x^2(1+x)^{98} + x^3(1+x)^{97} + x^4(1+x)^{96} | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ के रूप में है।हमें $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ में $x^{70}$ का गुणांक ज्ञात करना है।यह

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$83$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ के रूप में है।हमें $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ में $x^{70}$ का गुणांक ज्ञात करना है।यह प्रत्येक $k$ के लिए $(1+x)^{100-k}$ में $x^{70-k}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है,जो ${}^{100-k}C_{70-k}$ है।योग करने पर,$S = {}^{98}C_{68} + {}^{97}C_{67} + \ldots + {}^{46}C_{16}$ प्राप्त होता है।हॉकी-स्टिक पहचान $\sum_{i=r}^n {}^iC_r = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करते हुए,योग $\sum_{j=46}^{98} {}^jC_{30}$ हो जाता है।अतः,${}^{99}C_{31} - {}^{46}C_{31}$ प्राप्त होता है।तुलना करने पर $p=31, q=31$ या $p=68, q=15$ मिलता है।इस प्रकार,$p+q = 83$ एक संभावित मान है।

$x^2(1+x)^{98} + x^3(1+x)^{97} + x^4(1+x)^{96} + \ldots + x^{54}(1+x)^{46}$ में $x^{70}$ का गुणांक ${}^{99}C_p - {}^{46}C_q$ है। तो $p+q$ का एक संभावित मान है:

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