परवलयों x^2 = frac{y}{4} और x^2 = 9y तथा रेखा | vedclass

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Question

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4}$ (या $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) और $x^2 = 9y$ (या $x = \pm 3\sqrt{y}$) हैं। रेखा $y = 2$ है। $Y$-अक्ष के सापेक्

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$\frac{20 \sqrt{2}}{3}$

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(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4}$ (या $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) और $x^2 = 9y$ (या $x = \pm 3\sqrt{y}$) हैं। रेखा $y = 2$ है। $Y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा। प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = 3\sqrt{y}$ और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ द्वारा $y = 0$ से $y = 2$ तक घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $= 2 \int_0^2 \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$ $= 2 \int_0^2 \frac{5}{2} \sqrt{y} \, dy = 5 \int_0^2 y^{1/2} \, dy$ $= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^2$ $= \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई।

परवलयों $x^2 = \frac{y}{4}$ और $x^2 = 9y$ तथा रेखा $y = 2$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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