$\frac{\log x}{x}$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि $x=-1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,तो

एक आयत जिसकी एक भुजा x-अक्ष पर स्थित है,उसे $xy$ समतल के $y = 0$,$y = 3x$ और $y = 30 - 2x$ रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र में अंतर्निहित किया जाना है। ऐसे आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

यदि $m$ और $n$ क्रमशः फलन $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं की संख्या हैं,तो क्रमित युग्म $(m, n)$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=(x-1)(x-2)(x-5)$ द्वारा दिया गया है। $x>0$ के लिए $F(x)=\int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $F$ का $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(2)$ $F$ का $x=2$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(3)$ सभी $x \in (0,5)$ के लिए $F(x) \neq 0$
$(4)$ $F$ के $(0, \infty)$ में दो स्थानीय अधिकतम और एक स्थानीय न्यूनतम है

मान लीजिए $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$ है। तो