lim _{x} {rightarrow 0} 2left(frac{1-cos x sq | vedclass

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Question

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1-\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k}}{x^2}\right)$ है।$\cos kx \approx 1 - \frac{(kx)^2}{2}$ के विस्त

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$55$

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(B) माना $L = \lim _{x ightarrow 0} 2\left(\frac{1-\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k}}{x^2}ight)$ है।$\cos kx \approx 1 - \frac{(kx)^2}{2}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,$(\cos kx)^{1/k} \approx (1 - \frac{k^2x^2}{2})^{1/k} \approx 1 - \frac{1}{k} \cdot \frac{k^2x^2}{2} = 1 - \frac{kx^2}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,गुणनफल $\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k} \approx \prod_{k=1}^{10} (1 - \frac{kx^2}{2}) \approx 1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}$ है।सीमा में यह मान रखने पर:$L = \lim _{x ightarrow 0} 2\left(\frac{1 - (1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2})}{x^2}ight)$$L = \lim _{x ightarrow 0} 2\left(\frac{\sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}}{x^2}ight) = \sum_{k=1}^{10} k$।$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10 	imes 11}{2} = 55$।

$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} 2\left(\frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x} \sqrt[3]{\cos 3 x} \ldots \sqrt[10]{\cos 10 x}}{x^2}\right)$ का मान ............ है।

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