मान लीजिए कि $2$ और $4$ भुजाओं वाला एक आयत $ABCD$ एक अन्य आयत $PQRS$ में इस प्रकार अंकित है कि आयत $ABCD$ के शीर्ष आयत $PQRS$ की भुजाओं पर स्थित हैं। जब आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल अधिकतम हो,तो उसकी भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। तब $(a+b)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

प्रत्येक दो बार अवकलनीय फलन $f : R \rightarrow [-2, 2]$ के लिए,जहाँ $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$ है,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ ऐसे $r, s \in R$ मौजूद हैं,जहाँ $r < s$,कि $f$ विवृत अंतराल $(r, s)$ पर एकैकी (one-one) है।
$(B)$ ऐसा $x_0 \in (-4, 0)$ मौजूद है कि $|f'(x_0)| \leq 1$.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$.
$(D)$ ऐसा $a \in (-4, 4)$ मौजूद है कि $f(a) + f''(a) = 0$ और $f'(a) \neq 0$.

माना $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}, x > 0$. माना $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय उच्चतम बिंदु हैं और $y_1 < y_2 < y_3 < \ldots < y_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(1)$ प्रत्येक $n$ के लिए $|x_n - y_n| > 1$
$(2)$ $x_1 < y_1$
$(3)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in (2n, 2n + \frac{1}{2})$
$(4)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_{n+1} - x_n > 2$

यदि अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में फलन $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$ का चरम मान $m$ है और यह $x = k$ पर स्थित है,तो $\cos k =$

फलन $f(x) = x e^{-x}$ सभी $x \in R$ के लिए $x = k$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है, तो $k = $

मान लीजिए $f :[2,4] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए,जहाँ $f(2) = \frac{1}{2}$ और $f(4) = \frac{1}{4}$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A): f(x) \leq 1$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए
$(B): f(x) \geq \frac{1}{8}$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए
तो,