यदि S_1 = sum_{r=1}^{n} r,S_2 = sum_{r=1}^{n} | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घातों के योग के सूत्र हैं: $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$,$S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$S_3 = \frac{n^

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$\frac{9}{32}$

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(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घातों के योग के सूत्र हैं: $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$,$S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$S_3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$. दिया गया व्यंजक $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1(1 + \frac{S_3}{4})}{S_2^2}$ है। सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2} (1 + \frac{n^2(n+1)^2}{16})}{\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36}}$. व्यंजक को सरल करने पर: $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{16 + n^2(n+1)^2}{16} \cdot \frac{36}{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}$. $L = \frac{9}{8} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{16 + n^2(n+1)^2}{n(n+1)(2n+1)^2}$. अंश और हर को $n^4$ से विभाजित करने पर: $L = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{32}$.

यदि $S_1 = \sum_{r=1}^{n} r$,$S_2 = \sum_{r=1}^{n} r^2$,और $S_3 = \sum_{r=1}^{n} r^3$ है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1(1 + \frac{S_3}{4})}{S_2^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+cx}{1-cx}\right)^{1/x}=4$ है,तो $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2cx}{1-2cx}\right)^{1/x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना सभी $x > 0$ के लिए,$f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$,तो

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^3}{1-\sin 2 x}=$

यदि $I = \lim_{x \rightarrow 0} \sin \left( \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}} \right)$ है,तो सीमा

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