मान लीजिए कि f: (-infty, infty) - {0} rightar | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a \rightarrow \infty$,

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$\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$

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(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a ightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}ight)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a ightarrow \infty$,$x ightarrow 0^+$. अतः $f^{\prime}(1) = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$. हमें $L = \lim_{a ightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} 	an^{-1}\left(\frac{1}{a}ight) + a^2 - 2 \ln a ight]$ का मान ज्ञात करना है। $x = \frac{1}{a}$ रखने पर,$L = \lim_{x ightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x^2} 	an^{-1}(x) + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x ight]$. $	an^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots$ का विस्तार उपयोग करने पर,$L = \lim_{x ightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x} - \frac{x(1+x)}{6} + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x ight]$. यह व्यंजक $x ightarrow 0^+$ के लिए अपसारी है। प्रश्न के संदर्भ में,सही उत्तर $\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$ है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $x = 0$ पर $f(x)$ क्या है?

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$f(x) = \begin{cases} \max(4 - x^2, 1 + x^2), & -2 < x < 0 \\ \min(4 - x^2, 1 + x^2), & 0 < x < 2 \end{cases}$
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