$\theta \in[-\pi, 2 \pi]$ के उन सभी संभावित मानों का योग, जिनके लिए $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है, बराबर है ($\pi$ में)

यदि $\theta \in \mathbb{R}$ और $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\theta$ होगा (जहाँ $I$ पूर्णांकों का समुच्चय है):

यदि $z_1$ और $z_2$ दो एकमापी (unimodular) सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो $z_1^2 + z_2^2 = 5$ को संतुष्ट करती हैं,तो $(z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय है जो $|z^2+z+1|=1$ को संतुष्ट करती हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A) |z+\frac{1}{2}| \leq \frac{1}{2}$ सभी $z \in S$ के लिए
$(B) |z| \leq 2$ सभी $z \in S$ के लिए
$(C) |z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$ सभी $z \in S$ के लिए
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव हैं

यदि $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right)$ है,तो $x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(\bar{z})^2+|z|=0$ के सभी शून्येतर हलों का योग और गुणनफल हैं,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है। तो $4(\alpha^2+\beta^2)$ का मान ज्ञात कीजिए: