MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $X$ એ $n$ કરતા નાની સંખ્યા મેળવવા માટે જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આ એક ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p$ એ ${1, 2, \dots, n-1}$ માંથી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
તેથી,$p = \frac{n-1}{n}$.
ભૌમિતિક વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E[X] = \frac{n}{9}$,તેથી $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$.
$p = \frac{n-1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ મળે છે.
$n \in N$ અને $n > 1$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
તેથી,$n-1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $I$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $II$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $I$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|E_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે.
થેલી $II$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|E_2) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લીલો હોય તો તે થેલી $I$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2)}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{16}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16+15}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{31} = \frac{16}{31}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે દર્દીને અનુક્રમે $d_1, d_2, d_3$ રોગો છે. સંભાવનાઓ સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષણ પોઝિટિવ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A|E_1) = 0.7$,$P(A|E_2) = 0.5$,અને $P(A|E_3) = 0.8$ છે.
આપણે $P(E_2|A)$ શોધવાની જરૂર છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 0.5}{\frac{1}{3} \times 0.7 + \frac{1}{3} \times 0.5 + \frac{1}{3} \times 0.8}$.
$P(E_2|A) = \frac{0.5}{0.7 + 0.5 + 0.8} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. $n$ વખત ઉછાળતા $k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X=5) = P(X=7)$,તેથી $\binom{n}{5} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{7} (\frac{1}{2})^n$.
આનો અર્થ એ છે કે $\binom{n}{5} = \binom{n}{7}$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ હોય,તો કાં તો $a=b$ અથવા $a+b=n$ થાય.
અહીં $5 \neq 7$ હોવાથી,$n = 5+7 = 12$ મળે.
હવે,$3$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવા માટે,$P(X=3) = \binom{12}{3} (\frac{1}{2})^{12}$.
ગણતરી કરતા $\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
તેથી,$P(X=3) = 220 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} = \frac{55}{2^{10}}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}$ શોધવો છે.
$P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$
$P(X=k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$
$= \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!}{k!} \cdot \frac{p^k}{p^{k-1}} \cdot \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$
$= (n-k+1) \cdot \frac{1}{k} \cdot p \cdot \frac{1}{q}$
$= \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=4$ અને $q=1-p$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=3) = 3P(X=4)$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\binom{4}{3} p^3 q^1 = 3 \binom{4}{4} p^4 q^0$
$4 p^3 q = 3(1) p^4$
$p \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $p^3$ વડે ભાગતા:
$4q = 3p$
$q = 1-p$ મૂકતા:
$4(1-p) = 3p$
$4 - 4p = 3p$
$4 = 7p$
$p = \frac{4}{7}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 99$ અને $p = 0.5$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના $P[X=r]$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $r$ એ બહુલક (mode) હોય.
જો $(n+1)p$ પૂર્ણાંક હોય,તો $r = (n+1)p$ અને $r = (n+1)p - 1$ પર બે બહુલક મળે છે.
જો $(n+1)p$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $r = \lfloor (n+1)p \rfloor$ પર એક અનન્ય બહુલક મળે છે.
અહીં,$(n+1)p = (99+1) \times 0.5 = 100 \times 0.5 = 50$ છે.
$50$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,સંભાવના $P[X=r]$ એ $r = 50$ અને $r = 50 - 1 = 49$ પર મહત્તમ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$49$ એ $r$ ની એવી કિંમત છે જ્યાં સંભાવના મહત્તમ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=10$ આપેલ છે,તેથી $P(X=k) = \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}$.
આપેલ છે કે $5 P(X=0) = P(X=1)$:
$5 \binom{10}{0} p^0 (1-p)^{10} = \binom{10}{1} p^1 (1-p)^9$
$5(1-p) = 10p$
$5 - 5p = 10p \implies 15p = 5 \implies p = \frac{1}{3}$.
તેથી,$q = 1-p = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=5)}{P(X=6)}$ શોધીએ:
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{\binom{10}{5} p^5 q^5}{\binom{10}{6} p^6 q^4} = \frac{\binom{10}{5}}{\binom{10}{6}} \cdot \frac{q}{p}$
$\binom{10}{5} = 252$ અને $\binom{10}{6} = 210$.
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{252}{210} \cdot \frac{2/3}{1/3} = \frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

(C) $00$ થી $99$ સુધીની કુલ બે-અંકની સંખ્યાઓ $100$ છે.
ધારો કે $X$ એ $d_1 d_2$ અંકો દ્વારા બનતી સંખ્યા છે. ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = 24$.
શક્ય જોડીઓ $(d_1, d_2)$ એ $(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3)$ છે.
આમ,આવી $4$ સંખ્યાઓ છે: $38, 46, 64, 83$.
એક પ્રયત્નમાં ઘટના $E$ બનવાની સંભાવના $p = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.
ઘટના $E$ ન બનવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ છે.
આપણે $n = 4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના $E$ બનવાની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(4, \frac{1}{25})$ ને અનુસરે છે.
આપણે $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 q^1 = 4 \times (\frac{1}{25})^3 \times (\frac{24}{25}) = \frac{96}{(25)^4}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{25})^4 = \frac{1}{(25)^4}$.
$P(X \ge 3) = \frac{96}{(25)^4} + \frac{1}{(25)^4} = \frac{97}{(25)^4}$.

(C) ધારો કે $X$ એ કસોટીમાં ટકી રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે. અહીં,$n = 4$ અને $p = \frac{2}{3}$ છે.
તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,તેથી $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ટકી રહે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} + \frac{24}{81} = \frac{33}{81} = \frac{33}{3^4}$.

(A) ધારો કે $n = 100$ એ ઉછાળવાની સંખ્યા છે અને $p = q = \frac{1}{2}$ એ એક ઉછાળમાં છાપ કે કાંટો મળવાની સંભાવના છે.
ચોક્કસ $r$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$.
આપણે છાપ બેકી સંખ્યામાં મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $S = \sum_{r \text{ is even}} \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+q)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} p^r q^{n-r} = 1$ અને $(q-p)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-p)^r q^{n-r}$.
$p=q=\frac{1}{2}$ માટે,$n \ge 1$ હોવાથી $(q-p)^n = 0^n = 0$ થાય.
આમ,$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1$ અને $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-1)^r (\frac{1}{2})^n = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sum_{r \text{ is even}} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1 + 0 = 1$.
તેથી,બેકી સંખ્યામાં છાપ મળવાની સંભાવના $S = \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x \sim B\left(n=6, p=\frac{1}{2}\right)$.
સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(x=k) = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k} = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \binom{6}{k} \frac{1}{64}$ છે.
આપણે $P(|x-2| \leqslant 1)$ શોધવાનું છે.
$|x-2| \leqslant 1$ નો અર્થ છે $-1 \leqslant x-2 \leqslant 1$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leqslant x \leqslant 3$ થાય છે.
તેથી,આપણે $P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(x=1) = \binom{6}{1} \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.
$P(x=2) = \binom{6}{2} \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.
$P(x=3) = \binom{6}{3} \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(1 \leqslant x \leqslant 3) = \frac{6+15+20}{64} = \frac{41}{64}$.

(A) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સફળતા એટલે બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા મળવી. સાનુકૂળ પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,જે કુલ $6$ પરિણામો છે.
તેથી,સફળતાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં $n = 4$ અને $k = 2$ છે.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}$.
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{36}\right) \times \left(\frac{25}{36}\right)$.
$P(X = 2) = 6 \times \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$.

(A) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{5}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
અહીં $n = 5$ વિદ્યાર્થીઓ છે અને આપણે $x = 4$ તરવૈયા હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot (\frac{1}{5})^{5-4}$
$P(X = 4) = 5 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot \frac{1}{5}$

(B) ધારો કે $p$ એ વ્યક્તિ ખેલાડી હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વ્યક્તિ ખેલાડી ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{6}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
પરિવારમાં $n = 6$ સભ્યો છે. આપણે $x = 5$ સભ્યો ખેલાડી હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = ^nC_x \times p^x \times q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 5) = ^6C_5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \left(\frac{1}{6}\right)^{6-5}$
$P(X = 5) = 6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$
આમ,સંભાવના $6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.4$.
ધારો કે $q$ એ એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.
આપણે $n = 3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો કરીએ છીએ.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(X = 0) = ^nC_0 \times p^0 \times q^n$.
કિંમતો મૂકતા,$P(X = 0) = 1 \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 1 \times 1 \times 0.216 = 0.216$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ અને $n = 33$ છે.
આપેલ છે કે $3 P(X=0) = P(X=1)$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$3 \binom{33}{0} p^0 q^{33} = \binom{33}{1} p^1 q^{32}$
$3 \times 1 \times q^{33} = 33 \times p \times q^{32}$
$q \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $q^{32}$ વડે ભાગતા:
$3q = 33p$
$q = 11p$
$q = 1-p$ હોવાથી,$1-p = 11p$,જેનો અર્થ છે $1 = 12p$,તેથી $p = \frac{1}{12}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ છે.
$Var(X) = 33 \times \frac{1}{12} \times \frac{11}{12} = \frac{33 \times 11}{144} = \frac{363}{144}$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{121}{48}$.

(C) પગલું $1$: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $k$ ની કિંમત શોધો.
$f(x) = 0$ હોવાથી $x \leq 0$ માટે,આપણી પાસે $\int_{0}^{\infty} \frac{k}{x^2+1} dx = 1$ છે.
પગલું $2$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $k [\tan^{-1} x]_{0}^{\infty} = 1$.
$k (\frac{\pi}{2} - 0) = 1 \implies k = \frac{2}{\pi}$.
પગલું $3$: c.d.f. $F(x)$ ને $x > 0$ માટે $P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2/\pi}{t^2+1} dt = \frac{2}{\pi} [\tan^{-1} t]_{0}^{x} = \frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$2k + k + 2k + 4k + k = 1$,જેનો અર્થ થાય છે કે $10k = 1$,તેથી $k = 0.1$.
હવે,$a = P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 2k + k + 2k = 5k = 5(0.1) = 0.5$ ગણો.
ત્યારબાદ,$b = P(2 < X < 4) = P(X=3) = 4k = 4(0.1) = 0.4$ ગણો.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$a = 0.5$ અને $b = 0.4$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a > b$.

(B) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
$1$. કિસ્સો $1$: બધા છાપા અથવા બધા કાંટા મળે.
પરિણામો $HHH$ અને $TTT$ છે. આવા $2$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{જીત } ₹150) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$2$. કિસ્સો $2$: એક છાપો અથવા બે છાપા મળે.
પરિણામો $HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{હાર } ₹50) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$3$. અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$:
$E(X) = (150 \times \frac{1}{4}) + (-50 \times \frac{3}{4})$
$E(X) = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} = 0$.
તેથી,રમત દીઠ સરેરાશ તે $₹0$ જીતી કે હારી શકે છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\frac{1}{5} + A + B = 1 \implies A + B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (સમીકરણ $1$).
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ એ $\sum X \cdot P(X)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = 30 \cdot (\frac{1}{5}) + 10 \cdot A + (-10) \cdot B = 4$
$6 + 10A - 10B = 4$
$10A - 10B = -2 \implies 5A - 5B = -1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$B = \frac{4}{5} - A$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$5A - 5(\frac{4}{5} - A) = -1$
$5A - 4 + 5A = -1$
$10A = 3 \implies A = \frac{3}{10}$.
હવે,$B$ શોધો: $B = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$AB$ ની કિંમત $AB = (\frac{3}{10}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{20}$ થાય.

(C) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
ધારો કે $X$ એ રાણીઓની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{2}{221} = \frac{34}{221}$.
$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{4}{221} = \frac{36}{221}$.
હવે,$2 E(X) + 3 E(X^2) = 2 \left(\frac{34}{221}\right) + 3 \left(\frac{36}{221}\right) = \frac{68 + 108}{221} = \frac{176}{221}$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
આ $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ સ્વરૂપની એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
શ્રેણી $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ નો સરવાળો થાય છે.
$r = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
આમ,$k \times \frac{25}{16} = 1$,જે આપણને $k = \frac{16}{25}$ આપે છે.
આપણે $P(X=0)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $6$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
ધારો કે $X$ એ બે સંખ્યાઓમાંથી મોટી સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6$ છે.
જો $X = 2$ હોય,તો જોડી $(1, 2)$ છે,તેથી $P(X=2) = \frac{1}{15}$.
જો $X = 3$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 3), (2, 3)$ છે,તેથી $P(X=3) = \frac{2}{15}$.
જો $X = 4$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ છે,તેથી $P(X=4) = \frac{3}{15}$.
જો $X = 5$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)$ છે,તેથી $P(X=5) = \frac{4}{15}$.
જો $X = 6$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ છે,તેથી $P(X=6) = \frac{5}{15}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x P(X=x) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$.
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1$,જ્યાં $r = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = (1-r)^{-2}$.
$r = \frac{1}{2}$ માટે,સરવાળો $(1 - \frac{1}{2})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ થાય છે.
તેથી,$k(4) = 1$,જે $k = \frac{1}{4}$ આપે છે.
હવે,આપણે $P(X=1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=1) = k(1+1)\left(\frac{1}{2}\right)^1 = k(2)(\frac{1}{2}) = k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{4}$,તેથી $P(X=1) = \frac{1}{4}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{1+p}{5} + \frac{2-2p}{5} + \frac{2-p}{5} + \frac{2p}{5} = 1$
$\frac{1+p+2-2p+2-p+2p}{5} = 1$
$\frac{5}{5} = 1$. આ કોઈપણ $p$ માટે હંમેશા સાચું છે.
કારણ કે $P(X=x) \ge 0$ તમામ $x$ માટે,આપણી પાસે છે:
$1+p \ge 0 \implies p \ge -1$
$2-2p \ge 0 \implies p \le 1$
$2-p \ge 0 \implies p \le 2$
$2p \ge 0 \implies p \ge 0$
આ બધાને જોડતા,$0 \le p \le 1$. $p$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
હવે,$E(X) = \sum x P(X=x)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X) = 0 \cdot \frac{1+p}{5} + 1 \cdot \frac{2-2p}{5} + 2 \cdot \frac{2-p}{5} + 3 \cdot \frac{2p}{5}$
$E(X) = \frac{2-2p + 4-2p + 6p}{5} = \frac{6+2p}{5}$
$p=0$ માટે,$E(X) = \frac{6}{5}$.
તેથી,$5 E(X) = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$.

(B) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x) = P(X \le x)$ છે.
$P[X=-3]$ શોધવા માટે,આપણે c.d.f. ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P[X=-3] = F(-3) = 0.1$.
$P[X < 0]$ શોધવા માટે,આપણે નોંધવું જોઈએ કે $X < 0$ માં $X = -3$ અને $X = -1$ કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,$P[X < 0] = P(X = -3) + P(X = -1) = F(-1) = 0.3$.
હવે,આપણે જરૂરી ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{{}^4C_x}{2^4} = {}^4C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{4-x}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે,જ્યાં $n = 4$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\sigma^2 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1$ થાય.
આમ,$\mu = 2$ અને $\sigma^2 = 1$ છે.

(B) સંભાવના ઘનતા વિધેય (p.d.f.) માટે,વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$.
$f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ મૂકતા:
$\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$.
સીમાઓ પર ગણતરી કરતા: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$.
$\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $f(2) = 2$:
$\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$13a + 12(1 - a) = 3$.
$13a + 12 - 12a = 3$.
$a = 3 - 12 = -9$.
$b = 1 - a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1 - (-9) = 10$.
આમ,$a = -9$ અને $b = 10$.

(C) ધારો કે $S$ એ $5$ અથવા $6$ મેળવવાની ઘટના (સફળતા) છે અને $F$ એ $1, 2, 3,$ અથવા $4$ મેળવવાની ઘટના (નિષ્ફળતા) છે.
સફળતાની સંભાવના $P(S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $P(F) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
જો તેને $S$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પછી રમત અટકી જાય છે.
શક્ય પરિણામો:
$1$. પ્રથમ પ્રયત્ને સફળતા: $S$. સંભાવના $P_1 = \frac{1}{3}$. નફો = $₹ 40$.
$2$. બીજા પ્રયત્ને સફળતા: $FS$. સંભાવના $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. નફો = $40 - 20 = ₹ 20$.
$3$. ત્રીજા પ્રયત્ને સફળતા: $FFS$. સંભાવના $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$. નફો = $40 - 20 - 20 = ₹ 0$.
$4$. ત્રણેય પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળતા: $FFF$. સંભાવના $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. નફો = $-20 - 20 - 20 = -₹ 60$.
અપેક્ષિત નફો $E = (40 \times \frac{1}{3}) + (20 \times \frac{2}{9}) + (0 \times \frac{4}{27}) + (-60 \times \frac{8}{27})$.
$E = \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + 0 - \frac{480}{27} = \frac{360 + 120 - 480}{27} = \frac{0}{27} = 0$.

(B) $1$. સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$\frac{1}{4} + K + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + K = 1 \implies \frac{5}{6} + K = 1 \implies K = \frac{1}{6}$.
$2$. મધ્યક $\mu = \sum x_i P(x_i) = (-3)(\frac{1}{4}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{4}) + (\alpha)(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$.
$3$. વિચરણ $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$.
$\sum x_i^2 P(x_i) = (-3)^2(\frac{1}{4}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{4}) + (\alpha)^2(\frac{1}{3}) = \frac{9}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha^2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3}$.
$4$. આપેલ છે કે $\sigma - \mu = 2$,તેથી $\sigma = \mu + 2$. આ કિંમત $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$ માં મૂકતા:
$(\mu + 2)^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2 \implies \mu^2 + 4\mu + 4 = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \mu^2$.
$5$. $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકીને $\alpha$ માટે ઉકેલતા $\alpha = 3$ મળે છે.
$6$. તેથી $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$.
$7$. અંતે,$\sigma = \mu + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ છે.
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$.
$X$ નું વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$Var(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$.

(A) પગલું $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $k$ ની કિંમત શોધો.
$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.
પગલું $2$: $P(X > a) = \frac{20}{27}$ શરતનો ઉપયોગ કરો.
$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.
$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.
$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.
$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.
$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.
$a = \frac{1}{3}$ મૂકતા: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.
આમ,$a = \frac{1}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = \frac{1}{10}$ મળે.
આપણે $P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7)$ શોધવાનું છે.
$P(X=6) = 2k^2 = 2(\frac{1}{10})^2 = \frac{2}{100}$.
$P(X=7) = 7k^2 + k = 7(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}$.
તેથી,$P(X \geqslant 6) = \frac{2}{100} + \frac{17}{100} = \frac{19}{100}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. તેથી,$\sum P(X=x) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$.
$0.1 + k(1) + k(2) + k(5-3) + k(5-4) = 1$.
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$.
$0.1 + 6k = 1$.
$6k = 0.9$,તેથી $k = 0.15$.
આપણે રવિવારે ઓછામાં ઓછા બે કલાક અભ્યાસ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ છે.
$P(X=2) = k(2) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=3) = k(5-3) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=4) = k(5-4) = 1(0.15) = 0.15$.
$P(X \ge 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X=x) = K + 2K + K^2 + 2K + 5K^2 = 1$.
સમાન પદોને જોડતા,આપણને $6K^2 + 5K - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6K - 1)(K + 1) = 0$.
આનાથી $K = \frac{1}{6}$ અથવા $K = -1$ મળે છે.
સંભાવના ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K = \frac{1}{6}$ લેવું પડે.
આપણે $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = K^2 + 2K + 5K^2 = 6K^2 + 2K$.
$K = \frac{1}{6}$ મૂકતા: $P(X > 2) = 6(\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{1}{6}) = 6(\frac{1}{36}) + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. બે સિક્કા ઉછાળવાના શક્ય પરિણામો ${HH, HT, TH, TT}$ છે.
$1$. જો $2$ છાપ મળે $(HH)$,તો $X = 10$. સંભાવના $P(X=10) = \frac{1}{4}$.
$2$. જો $1$ છાપ મળે $(HT, TH)$,તો $X = 5$. સંભાવના $P(X=5) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$3$. જો $0$ છાપ મળે $(TT)$,તો $X = 2$. સંભાવના $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = (10 \times \frac{1}{4}) + (5 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) = 2.5 + 2.5 + 0.5 = 5.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (10^2 \times \frac{1}{4}) + (5^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times \frac{1}{4}) = (100 \times 0.25) + (25 \times 0.5) + (4 \times 0.25) = 25 + 12.5 + 1 = 38.5$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.

(B) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$0 < x < 4$ માટે,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} \, dt = \left[ \frac{t^2}{16} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{16}$.
$x \le 0$ માટે,$F(x) = 0$.
$x \ge 4$ માટે,$F(x) = 1$.
કિંમતોની ગણતરી:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = 0.015625 \approx 0.0156$.
$F(1.7) = \frac{(1.7)^2}{16} = \frac{2.89}{16} = 0.180625 \approx 0.18$.
$F(5) = 1$ (કારણ કે $5 \ge 4$).
આમ,કિંમતો $0.0156, 0.18, 1$ છે.

(B) મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી $\sum x_i P(x_i) = (1 \times 0.1) + (2 \times 0.2) + (3 \times 0.3) + (4 \times 0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
વિચરણ $Var(X)$ ની ગણતરી $E(X^2) - [E(X)]^2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times 0.1) + (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.4) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0$.
$Var(X) = 10.0 - (3.0)^2 = 10.0 - 9.0 = 1.0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1.0} = 1.0$.
આમ,મધ્યક $3$ છે અને પ્રમાણિત વિચલન $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $70 \%$ સભ્યો દરખાસ્તની તરફેણમાં છે,તેથી સંભાવના $P(X=1) = 0.70$.
$30 \%$ સભ્યો વિરોધમાં હોવાથી,સંભાવના $P(X=0) = 0.30$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0.70$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0.70$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.70 - (0.70)^2 = 0.70 - 0.49 = 0.21$.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (2 \times 0.2) + (3 \times 0.5) + (4 \times 0.3) = 0.4 + 1.5 + 1.2 = 3.1$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ છે.
$E(X^2) = (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.5) + (4^2 \times 0.3) = (4 \times 0.2) + (9 \times 0.5) + (16 \times 0.3) = 0.8 + 4.5 + 4.8 = 10.1$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ છે.
$Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 1$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
$0.2 + k(1) + k(2) + k(6-3) + k(6-4) = 1$
$0.2 + k + 2k + 3k + 2k = 1$
$0.2 + 8k = 1$
$8k = 0.8$
$k = 0.1$
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થી વધુમાં વધુ બે કલાક અભ્યાસ કરે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X \le 2) = 0.2 + k(1) + k(2) = 0.2 + 3k$
$k = 0.1$ મૂકતા:
$P(X \le 2) = 0.2 + 3(0.1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.

(B) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=35$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ શરત $7 P(X=0) = P(X=1)$ મુજબ:
$7 \binom{35}{0} p^0 q^{35} = \binom{35}{1} p^1 q^{34}$.
$7 q = 35 p \implies q = 5p$.
$p+q=1$ હોવાથી,$p+5p=1 \implies 6p=1 \implies p = \frac{1}{6}$ અને $q = \frac{5}{6}$.
હવે,$\frac{P(X=15)}{P(X=20)} = \frac{\binom{35}{15} p^{15} q^{20}}{\binom{35}{20} p^{20} q^{15}} = \frac{\binom{35}{15}}{\binom{35}{20}} \cdot (\frac{q}{p})^5$.
$\binom{35}{15} = \binom{35}{20}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $(q/p)^5 = (5)^5 = 3125$ થાય.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. ઢગમાં રાજાઓની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તા બદલીને (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં રાજા આવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n = 2$ પ્રયત્નોમાં મળેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ ને અનુસરે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \binom{2}{0} p^0 q^2 = 1 \times 1 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} p^1 q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{1}{13})^2 \times 1 = \frac{1}{169}$
આપણે $E(X^2) = \sum x^2 P(X=x)$ શોધવાનું છે.
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{144}{169}) + (1^2 \times \frac{24}{169}) + (2^2 \times \frac{1}{169})$
$E(X^2) = 0 + \frac{24}{169} + \frac{4}{169} = \frac{28}{169}$.

(C) અહીં આપણને સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{18}$ આપેલું છે,જ્યાં $-3 < x < 3$ છે.
આપણે $P[|X| < 2]$ શોધવાનું છે.
શરત $|X| < 2$ એ $-2 < x < 2$ ને સમાન છે.
તેથી,$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$.
$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$P[|X| < 2] = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
$P[|X| < 2] = 2 \times \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right)$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{27}$.

(A) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $a_1 = 2, b_1 = -4, c_1 = 1$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $a_2 = -1, b_2 = 2, c_2 = 3$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(-1) + (-4)(2) + (1)(3)}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-2 - 8 + 3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{\sqrt{294}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-\frac{z}{4}=1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે અન્ય બે ચલને શૂન્ય લઈએ છીએ.
$x$-અક્ષ માટે,$y=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{x}{3}=1 \implies x=3$. તેથી,$A = (3, 0, 0)$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{y}{2}=1 \implies y=2$. તેથી,$B = (0, 2, 0)$.
$z$-અક્ષ માટે,$x=0$ અને $y=0$ લેતા: $-\frac{z}{4}=1 \implies z=-4$. તેથી,$C = (0, 0, -4)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = B - A = (-3, 2, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-3, 0, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-8)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 144 + 36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{61} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^{2}(45^{\circ}) + \cos^{2}(60^{\circ}) + \cos^{2}\theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\cos^{2}\theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos\theta = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos\theta$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 120^{\circ}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-2/5}{(3\lambda+1)/5}=\frac{z-5}{-1}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-2, \frac{3\lambda+1}{5}, -1)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1/3}{-7/3}=\frac{z-4}{-2\mu}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-1, -7/3, -2\mu)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-2)(-1) + (\frac{3\lambda+1}{5})(-\frac{7}{3}) + (-1)(-2\mu) = 0$.
$2 - \frac{21\lambda+7}{15} + 2\mu = 0$.
$15$ વડે ગુણતા: $30 - (21\lambda+7) + 30\mu = 0$.
$30 - 21\lambda - 7 + 30\mu = 0$.
$23 - 21\lambda + 30\mu = 0 \implies 21\lambda - 30\mu = 23$.
$3$ વડે ભાગતા: $7\lambda - 10\mu = \frac{23}{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(2,1,-3)$ અને $Q(-1,0,2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (-1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (2-(-3))\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $3, 2, 6$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
દિશા સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{PQ}$ અને $\hat{u}$ ના અદિશ ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
પ્રક્ષેપ $= |\vec{PQ} \cdot \hat{u}| = |(-3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot \frac{(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})}{7}|$
$= |\frac{(-3)(3) + (-1)(2) + (5)(6)}{7}| = |\frac{-9 - 2 + 30}{7}| = |\frac{19}{7}| = \frac{19}{7}$ એકમ.