समीकरण में मान रखें।
$F = \frac{(M+m) \times (v')^2}{2d}$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \left( \frac{20M}{M+m} \right)^2$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{400M^2}{(M+m)^2}$
$F = \frac{200M^2}{(M+m) \times 10^{-2}} = \frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$
अतः,औसत प्रतिरोध $\frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$ है।

(A) कुल द्रव्यमान $M = 1 \,kg$ है। द्रव्यमान का अनुपात $1:1:3$ है, इसलिए द्रव्यमान $m_1 = \frac{1}{5} \,kg$, $m_2 = \frac{1}{5} \,kg$, और $m_3 = \frac{3}{5} \,kg$ हैं।
चूंकि पिंड प्रारंभ में स्थिर है, प्रारंभिक संवेग $0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो समान द्रव्यमान $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश गति करते हैं। उनके संवेग सदिश $\vec{p}_1 = m_1 v_1 \hat{i} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{i} = 6 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ और $\vec{p}_2 = m_2 v_2 \hat{j} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{j} = 6 \hat{j} \,kg \cdot m/s$ हैं।
इन दो भागों का परिणामी संवेग $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 6 \hat{i} + 6 \hat{j}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{p}_{12}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6 \sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ है।
कुल संवेग शून्य होने के लिए, तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ को $\vec{p}_{12} + \vec{p}_3 = 0$ को संतुष्ट करना चाहिए, इसलिए $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$।
इसका परिमाण $|\vec{p}_3| = m_3 v_3 = \frac{3}{5} v_3 = 6 \sqrt{2}$ है।
$v_3$ के लिए हल करने पर: $v_3 = \frac{6 \sqrt{2} \times 5}{3} = 10 \sqrt{2} \,m/s$।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान के कारण मूल बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = \frac{Gm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $r = 1, 2, 4, 8, 16, \dots$ की दूरी पर रखे गए हैं,इसलिए मूल बिंदु पर कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र प्रत्येक द्रव्यमान के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग होगा:
$E = \frac{Gm}{1^2} + \frac{Gm}{2^2} + \frac{Gm}{4^2} + \frac{Gm}{8^2} + \dots$
$E = Gm \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression) है,जिसमें पहला पद $a = 1$ और सामान्य अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = Gm \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} Gm$ होगा।

(B) किसी दिए गए तापमान $T$ पर गैस अणुओं के $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $NTP$ पर $T$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M_1 = 32 \,g/mol$ और $v_1 = 0.5 \,km/s$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_2 = 2 \,g/mol$ है और मान लीजिए वेग $v_2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{0.5}{v_2} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
अतः,$v_2 = 0.5 \times 4 = 2 \,km/s$ होगा।

(A) मान लीजिए कि दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं, जहाँ $F_1$ छोटा बल है।
दिया गया है: $F_1 + F_2 = 25$ (समीकरण $1$)
परिणामी $R$, $F_1$ के लंबवत है। परिणामी का परिमाण $R = 10 \,N$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए, चूँकि $R \perp F_1$, $F_1$, $R$ और $F_2$ (कर्ण के रूप में) एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$
$F_2^2 - F_1^2 = 10^2 = 100$
$(F_2 - F_1)(F_2 + F_1) = 100$
समीकरण में $F_1 + F_2 = 25$ रखने पर:
$(F_2 - F_1)(25) = 100$
$F_2 - F_1 = 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$2F_2 = 29 \implies F_2 = 14.5 \,N$
समीकरण $1$ से $2$ को घटाने पर:
$2F_1 = 21 \implies F_1 = 10.5 \,N$
अतः, दो बल $14.5 \,N$ और $10.5 \,N$ हैं।

(B) माना $n = 1000$ छोटी बूंदों की संख्या है और $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है। व्यास $10^{-8} \ m$ है,इसलिए $r = 0.5 \times 10^{-8} \ m$.
$n$ छोटी बूंदों का आयतन = $R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद का आयतन।
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$R = (1000)^{1/3} \times (0.5 \times 10^{-8} \ m) = 10 \times 0.5 \times 10^{-8} \ m = 5 \times 10^{-8} \ m$.
मुक्त ऊर्जा $\Delta U = T \times \Delta A$,जहाँ $\Delta A = (n \times 4 \pi r^2) - (4 \pi R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (n r^2 - R^2) = 4 \pi (1000 \times (0.5 \times 10^{-8})^2 - (5 \times 10^{-8})^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (1000 \times 0.25 \times 10^{-16} - 25 \times 10^{-16}) = 4 \pi (250 - 25) \times 10^{-16} = 4 \pi \times 225 \times 10^{-16} = 900 \pi \times 10^{-16} = 9 \pi \times 10^{-14} \ m^2$.
मुक्त ऊर्जा $\Delta U = 0.075 \times 9 \pi \times 10^{-14} = 0.675 \pi \times 10^{-14} = 6.75 \pi \times 10^{-15} \ J$.

(C) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर तार की लंबाई में परिवर्तन लगाए गए बल के सीधे आनुपातिक होता है।
मान लीजिए $L$ तार की मूल लंबाई है और $K$ तार का बल नियतांक है।
$F_1$ बल के लिए,विस्तार $(L_1 - L)$ है,अतः $F_1 = K(L_1 - L)$ --- $(i)$
$F_2$ बल के लिए,विस्तार $(L_2 - L)$ है,अतः $F_2 = K(L_2 - L)$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{K(L_1 - L)}{K(L_2 - L)}$
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$
$L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 L_2 - F_2 L_1}{F_1 - F_2}$

(B) माना कि दूरी $AB = BC = h$ है। कुल दूरी $AC = 2h$ है।
चूंकि वस्तु $A$ से विरामावस्था से मुक्त रूप से गिरती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $s = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,$AB = h$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1$ है:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$AC = 2h$ दूरी तय करने में लगा कुल समय $T$ है:
$T = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$
$BC$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2$,कुल समय $T$ और $t_1$ का अंतर है:
$t_2 = T - t_1 = 2\sqrt{\frac{h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})$
अब,अनुपात $(t_2 / t_1)$ है:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$,बल $F = (3t^2 - 30) \,N$।
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन समय के साथ बल के समाकलन के बराबर होता है:
$\Delta p = \int_{0}^{t} F dt = m(v - u)$
$\int_{0}^{5} (3t^2 - 30) dt = 10(v - 10)$
$[t^3 - 30t]_{0}^{5} = 10(v - 10)$
$(5^3 - 30(5)) - (0) = 10(v - 10)$
$(125 - 150) = 10(v - 10)$
$-25 = 10(v - 10)$
$-2.5 = v - 10$
$v = 10 - 2.5 = 7.5 \,m/s$.

(B) कण का विस्थापन $x = A t^3 + B t^2 + C t + D$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = 3At^2 + 2Bt + C$.
प्रारंभिक वेग $(v_{\text{initial}})$ $t = 0$ पर वेग है:
$v_{\text{initial}} = 3A(0)^2 + 2B(0) + C = C$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = 6At + 2B$.
प्रारंभिक त्वरण $(a_{\text{initial}})$ $t = 0$ पर त्वरण है:
$a_{\text{initial}} = 6A(0) + 2B = 2B$.
प्रारंभिक त्वरण और प्रारंभिक वेग का अनुपात $\frac{a_{\text{initial}}}{v_{\text{initial}}} = \frac{2B}{C}$ है।

(B) $v_1$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंके गए पहले पिंड के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t_1 = \frac{v_1}{g}$ है और अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g}$ है।
$v_2$ वेग के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित दूसरे पिंड के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t_2 = \frac{v_2 \sin \theta}{g}$ है और अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि $t_1 = 2t_2$,इसलिए $\frac{v_1}{g} = 2 \left( \frac{v_2 \sin \theta}{g} \right)$,जिसे सरल करने पर $v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अब,ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \frac{v_1^2 / 2g}{v_2^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{v_1^2}{v_2^2 \sin^2 \theta}$ है।
$v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ का मान रखने पर,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{(2 v_2 \sin \theta)^2}{v_2^2 \sin^2 \theta} = \frac{4 v_2^2 \sin^2 \theta}{v_2^2 \sin^2 \theta} = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(A) कण की गति का समीकरण $y = 8 \cos [100 t + \pi / 4] \,cm$ दिया गया है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $y = a \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
आयाम $a = 8 \,cm = 8 \times 10^{-2} \,m$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \,rad/s$
द्रव्यमान $m = 4 \,kg$
$SHM$ में अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ का सूत्र है:
$K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$
मान रखने पर:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 4 \times (100)^2 \times (8 \times 10^{-2})^2$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 64 \times 10^{-4}$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 0.0064$
$K_{max} = 128 \,J$

(B) $M$ द्रव्यमान,$L$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = M(\frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4})$ होता है।
यहाँ $L = 2R$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$I_1 = M(\frac{(2R)^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{4R^2}{12} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{R^2}{3} + \frac{R^2}{4}) = M(\frac{7R^2}{12})$.
एक सिरे से गुजरने वाली और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{CM} + M d^2$,जहाँ $d = \frac{L}{2} = R$.
$I_2 = I_1 + M R^2 = M(\frac{7R^2}{12}) + M R^2 = M(\frac{7R^2 + 12R^2}{12}) = M(\frac{19R^2}{12})$.
अतः,$I_2 - I_1 = M R^2$.

(B) $100^{\circ} C$ पर $1 \,g$ पानी को $100^{\circ} C$ पर भाप में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $(dQ)$, $dQ = mL$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $m = 1 \,g$ और $L = 540 \,cal/g$ है।
$dQ = 1 \times 540 = 540 \,cal$.
जूल में बदलने पर: $dQ = 540 \times 4.2 = 2268 \,J$.
प्रसार के दौरान किया गया कार्य $(dW)$, $dW = p \Delta V$ है।
यहाँ $p = 10^5 \,N/m^2$ और $\Delta V = 1650 \,cc = 1650 \times 10^{-6} \,m^3$ है।
$dW = 10^5 \times 1650 \times 10^{-6} = 165 \,J$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $dQ = dU + dW$, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $dU = dQ - dW$ है।
$dU = 2268 - 165 = 2103 \,J$. (नोट: विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $2203 \,J$ माना गया है)।

(C) मान लीजिए कि संतुलन पर अंतिम तापमान $T$ है।
कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,कॉफी द्वारा खोई गई ऊष्मा = दूध द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
कॉफी द्वारा खोई गई ऊष्मा = $m_c \cdot c_c \cdot (T_i - T)$
दूध द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m_m \cdot c_m \cdot (T - T_m)$
दिया गया है: $m_c = 250 \ g$,$c_c = 1.00 \ cal/g^{\circ} C$,$T_i = 90^{\circ} C$,$m_m = 20 \ g$,$c_m = 1.00 \ cal/g^{\circ} C$,$T_m = 5^{\circ} C$.
दोनों को बराबर करने पर:
$250 \times 1.00 \times (90 - T) = 20 \times 1.00 \times (T - 5)$
$250(90 - T) = 20(T - 5)$
$22500 - 250T = 20T - 100$
$22600 = 270T$
$T = \frac{22600}{270} \approx 83.7^{\circ} C$

(C) माना तांबे और लोहे के जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं और सतहें ऊष्मीय रूप से कुचालक हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होगी।
माना $K_1 = 386.4 \ W/m-K$ (तांबा),$l_1 = 0.75 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$.
माना $K_2 = 48.46 \ W/m-K$ (लोहा),$l_2 = 1.25 \ m$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
दोनों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मा प्रवाह दरों को बराबर करने पर: $\frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{l_2}$.
$\frac{386.4 (100 - \theta)}{0.75} = \frac{48.46 (\theta - 0)}{1.25}$.
$515.2 (100 - \theta) = 38.768 \theta$.
$51520 - 515.2 \theta = 38.768 \theta$.
$553.968 \theta = 51520$.
$\theta = \frac{51520}{553.968} \approx 93^{\circ} C$.

(A) दिया गया समीकरण $F = \frac{X}{\text{रैखिक घनत्व}}$ है।
$X$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $X = F \times \text{रैखिक घनत्व}$ प्राप्त होता है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है।
रैखिक घनत्व (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान) का विमीय सूत्र $[ML^{-1}]$ है।
इन मानों को $X$ के समीकरण में रखने पर:
$X = [MLT^{-2}] \times [ML^{-1}]$
$X = [M^{1+1} L^{1-1} T^{-2}]$
$X = [M^2 L^0 T^{-2}]$.

(C) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ सभी खंडों के लिए समान हैं,इसलिए आवृत्ति $n$ खंड की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto \frac{1}{l})$।
दिया गया है कि मूल आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ है।
इसलिए,उनकी लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{n_1} : \frac{1}{n_2} : \frac{1}{n_3} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$ होगा।
तार की कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 + l_3 = 99 \ cm$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 6 + 3 + 2 = 11$ है।
प्रत्येक लंबाई की गणना:
$l_1 = \frac{6}{11} \times 99 = 54 \ cm$
$l_2 = \frac{3}{11} \times 99 = 27 \ cm$
$l_3 = \frac{2}{11} \times 99 = 18 \ cm$
अतः,लंबाई $54 \ cm, 27 \ cm, 18 \ cm$ है।

(C) पिंड पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है, इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $3 \, m$ ($x=3$ से $x=6$ तक) और $9 \, m$ ($x=0$ से $x=9$ तक) है, और ऊंचाई $20 \, N$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times 20 = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 = 120 \, J$.
अतः, किया गया कार्य $W = 120 \, J$.
कार्य को गतिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $120 = \frac{1}{2} m v^2$.
दिया गया है $m = 2.4 \, kg$, इसलिए $120 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times v^2$.
$120 = 1.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{120}{1.2} = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(A) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot S_n = mg \cdot S_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_n$ $n$वें सेकंड में तय की गई दूरी है।
चूंकि $m$,$g$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए $W \propto S_n$ होगा।
विराम अवस्था से शुरू होने वाली वस्तु के लिए $n$वें सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $u = 0$ और $a = g$ है,इसलिए $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ होगा।
$n = 1, 2, 3$ के लिए:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1)$
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3)$
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5)$
अतः दूरियों का अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = 1 : 3 : 5$ है।
इसलिए,किए गए कार्य का अनुपात $1 : 3 : 5$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ है।
अतः,$\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} = -1$ है।
इसका अर्थ है $X_C - X_L = -R$ या $X_L - X_C = R$।
धारा के आगे होने की स्थिति के लिए मानक सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ का उपयोग करने पर,$\tan(-45^{\circ}) = -1 = \frac{X_L - X_C}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $X_C - X_L = R$।
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ और $X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2 \pi f C} - 2 \pi f L = R$
$\frac{1}{2 \pi f C} = R + 2 \pi f L$
$C = \frac{1}{2 \pi f (R + 2 \pi f L)}$।

(A) लायमन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्घ्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$ है। अधिकतम तरंगदैर्घ्य (पहली रेखा) $n=2$ के लिए है,$\lambda_{L,1} = \frac{4}{3R} \approx 121.6 \ nm$।
बामर श्रेणी के लिए,तरंगदैर्घ्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है। दूसरी स्पेक्ट्रमी रेखा $n=5$ के लिए है,$\lambda_{B,2} = \frac{1}{R(\frac{1}{4} - \frac{1}{25})} = \frac{100}{21R} \approx 434 \ nm$।
चूंकि $121.6 \ nm < 434 \ nm$,लाइमन श्रेणी की तरंगदैर्घ्य बामर श्रेणी की दूसरी रेखा की तरंगदैर्घ्य से छोटी है। अतः,कथन $A$ गलत है।
कथन $B$ बोहर मॉडल की एक मूलभूत अभिधारणा है,जो बताती है कि $2\pi r = n\lambda$। अतः,कथन $B$ सही है।

(D) परिपथ आरेख से,हम कनेक्शन की पहचान कर सकते हैं:
$1$. संधारित्र $C_1$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
$2$. यह संयोजन $C_2$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$3$. अंत में,यह पूरा ब्लॉक $C_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रत्येक संधारित्र $C = 9 pF$ दिया गया है:
चरण $1$: $C_1$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
$C_{13} = \frac{C_1 \times C_3}{C_1 + C_3} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = 4.5 pF$.
चरण $2$: $C_{13}$,$C_2$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$C_{123} = C_{13} + C_2 = 4.5 + 9 = 13.5 pF$.
चरण $3$: $C_{123}$,$C_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
$C_{AB} = \frac{C_{123} \times C_4}{C_{123} + C_4} = \frac{13.5 \times 9}{13.5 + 9} = \frac{121.5}{22.5} = 5.4 pF$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$5.4 pF$,$5 pF$ के सबसे निकट है।

(C) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के पीक वोल्टेज $(E_m)$ और वाहक तरंग के पीक वोल्टेज $(E_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\mu = \frac{E_m}{E_c}$
दिया गया है:
वाहक तरंग का पीक वोल्टेज $E_c = 12 \,V$
मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu = 75 \% = 0.75 = \frac{3}{4}$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.75 = \frac{E_m}{12}$
$E_m = 0.75 \times 12$
$E_m = 9 \,V$
अतः, मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का पीक वोल्टेज $9 \,V$ है।

(B) समानांतर क्रम में जुड़ी दो बैटरियों का तुल्य emf $(E_{eq})$ सूत्र $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $E_1 = 18 \, V$, $r_1 = 3 \, \Omega$, $E_2 = 10 \, V$, और $r_2 = 1 \, \Omega$ है।
चूंकि बैटरियां विपरीत ध्रुवता में जुड़ी हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है), हम $E_2 = -10 \, V$ लेंगे।
$E_{eq} = \frac{18/3 + (-10)/1}{1/3 + 1/1} = \frac{6 - 10}{4/3} = \frac{-4}{4/3} = -3 \, V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{18 - 10}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2 \, A$ है।
$18 \, V$ की बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V = E_1 - i r_1 = 18 - (2 \times 3) = 18 - 6 = 12 \, V$ है।
$10 \, V$ की बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V = E_2 + i r_2 = 10 + (2 \times 1) = 12 \, V$ है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $12 \, V$ है।

(C) दिया गया है: वोल्टमीटर की रेंज $V_g = 250 mV = 0.25 V$,प्रतिरोध $G = 10 \Omega$ है।
सबसे पहले,गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g$ की गणना करें:
$I_g = \frac{V_g}{G} = \frac{0.25 V}{10 \Omega} = 0.025 A = 25 mA$ है।
हम इसे $I = 250 mA = 0.25 A$ रेंज के एमीटर में बदलना चाहते हैं।
शंट प्रतिरोध $S$ के लिए सूत्र:
$S = \frac{G I_g}{I - I_g}$
मान रखने पर:
$S = \frac{10 \times 0.025}{0.25 - 0.025} = \frac{0.25}{0.225} = \frac{250}{225} \approx 1.11 \Omega$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1 \Omega$ है।

(D) एल्युमीनियम एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए, जैसे-जैसे तापमान घटता है, प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि जाली कंपन (फोनोन) कम हो जाते हैं, जिससे इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम होता है।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए, जैसे-जैसे तापमान घटता है, प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तापमान के साथ तेजी से घटती है।
इसलिए, जब $77 \,K$ तक ठंडा किया जाता है, तो एल्युमीनियम के तार का प्रतिरोध घट जाता है और जर्मेनियम के तार का प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
ऊर्जा $E$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,और $\lambda = 5500 \ \text{Å} = 5.5 \times 10^{-7} \ \text{m}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (5.5 \times 10^{-7})^2}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 30.25 \times 10^{-14}}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{550.55 \times 10^{-45}}$
$E \approx 0.0791 \times 10^{-23} \ \text{J} \approx 7.91 \times 10^{-25} \ \text{J}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $8 \times 10^{-25} \ \text{J}$ है।

(B) विस्थापन धारा $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र के अंदर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए एम्पीयर-मैक्सवेल नियम का उपयोग करते हुए: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_d$.
चूंकि विद्युत क्षेत्र समान है,$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षेत्रफल से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_r = \phi_E \left( \frac{\pi r^2}{A} \right)$ है,जहाँ $A$ प्लेट का कुल क्षेत्रफल है।
अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \phi_E \frac{\pi r^2}{A} \right) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{r^2}{A} \frac{d\phi_E}{dt} \cdot \pi$.
$B = \frac{\mu_0 \varepsilon_0 r}{2A} \frac{d\phi_E}{dt}$.
दिया गया है $\frac{d\phi_E}{dt} = 7 \times 10^{14}$,$r = 0.1 \text{ m}$,$A = 1 \text{ m}^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(8.85 \times 10^{-12})(0.1)}{2(1)} (7 \times 10^{14}) \approx 7.79 \times 10^{-6} \text{ T} = 0.779 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(A) $L$ भुजा वाले बड़े वर्गाकार लूप द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $l$ भुजा वाला छोटा लूप केंद्र में रखा गया है,छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A$ है,जहाँ $A = l^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$.
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\phi$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(A) माना वर्ग की भुजा $a$ है। कोने $D$ पर स्थित आवेश $Q$ पर विचार करें। अन्य आवेश $A$ (आवेश $q$),$B$ (आवेश $Q$),और $C$ (आवेश $q$) पर स्थित हैं।
$A$ पर स्थित $q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_A = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DA$ की दिशा में) है।
$C$ पर स्थित $q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_C = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DC$ की दिशा में) है।
इन दो बलों का परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2}$ (विकर्ण $DB$ की दिशा में) है।
$B$ पर स्थित $Q$ के कारण $D$ पर स्थित $Q$ पर बल $F_B = \frac{K Q^2}{(\sqrt{2} a)^2} = \frac{K Q^2}{2 a^2}$ (विकर्ण $DB$ की दिशा में) है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{K Q^2}{2 a^2} + \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2} = 0$
$\frac{K Q}{a^2}$ से विभाजित करने पर (मान लें $Q \neq 0$):
$\frac{Q}{2} + \sqrt{2} q = 0$
$Q = -2 \sqrt{2} q$
संतुलन के लिए $Q$ और $q$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए,इसलिए यदि $Q$ धनात्मक है,तो $q$ ऋणात्मक होना चाहिए।

(A-R, B-P, C-Q, D-S) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$A$. रॉकेट प्रणोदन न्यूटन के गति के तीसरे नियम पर आधारित है,जो $R$ के अनुरूप है।
$B$. हवाई जहाज की लिफ्ट को द्रव गतिकी में बर्नौली के सिद्धांत द्वारा समझाया गया है,जो $P$ के अनुरूप है।
$C$. ऑप्टिकल फाइबर प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सिद्धांत पर कार्य करते हैं,जो $Q$ के अनुरूप है।
$D$. संलयन परीक्षण रिएक्टर संलयन प्रक्रिया को बनाए रखने के लिए प्लाज्मा के चुंबकीय परिरोध (Magnetic confinement) का उपयोग करते हैं,जो $S$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $A-R, B-P, C-Q, D-S$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
प्रारंभ में,चुंबक $30$ दोलन प्रति मिनट करता है,इसलिए आवृत्ति $f = 30/60 = 0.5 \,Hz$.
प्रारंभिक आवर्तकाल $T = 1/f = 1/0.5 = 2 \,s$.
जब चुंबकीय क्षेत्र को दोगुना किया जाता है,तो $B' = 2B$.
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = \frac{T}{\sqrt{B'/B}} = \frac{T}{\sqrt{2B/B}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
$T$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = L$,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$। क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
वर्गाकार लूप के लिए,परिमाप $4a = L$,इसलिए $a = \frac{L}{4}$। क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = iA$ होता है।
चूंकि धारा $i$ समान है,इसलिए द्विध्रुव आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{i A_1}{i A_2} = \frac{A_1}{A_2}$ होगा।
क्षेत्रफलों का मान रखने पर: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{L^2 / 4 \pi}{L^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$।

(B) पहली प्रक्रिया के लिए क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ और दूसरी प्रक्रिया के लिए $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ है।
चूंकि नाभिक दो प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,इसलिए प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
क्षय नियतांक के व्यंजक रखने पर,$\frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$,जो सरल होकर $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ हो जाता है।
अतः,प्रभावी अर्ध-आयु $T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T_1 = 5 \times 10^3 \text{ वर्ष}$ और $T_2 = 10^5 \text{ वर्ष} = 100 \times 10^3 \text{ वर्ष}$ दिया गया है।
$T = \frac{(5 \times 10^3) \times (100 \times 10^3)}{5 \times 10^3 + 100 \times 10^3} = \frac{500 \times 10^6}{105 \times 10^3} = \frac{500000}{105} \approx 4761.9 \text{ वर्ष}$।
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $4762 \text{ वर्ष}$ है।

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
हवा में,फोकस दूरी $f_a$ है: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ $\mu_g = 1.45$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_a} = (1.45 - 1) K = 0.45 K$.
द्रव में,फोकस दूरी $f_l$ है: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
यहाँ $\mu_l = 1.3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.45}{1.3} - 1) K = (\frac{1.45 - 1.3}{1.3}) K = (\frac{0.15}{1.3}) K$.
अब,$f_l / f_a$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.45 K}{(\frac{0.15}{1.3}) K} = \frac{0.45 \times 1.3}{0.15} = 3 \times 1.3 = 3.9$.

(B) संपर्क में रखे गए तीन पतले लेंसों की संयुक्त फोकस दूरी $F$ का सूत्र है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_3}$।
यहाँ $F_1 = F_2 = F_3 = 3 \,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{F} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \,cm^{-1}$।
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = 1 \,cm$ है।
सामान्य समायोजन में एक सरल आवर्धक (या लेंस संयोजन) का आवर्धन $M = 1 + \frac{D}{F}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है।
यहाँ $D = 25 \,cm$ और $F = 1 \,cm$ है,इसलिए $M = 1 + \frac{25}{1} = 26$ प्राप्त होता है।

(A) हाफ-वेव रेक्टिफायर में, डायोड केवल इनपुट $AC$ सिग्नल के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान ही चालन करता है।
चूंकि आउटपुट में इनपुट के प्रत्येक पूर्ण चक्र के लिए एक पल्स प्राप्त होती है, इसलिए आउटपुट सिग्नल की आवृत्ति इनपुट सिग्नल की आवृत्ति के बराबर होती है।
अतः, $50 \,Hz$ की इनपुट आवृत्ति के लिए, आउटपुट की मूल आवृत्ति $50 \,Hz$ होगी।

(D) एक बाह्य अर्धचालक में,इलेक्ट्रॉन सांद्रता $(n_e)$ और होल सांद्रता $(n_h)$ का गुणनफल एक निश्चित तापमान पर स्थिर रहता है।
इस संबंध को 'Law of Mass Action' के रूप में जाना जाता है।
इस नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉनों और होलों की सांद्रता का गुणनफल आंतरिक वाहक सांद्रता $(n_i)$ के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,सही संबंध $n_e n_h = n_i^2$ है।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर स्थित प्रथम कोटि के दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई के बराबर होती है।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दी गई मान हैं:
स्लिट की चौड़ाई $a = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
पर्दे की दूरी $D = 2 \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6330 \mathring{A} = 6330 \times 10^{-10} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$w = \frac{2 \times 6330 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$
$w = 2 \times 6330 \times 10^{-7} \,m$
$w = 12660 \times 10^{-7} \,m = 1.266 \times 10^{-3} \,m$
$w \approx 1.27 \,mm$.