माना y=y(x) अवकल समीकरण (x+y+2)^2 dx=dy,y(0)= | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x+y+2)^2$ है,जहाँ $y(0)=-2$ है।माना $v=x+y+2$,तब $\frac{dv}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ है।समीकरण में मान रखने पर: $

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(x+y+2)^2$ है,जहाँ $y(0)=-2$ है।माना $v=x+y+2$,तब $\frac{dv}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ है।समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx}-1=v^2 \Rightarrow \frac{dv}{dx}=1+v^2$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx \Rightarrow 	an^{-1}(v) = x+C$ प्राप्त होता है।अतः,$	an^{-1}(x+y+2) = x+C$ है।$x=0, y=-2$ के लिए,$	an^{-1}(0-2+2) = 0+C \Rightarrow C=0$ है।इसलिए,$x+y+2 = 	an(x) \Rightarrow y = 	an(x)-x-2$ है।अंतराल $x \in [0, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,$f'(x) = \sec^2(x)-1 = 	an^2(x) \ge 0$,अतः $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।न्यूनतम मान $\beta = f(0) = 	an(0)-0-2 = -2$ है।अधिकतम मान $\alpha = f(\frac{\pi}{3}) = 	an(\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{3}-2 = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2$ है।अब,$(3\alpha+\pi)^2+\beta^2 = (3(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2)+\pi)^2+(-2)^2$ है।$= (3\sqrt{3}-\pi-6+\pi)^2+4 = (3\sqrt{3}-6)^2+4$ है।$= (27+36-36\sqrt{3})+4 = 67-36\sqrt{3}$ है।$\gamma+\delta\sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\gamma=67$ और $\delta=-36$ प्राप्त होता है।अतः,$\gamma+\delta = 67-36 = 31$ है।

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