धनात्मक पदों वाली एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी | vedclass

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Question

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया है $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,अतः $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \i

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(C) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया है $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,अतः $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \implies ar(1 + r^4) = \frac{70}{3}$।दिया है $T_3 \cdot T_5 = 49$,अतः $(ar^2)(ar^4) = 49 \implies a^2r^6 = 49 \implies ar^3 = 7$ (चूंकि पद धनात्मक हैं)।अतः,$a = \frac{7}{r^3}$।प्रथम समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $\frac{7}{r^3} \cdot r(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{7}{r^2}(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{1 + r^4}{r^2} = \frac{10}{3}$।माना $r^2 = t$। तब $\frac{1 + t^2}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$।$t$ के लिए हल करने पर: $(3t - 1)(t - 3) = 0$,अतः $t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$।चूंकि श्रेणी वर्धमान है,$r > 1$,इसलिए $r^2 = 3$।हमें $T_4 + T_6 + T_8 = ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ ज्ञात करना है।$ar^3 = 7$ और $r^2 = 3$ रखने पर: $7(1 + 3 + 3^2) = 7(1 + 3 + 9) = 7(13) = 91$।

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