int_{-pi}^pi frac{2 y(1+sin y)}{1+cos ^2 y} d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y

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$\pi^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. पहला भाग $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ है क्योंकि फलन विषम है। दूसरे भाग के लिए,चूंकि $y \sin y$ एक सम फलन है,इसलिए: $I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. गुणधर्म $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ का उपयोग करते हुए: $I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. $I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I \implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y \implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. माना $t = \cos y$,तो $dt = -\sin y dy$. जब $y=0, t=1$; जब $y=\pi, t=-1$. $I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $I = 2\pi [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx = $ . . . . . . .

$\int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx = $

यदि $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ है,तो $M-N$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}}$

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