JEE Main 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$.
$n=1$ માટે,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$.
$n=2$ માટે,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$.
$n=3$ માટે,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$.
તેથી,$X = \{ 0, 9, 54, \dots \}$.
આપેલ છે $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$.
$n=1$ માટે,$9(1-1) = 0$.
$n=2$ માટે,$9(2-1) = 9$.
$n=3$ માટે,$9(3-1) = 18$.
તેથી,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$.
$X$ નો દરેક ઘટક $9$ નો ગુણક હોવાથી અને $X \subset Y$ હોવાથી,$X \cup Y = Y$ થાય.

(B) આપણને $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$ આપેલ છે.
આપણે $f_4(x) - f_6(x)$ શોધવાનું છે.
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
તેથી,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(B) ધારો કે પક્ષીનું પ્રારંભિક સ્થાન $P$ છે,જે $PQ = 20 \ m$ ઊંચા થાંભલાની ટોચ પર છે. બિંદુ $O$ થી ઉત્સેધકોણ $\angle POQ = 45^o$ છે.
$\Delta POQ$ માં,$\tan 45^o = \frac{PQ}{OQ}$ $\Rightarrow 1 = \frac{20}{OQ}$ $\Rightarrow OQ = 20 \ m$.
એક સેકન્ડ પછી,પક્ષી $P'$ સ્થાન પર પહોંચે છે જ્યાં $P'Q' = 20 \ m$ (કારણ કે તે આડી દિશામાં ઉડે છે). $O$ થી ઉત્સેધકોણ $\angle P'OQ' = 30^o$ છે.
$\Delta P'OQ'$ માં,$\tan 30^o = \frac{P'Q'}{OQ'}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{OQ'}$ $\Rightarrow OQ' = 20\sqrt{3} \ m$.
પક્ષીએ એક સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $QQ' = OQ' - OQ = 20\sqrt{3} - 20 = 20(\sqrt{3} - 1) \ m$ છે.
સમય $1 \ s$ હોવાથી,પક્ષીની ઝડપ $20(\sqrt{3} - 1) \ m/s$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $|z| \ge 2$,જે $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની બહારનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
પદ $|z + \frac{1}{2}|$ એ સંકર સંખ્યા $z$ અને બિંદુ $-\frac{1}{2}$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
$|z - (-\frac{1}{2})|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $-\frac{1}{2}$ થી વર્તુળ $|z| = 2$ ની સીમા સુધીનું અંતર ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $-\frac{1}{2}$ સુધીનું અંતર $\frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે બિંદુ $-\frac{1}{2}$ એ વર્તુળ $|z| = 2$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી બિંદુ $-\frac{1}{2}$ થી વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $R - d$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 2$ એ ત્રિજ્યા છે અને $d = \frac{1}{2}$ એ ઉગમબિંદુથી બિંદુનું અંતર છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય = $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{3}{2} = 1.5$,જે અંતરાલ $(1, 2)$ માં આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $6000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવા માટે આપણે ${3, 5, 6, 7, 8}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીશું.
કિસ્સો $1$: $5$ અંકની સંખ્યાઓ.
બધા $5$ અંકો ઉપલબ્ધ હોવાથી,કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ થશે.
કિસ્સો $2$: $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
$4$ અંકની સંખ્યા $6000$ થી મોટી હોવા માટે,પ્રથમ અંક $6, 7,$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો માટે $4$ અંકોમાંથી પસંદગી કરવાની છે,જે $P(4, 3) = 24$ રીતે થઈ શકે.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3 \times 24 = 72$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 120 + 72 = 192$.

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(1 + ax + bx^2)(1 - 2x)^{18}$ છે.
$x^n$ નો સહગુણક $\binom{18}{n}(-2)^n + a \cdot \binom{18}{n-1}(-2)^{n-1} + b \cdot \binom{18}{n-2}(-2)^{n-2}$ દ્વારા મળે છે.
$x^3$ માટે $(n=3)$: $\binom{18}{3}(-2)^3 + a \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 + b \cdot \binom{18}{1}(-2)^1 = 0 \implies 51a - 3b = 544 \dots (i)$.
$x^4$ માટે $(n=4)$: $\binom{18}{4}(-2)^4 + a \cdot \binom{18}{3}(-2)^3 + b \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 = 0 \implies 544a - 51b = 4080 \dots (ii)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$a = 16$ અને $b = \frac{272}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.
બંને બાજુ $10^9$ વડે ભાગતા:
$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$ ......$(i)$
ધારો કે $x = \frac{11}{10}$. તેથી $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$.
$x$ વડે ગુણતા:
$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$ ......$(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$k(1-x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$
$k(1-x) = \frac{1(x^{10}-1)}{x-1} - 10x^{10}$
અહીં $x = \frac{11}{10}$ હોવાથી,$1-x = -\frac{1}{10}$ અને $x-1 = \frac{1}{10}$.
$k(-\frac{1}{10}) = \frac{(\frac{11}{10})^{10}-1}{\frac{1}{10}} - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10((\frac{11}{10})^{10}-1) - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10(\frac{11}{10})^{10} - 10 - 10(\frac{11}{10})^{10} = -10$
તેથી $k = 100$.

(B) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ ધન સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે,જ્યાં વધતી જતી $G.P.$ માટે $r > 1$ છે.
જો મધ્યમ પદને બમણું કરવામાં આવે,તો નવી સંખ્યાઓ $a, 2ar, ar^2$ બને છે.
આ સંખ્યાઓ $A.P.$ માં હોવાથી,મધ્યમ પદ એ બાકીની બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક છે:
$2(2ar) = a + ar^2$
$4ar = a(1 + r^2)$
$a > 0$ હોવાથી,આપણે $a$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$r^2 - 4r + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
$G.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$. તેથી,$r = 2 + \sqrt{3}$.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P(2,2)$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
$S$ ના યામ $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ છે.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
જરૂરી રેખા $PS$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m = -\frac{2}{9}$ થશે.
$(1,-1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(A) ધારો કે ચોથા ચરણમાં છેદબિંદુ $(\alpha, -\alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$.
આ બિંદુ બંને રેખાઓ $4ax + 2ay + c = 0$ અને $5bx + 2by + d = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
પ્રથમ રેખા માટે: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$.
બીજી રેખા માટે: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$.
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$.
ગુણાકાર કરતા $3bc = 2ad$ મળે,જેને $3bc - 2ad = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ધારો કે વર્તુળ $T$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે. $T$ નું કેન્દ્ર $(0, y)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = |y|$ થાય.
વર્તુળ $T$ એ વર્તુળ $C$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય.
$C$ નું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 1$ છે.
$T$ નું કેન્દ્ર $(0, y)$ અને ત્રિજ્યા $r = y$ છે.
કેન્દ્રો $(1, 1)$ અને $(0, y)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1-0)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{1 + (1-y)^2}$ છે.
ત્રિજ્યાઓના સરવાળા $R + r = 1 + y$ સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{1 + (1-y)^2} = 1 + y$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + (1 - 2y + y^2) = (1 + y)^2$
$2 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2$
$2 - 2y = 1 + 2y$
$4y = 1$
$y = \frac{1}{4}$
આમ,$T$ ની ત્રિજ્યા $\frac{1}{4}$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 6$ અને $b^2 = 2$ છે.
ઉપવલયના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે,જે $y = mx + \sqrt{6m^2 + 2}$ બને છે $(1)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને આ સ્પર્શકને લંબ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -\frac{x}{y}$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = (-\frac{x}{y})x + \sqrt{6(-\frac{x}{y})^2 + 2}$
$y + \frac{x^2}{y} = \sqrt{\frac{6x^2 + 2y^2}{y^2}}$
$\frac{y^2 + x^2}{y} = \frac{\sqrt{6x^2 + 2y^2}}{|y|}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x^2 + y^2)^2 = 6x^2 + 2y^2$ મળે છે.

(C) પ્રથમ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$ છે.
$y^2 = 4x$ ને સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{1}{m} \quad (1)$ છે.
બીજા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -32y$ છે,જે $x^2 = 4Ay$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4A = -32$,તેથી $A = -8$ છે.
$x^2 = 4Ay$ ને સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx - Am^2$ છે. $A = -8$ મૂકતા,આપણને $y = mx - (-8)m^2 = mx + 8m^2 \quad (2)$ મળે છે.
રેખા બંને પરવલયો માટે સામાન્ય હોવાથી,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ના અંતઃખંડોને સરખાવતા:
$\frac{1}{m} = 8m^2$.
આથી $8m^3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $m^3 = \frac{1}{8}$.
ઘનમૂળ લેતા,$m = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t = x - [x] = \{x\}$. $0 \leq \{x\} < 1$ હોવાથી,$0 \leq t < 1$ મળે.
સમીકરણ $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ બને છે,એટલે કે $3t^2 - 2t - a^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$.
$t \geq 0$ હોવાથી,ધન ચિહ્ન લેતા: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$.
પૂર્ણાંક ઉકેલ ન મળે તે માટે $t \neq 0$ હોવું જોઈએ. વળી,$t < 1$ હોવું જરૂરી છે:
$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1$ $\Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2$ $\Rightarrow 1 + 3a^2 < 4$ $\Rightarrow a^2 < 1$.
આથી $-1 < a < 1$. $a=0$ માટે $t=0$ મળે છે જે પૂર્ણાંક ઉકેલ આપે છે,તેથી $a \neq 0$.
આમ,$a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ અને $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે ચકાસણી: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે $P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તેઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.

(B) આપેલ છે કે $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$.
આપણે $f_4(x) - f_6(x)$ શોધવાનું છે.
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
હવે,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{2}{4} - \frac{3}{6})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= (\frac{3-2}{12}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(C) વિધાન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
$1$. દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow \sim q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ ના સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોય.
$2$. નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p \leftrightarrow \sim q$ અસત્ય હોય.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,$\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ ના સત્યતા મૂલ્યો $(p \leftrightarrow q)$ ના મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,આ વિધાન $(p \leftrightarrow q)$ ને સમાન છે.

(D) સમીકરણ $w - \overline{w}z = k(1 - z)$ ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $k \in \mathbb{R}$.
$Im\, w \neq 0$ હોવાથી, $w \neq \overline{w}$, તેથી $z \neq 1$.
આમ, $k = \frac{w - \overline{w}z}{1 - z}$.
$k$ વાસ્તવિક હોવાથી, $\frac{w - \overline{w}z}{1 - z} = \overline{\left( \frac{w - \overline{w}z}{1 - z} \right)} = \frac{\overline{w} - w\overline{z}}{1 - \overline{z}}$.
ગુણાકાર કરતા $(w - \overline{w}z)(1 - \overline{z}) = (\overline{w} - w\overline{z})(1 - z)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $w - w\overline{z} - \overline{w}z + \overline{w}z\overline{z} = \overline{w} - \overline{w}z - w\overline{z} + w\overline{z}z$.
સરળ કરતા, $w + \overline{w}|z|^2 = \overline{w} + w|z|^2$ મળે.
પદો ગોઠવતા: $(w - \overline{w})|z|^2 = w - \overline{w}$.
$Im\, w \neq 0$ હોવાથી, $w - \overline{w} \neq 0$, તેથી $|z|^2 = 1$, જેનો અર્થ છે $|z| = 1$.
વળી, મૂળ સમીકરણ પરથી, $z \neq 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી, માંગેલ ગણ $\{z : |z| = 1, z \neq 1\}$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. સમીકરણ $2x^2 + 3x + 4 = 0$ માટે વિવેચક $D = 3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0$ છે.
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,તેના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હશે. જો બે સમીકરણોના સહગુણકો વાસ્તવિક હોય અને એક બીજ સામાન્ય હોય,તો બંને બીજ સામાન્ય હોય.
તેથી,સમીકરણો પ્રમાણસર છે: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$.
આમ,$a : b : c = 2 : 3 : 4$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ અને $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ એ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha \beta}$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha \beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ છે.
અહીં $b^3 - 3ab = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 - 3(\sqrt{\alpha \beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
તેમજ,$a^3 = (\sqrt{\alpha \beta})^3 = \alpha^{3/2} \beta^{3/2}$.
સમીકરણ $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2} \beta^{3/2} = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha^{3/2}$ અને $\beta^{3/2}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + x)^{101} (1 - x + x^2)^{100}$ છે.
આપણે તેને $(1 + x) (1 + x)^{100} (1 - x + x^2)^{100}$ તરીકે લખી શકીએ.
$= (1 + x) [(1 + x)(1 - x + x^2)]^{100}$.
નિત્યસમ $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + x)(1 - x + x^2) = 1 + x^3$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $(1 + x)(1 + x^3)^{100}$ બને છે.
$(1 + x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $100 + 1 = 101$ પદો છે.
$(1 + x)$ વડે ગુણતા,$(1 + x)(1 + x^3)^{100} = (1 + x^3)^{100} + x(1 + x^3)^{100}$ મળે.
દરેક ભાગમાં $101$ પદો છે,અને કોઈ પણ પદ સમાન નથી,તેથી કુલ પદોની સંખ્યા $101 + 101 = 202$ થાય.

(B) $3, 4, 5,$ અને $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $4-$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે કુલ $4! = 24$ સંખ્યાઓ છે.
જો આપણે એકમના સ્થાન પર કોઈ એક અંક નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,દરેક અંક $3, 4, 5,$ અને $6$ એકમના સ્થાન પર બરાબર $6$ વખત આવે છે.
એકમના સ્થાનના અંકોનો સરવાળો:
$= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
$= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
$= 6 \times 18$
$= 108$

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
બીજું પદ $a + d = 12$ .....$(1)$
પ્રથમ નવ પદોનો સરવાળો:
${S_9} = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$
આપેલ છે કે $200 < {S_9} < 220$:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a = 12 - d$ ની કિંમત મૂકતા:
$200 < 9(12 - d + 4d) < 220$
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
બધા ભાગમાંથી $108$ બાદ કરતા:
$92 < 27d < 112$
પદો ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. $d$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
જો $d = 4$ હોય,તો $27 \times 4 = 108$ (જે $92 < 108 < 112$ નું પાલન કરે છે).
આમ,$d = 4$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$a + 4 = 12$,તેથી $a = 8$.
$4^{th}$ પદ $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$ મું પદ:
$a_n = \frac{2n + 1}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$a_n = 6 \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right]$
$20$ પદોનો સરવાળો $S_{20}$:
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{20} = 6 \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{21} \right) \right]$
$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$
આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{k}{21}$,સરખામણી કરતા $k = 120$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ચલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ પરના લંબનો લંબપાદ $P(x_1, y_1)$ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર મુજબ,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$,તેથી $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$x_1^2 + y_1^2 = 4$,જે $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(D) રેખા $RQ$ નું સમીકરણ $x - 2y = 2$ છે.
$R$ એ $x-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y-$ યામ $0$ છે. $RQ$ ના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $x - 2(0) = 2$ મળે છે,તેથી $x = 2$. આમ,$R = (2, 0)$.
$PQ$ એ $x-$ અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$Q$ નો $y-$ યામ $P$ ના $y-$ યામ જેટલો જ એટલે કે $3$ થશે.
$RQ$ ના સમીકરણમાં $y = 3$ મૂકતા,આપણને $x - 2(3) = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x - 6 = 2$,તેથી $x = 8$. આમ,$Q = (8, 3)$.
શિરોબિંદુઓ $P(5, 3)$,$Q(8, 3)$,અને $R(2, 0)$ ધરાવતા $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{5 + 8 + 2}{3}, \frac{3 + 3 + 0}{3} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{6}{3} \right) = (5, 2)$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે બિંદુ $(5, 2)$ કયા રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $D$ માટે: $2x - 5y = 2(5) - 5(2) = 10 - 10 = 0$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $2x - 5y = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 34 - p$ મળે.
કેન્દ્ર $(3, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34 - p}$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોય તે માટે,ત્રિજ્યા કેન્દ્રના $y$-યામ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $r < 5 \implies \sqrt{34 - p} < 5 \implies 34 - p < 25 \implies p > 9$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોય તે માટે,ત્રિજ્યા કેન્દ્રના $x$-યામ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $r < 3 \implies \sqrt{34 - p} < 3 \implies 34 - p < 9 \implies p > 25$.
જો બિંદુ $(1, 4)$ વર્તુળની અંદર હોય,તો કેન્દ્ર $(3, 5)$ થી તેનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ: $\sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 4)^2} < r \implies \sqrt{2^2 + 1^2} < \sqrt{34 - p} \implies \sqrt{5} < \sqrt{34 - p} \implies 5 < 34 - p \implies p < 29$.
બધી શરતોને જોડતા,$p > 25$ અને $p < 29$,તેથી $p \in (25, 29)$.

(A) ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
આપેલ છે કે $F_1B$ અને $F_2B$ એકબીજાને લંબ છે.
યામો $F_1(-ae, 0)$,$F_2(ae, 0)$,અને $B(0, b)$ છે.
$F_1B$ નો ઢાળ = $\frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$.
$F_2B$ નો ઢાળ = $\frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$.
$F_1B \perp F_2B$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$-\frac{b^2}{a^2e^2} = -1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2 = a^2e^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $2n$ અલગ અવલોકનો $x_1 < x_2 < ... < x_{2n}$ છે.
અહીં $2n$ અવલોકનો હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $n$ માં અને $(n+1)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થથી નીચે $n$ અવલોકનો છે (એટલે કે $x_1, ..., x_n$) અને મધ્યસ્થથી ઉપર $n$ અવલોકનો છે (એટલે કે $x_{n+1}, ..., x_{2n}$).
મૂળ અવલોકનોનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{2n} x_i$ છે.
નવો સરવાળો $S'$ એ પ્રથમ $n$ અવલોકનોમાં $5$ ઉમેરીને અને બાકીના $n$ અવલોકનોમાંથી $3$ બાદ કરીને મળે છે:
$S' = \sum_{i=1}^{n} (x_i + 5) + \sum_{i=n+1}^{2n} (x_i - 3)$
$S' = \sum_{i=1}^{n} x_i + 5n + \sum_{i=n+1}^{2n} x_i - 3n$
$S' = \sum_{i=1}^{2n} x_i + 2n = S + 2n$.
નવો મધ્યક $M' = \frac{S'}{2n} = \frac{S + 2n}{2n} = \frac{S}{2n} + 1$.
મૂળ મધ્યક $M = \frac{S}{2n}$ હોવાથી,નવો મધ્યક $M' = M + 1$ થાય.
આમ,મધ્યકમાં $1$ નો વધારો થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ શરત મૂકતા,$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$.
વધુમાં,$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$ અને $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ હોવાથી,$A = B$ થાય,તેથી $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
આમ,$P(A \cap B') = 0$ અને $P(A' \cap B) = 0$ સત્ય છે.
તેથી,$P(A) + P(B) = 1$ એ હંમેશા સાચું નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^3\alpha - 7\sin^2\alpha + 7\sin\alpha - 2 = 0$.
ધારો કે $x = \sin\alpha$. તો $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$.
$x = 1$ એ એક ઉકેલ છે.
$(x - 1)$ વડે ભાગતા,$(x - 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(2x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,$\sin\alpha = 1$,$\sin\alpha = \frac{1}{2}$,અથવા $\sin\alpha = 2$.
$\sin\alpha = 2$ શક્ય નથી.
$\sin\alpha = 1$ માટે $[0, 2\pi]$ માં $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ($1$ મૂલ્ય).
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ માટે $[0, 2\pi]$ માં $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ મૂલ્યો).
કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા = $1 + 2 = 3$.

(B) આપેલ છે $\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$,તેથી $\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$.
નિત્યસમ $\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\cot \frac{\pi}{4} \cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\theta}{2}} = \frac{\cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\theta}{2} + 1}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ પદ $\frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પદનો વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ મળે છે.
$\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$ મૂકતા:
$\frac{1 - \frac{p - q}{p + q}}{1 + \frac{p - q}{p + q}} = \frac{p + q - p + q}{p + q + p - q} = \frac{2q}{2p} = \frac{q}{p}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\left| \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right| = \sqrt{\frac{q}{p}}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધાન "જો વરસાદ ન પડે,તો હું શાળાએ જાઉં છું" છે.
ધારો કે $p$ એ "વરસાદ પડતો નથી" અને $q$ એ "હું શાળાએ જાઉં છું" વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \Rightarrow q$ નો પ્રતિ-ધન $\sim q \Rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "હું શાળાએ જતો નથી" અને $\sim p$ એટલે "વરસાદ પડે છે".
તેથી,પ્રતિ-ધન "જો હું શાળાએ ન જાઉં,તો વરસાદ પડે છે" થાય.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = -f(x)$ થાય.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$.
આપણે $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ શોધવાનું છે.
$f$ અયુગ્મ હોવાથી,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ થાય.
પ્રથમ $f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\sin\frac{\pi}{6}) + 4(\cos\frac{\pi}{6})$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$.
તેથી,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$.

(A) પદાવલિ $\arg \left( \frac{z_1}{z_4} \right) + \arg \left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ ને ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\arg \left( \frac{a}{b} \right) = \arg(a) - \arg(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \arg(z_1) - \arg(z_4) + \arg(z_2) - \arg(z_3)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= (\arg(z_1) + \arg(z_2)) - (\arg(z_3) + \arg(z_4))$
આપેલ છે કે $(z_1, z_2)$ અને $(z_3, z_4)$ એ સંકર સંખ્યાઓની અનુબદ્ધ જોડીઓ છે,તેથી $z_2 = \bar{z}_1$ અને $z_4 = \bar{z}_3$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\arg(z_1) + \arg(\bar{z}_1)) - (\arg(z_3) + \arg(\bar{z}_3))$
કારણ કે $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,તેથી:
$= (\arg(z_1) - \arg(z_1)) - (\arg(z_3) - \arg(z_3))$
$= 0 - 0 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ અને $\alpha\beta = 2k^4 - 1$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 66$ આપેલ છે.
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 64 + 4k^4$ $\Rightarrow k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ $\Rightarrow (k^2 - 4)^2 = 0$.
તેથી $k^2 = 4$,એટલે કે $k = \pm 2$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$.
$k = -2$ લેતા,$\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(67 - 32) = -280\sqrt{2}$.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. $0$ થી $9$ સુધીના અંકોનો સરવાળો $45$ છે. $8$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે બે અંકોને એવી રીતે બાકાત રાખવા જોઈએ કે જેથી બાકીના $8$ અંકોનો સરવાળો $9$ નો ગુણક હોય. બાકાત રાખેલા બે અંકોનો સરવાળો $9$ થવો જોઈએ,જેની જોડીઓ $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5)$ છે. જો $0$ બાકાત હોય,તો $8!$ રીતે સંખ્યા બને. જો $0$ બાકાત ન હોય,તો $8! - 7! = 7 \times 7!$ રીતે સંખ્યા બને. કુલ રીતો $= 8! + 4(7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1 + x)^{1000}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1 + x}$ અને $n = 1001$ પદો છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{(1 + x)^{1000} \left[ 1 - \left( \frac{x}{1 + x} \right)^{1001} \right]}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
સાદુરૂપ આપતા,$S = (1 + x)^{1001} - x^{1001}$ મળે છે.
આપણે $(1 + x)^{1001} - x^{1001}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
તેથી,$x^{50}$ નો સહગુણક $^{1001}C_{50} = \frac{1001!}{50!951!}$ થશે.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
પ્રથમ $5$ પદોનો સરવાળો $S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}$ છે.
વ્યસ્તોનો સરવાળો $S'_5 = \frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ છે:
$\frac{\frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}}{\frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}} = 49$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 49$ $\Rightarrow ar^2 = 7$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો $35$ છે:
$a + ar^2 = 35$.
$ar^2 = 7$ કિંમત મૂકતા:
$a + 7 = 35 \Rightarrow a = 28$.

(B) પ્રથમ શ્રેણી $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ છે.
બીજી શ્રેણી $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d_2 = 5$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે.
સામાન્ય પદો દ્વારા બનતી નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $LCM(d_1, d_2) = LCM(4, 5) = 20$ થશે.
આમ,સામાન્ય પદો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે,$S_{20} = \frac{20}{2}[2(11) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10[22 + 19 \times 20] = 10[22 + 380] = 10[402] = 4020$.

(D) આપેલ છે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ {x^2} + (k - 2)x - 2k\} }}{{{x^2} - 4x + 4}} = 5$
અંશ અને છેદના અવયવ પાડતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ x(x - 2) + k(x - 2) \} }}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)(x + k)(x - 2)}}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \times (x + k) = 5$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan h}}{h} = 1$,તેથી:
$1 \times (2 + k) = 5$
$2 + k = 5$
$k = 3$

(B) ધારો કે બિંદુ $A(a, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને $B(0, b)$ એ $y$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $AB$ ને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર દ્વારા:
$h = \frac{2(0) + 1(a)}{1 + 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2(b) + 1(0)}{1 + 2} = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
દાદરની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = l^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(3h)^2 + (\frac{3k}{2})^2 = l^2$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = l^2$
$\frac{h^2}{(l/3)^2} + \frac{k^2}{(2l/3)^2} = 1$
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{(l/3)^2}{(2l/3)^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ અને રેખા $3x + 4y - 9 = 0$ માટે,સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ $h$ છે:
$h = \frac{|3(1) + 4(2) - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ થાય.
$h$ માટેના બંને સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{2}{5}$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{2}{5} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{4}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15}$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો છે:
$C_1: x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda = 0$,કેન્દ્ર $O_1 = (5, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{50 - \lambda}$.
$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$,કેન્દ્ર $O_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = O_1O_2 = 3\sqrt{2}$.
બે સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
$|\sqrt{50 - \lambda} - \sqrt{2}| < 3\sqrt{2} < \sqrt{50 - \lambda} + \sqrt{2}$.
આ ઉકેલતા,આપણને $\lambda > 18$ અને $\lambda < 42$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી અંતરાલ $(18, 42)$ છે.

(C) વક્રોના સમીકરણો $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 8x$ મૂકતા: $x^2 + 8x = 9$.
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
$(x + 9)(x - 1) = 0$.
પરવલય $y^2 = 8x$ માટે $x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 8(1) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
છેદબિંદુઓ $A(1, 2\sqrt{2})$ અને $B(1, -2\sqrt{2})$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $L_1 = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2} \approx 5.66$.
પરવલય $y^2 = 8x$ એ $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L_2 = 4a = 8$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$4\sqrt{2} < 8$,તેથી $L_1 < L_2$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a=3$ અને $b=2$ છે,તેથી $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ થાય.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$ થાય.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ મૂકતા,સમીકરણ $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ મળે.
છેદબિંદુ $(h, k)$ માટે,$3h \cos \theta + 2k \cot \theta = 13$ અને $3h \sin \theta + 2k \tan \theta = 13$ ને સરખાવતા,સાદુરૂપ આપતા $k = -\frac{13}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તરો:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તરોનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\left| \frac{\lambda - 5}{2} \right| = |1| = \left| \frac{\mu - 8}{2} \right|$
આનો અર્થ એ છે કે:
$\frac{\lambda - 5}{2} = \pm 1 \Rightarrow \lambda - 5 = \pm 2 \Rightarrow \lambda = 7 \text{ અથવા } 3$
$\frac{\mu - 8}{2} = \pm 1 \Rightarrow \mu - 8 = \pm 2 \Rightarrow \mu = 10 \text{ અથવા } 6$
મધ્યગા સમાન ખૂણો બનાવે તે માટે દિકગુણોત્તરો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
તેથી,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ માટે:
$10\lambda - 7\mu = 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
તેથી,સાચો સંબંધ $10\lambda - 7\mu = 0$ છે.

(B) ધારો કે $S = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$.
$S$ ના અરિક્ત ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^7 - 1 = 127$ છે.
ધારો કે પસંદ કરેલ ઘટક $x_i$ છે. આપણે એવા અરિક્ત ઉપગણો $A$ ની સંખ્યા શોધવી છે જેમાં $x_i \in A$ હોય.
કોઈપણ ઉપગણ $A$ માટે,$7$ ઘટકોમાંથી દરેકને સમાવી શકાય અથવા બાકાત રાખી શકાય,જે કુલ $2^7$ ઉપગણો આપે છે.
જો આપણે $x_i$ ને ઉપગણમાં નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $6$ ઘટકોને સમાવી શકાય અથવા બાકાત રાખી શકાય,જે $2^6 = 64$ આવા ઉપગણો આપે છે.
$64$ એ શૂન્ય નથી,તેથી આ તમામ $64$ ઉપગણો અરિક્ત છે.
આમ,$x \in A$ હોય તેની સંભાવના $\frac{64}{127}$ છે.

(D) આપેલ છે $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = 1^2$.
$4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ મુકતા,$4 \cos^2 \theta + (1 - \cos^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$3 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$\cos \theta (3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 0$.
$\theta \neq \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cos \theta \neq 0$,તેથી $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$,જેનો અર્થ છે $\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મુકતા,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ મળે છે.
તેથી,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = h$ અને અંતર $BC = x$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$.
$\Delta ABP$ માં,$\tan \alpha = \frac{AB}{PB} = \frac{h}{x + 2}$.
$x = h \cot \beta$ મૂકતા,$\tan \alpha = \frac{h}{h \cot \beta + 2}$.
$\Rightarrow h \cot \beta + 2 = h \cot \alpha$.
$\Rightarrow 2 = h(\cot \alpha - \cot \beta) = h \left( \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} \right)$.
$\Rightarrow h = \frac{2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\beta - \alpha)}$.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-5} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3k + 1, k + 3, -5k + 4)$ છે.
રેખા $L_1$ અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ ના છેદબિંદુ $B$ શોધવા માટે,$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3k + 1) - (k + 3) + (-5k + 4) + 3 = 0$
$6k + 2 - k - 3 - 5k + 4 + 3 = 0$
$6 = 0$,જે અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખા સમતલને સમાંતર છે.
ધારો કે $A(1, 3, 4)$ એ રેખા પરનું એક બિંદુ છે. સમતલમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ $A'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 3 + 4 + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
તેથી,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$,$y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$,$z - 4 = -2 \Rightarrow z = 2$. આમ,$A'(-3, 5, 2)$.
પ્રતિબિંબ રેખા $A'(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને મૂળ રેખાને સમાંતર છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(3, 1, -5)$ છે.
પ્રતિબિંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{-5}$ છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4\sin^2\frac{x}{2} - 4\sin\frac{x}{2}} \; dx$ છે.
આને $I = \int_0^\pi \sqrt{(1 - 2\sin\frac{x}{2})^2} \; dx = \int_0^\pi |1 - 2\sin\frac{x}{2}| \; dx$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - 2\sin\frac{x}{2} = 0$ જ્યારે $\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$,તેથી $x = \frac{\pi}{3}$.
$0 \le x < \frac{\pi}{3}$ માટે,$1 - 2\sin\frac{x}{2} > 0$. $\frac{\pi}{3} < x \le \pi$ માટે,$1 - 2\sin\frac{x}{2} < 0$.
તેથી,$I = \int_0^{\pi/3} (1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx + \int_{\pi/3}^\pi -(1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx$.
$I = [x + 4\cos\frac{x}{2}]_0^{\pi/3} - [x + 4\cos\frac{x}{2}]_{\pi/3}^\pi$.
$I = ((\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}) - (0 + 4\cos 0)) - ((\pi + 4\cos\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}))$.
$I = (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4) - ((\pi + 0) - (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3}))$.
$I = \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4 - \pi + \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4 - \frac{\pi}{3}$.

(C) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને પરવલય $y^2 = 1-x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 1-x$ ને $x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1$.
$x = 0$ માટે,$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. $x = 1$ માટે,$y^2 = 0 \implies y = 0$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{0} 2\sqrt{1-x} \, dx + \int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} \, dx$.
ગણતરી કરતા,કુલ ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(n) = \alpha^n + \beta^n$. નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{vmatrix}$ છે.
આને બે નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix}$.
દરેક નિશ્ચાયક એ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેનું મૂલ્ય $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = [(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)]^2 = (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$.
આને $K(1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ નો અસામાન્ય શ્રેણિક છે જ્યાં $AA' = A'A$ અને $B = A^{-1}A'$.
આપણે $BB'$ શોધવાનું છે.
$B' = (A^{-1}A')' = (A')'(A^{-1})' = A(A')^{-1} = A(A^{-1})'$.
હવે,$BB' = (A^{-1}A')(A(A^{-1})') = A^{-1}(A'A)(A^{-1})'$.
કારણ કે $A'A = AA'$,તેથી $BB' = A^{-1}(AA')(A^{-1})'$.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$BB' = (A^{-1}A)(A')(A^{-1})' = I(A')(A^{-1})' = A'(A^{-1})'$.
કારણ કે $A'(A^{-1})' = (A^{-1}A)' = I' = I$,તેથી આપણને $BB' = I$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ મળે.
તેથી,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ થાય.
આપેલ છે કે $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા $f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^5}$ મળે.
આમ,$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^5}} = 1 + (g(x))^5$ થાય.

(B) ધારો કે $h(x) = f(x) - 2g(x)$.
કારણ કે $f$ અને $g$ એ $[0, 1]$ પર વિકલનીય છે,તેથી $h(x)$ પણ $[0, 1]$ પર વિકલનીય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર $h(x)$ ની કિંમતો શોધો:
$h(0) = f(0) - 2g(0) = 2 - 2(0) = 2$.
$h(1) = f(1) - 2g(1) = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.
અહીં $h(0) = h(1) = 2$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 1)$ એવું મળે કે જેથી $h'(c) = 0$ થાય.
$h'(x) = f'(x) - 2g'(x)$.
$h'(c) = 0$ લેતા,$f'(c) - 2g'(c) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f'(c) = 2g'(c)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha \log |x| + \beta x^2 + x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x = -1$ અને $x = 2$ એ અંતિમ બિંદુઓ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{\alpha}{-1} + 2\beta(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 2\beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$x = 2$ માટે: $\frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + 4\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 8\beta = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - 1 \Rightarrow 6\beta = -3 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{2}$.
$\beta = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\alpha + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \alpha - 1 = 1 \Rightarrow \alpha = 2$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (2, -\frac{1}{2})$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp(t)}{dt} = \frac{1}{2}p(t) - 200 = \frac{p(t) - 400}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 400} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |p(t) - 400| = \frac{t}{2} + C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|p(t) - 400| = e^{C} \cdot e^{t/2}$,અથવા $p(t) - 400 = Ke^{t/2}$ જ્યાં $K = \pm e^C$.
પ્રારંભિક શરત $p(0) = 100$ નો ઉપયોગ કરતા: $100 - 400 = Ke^0 \implies K = -300$.
$K$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $p(t) - 400 = -300e^{t/2}$.
તેથી,$p(t) = 400 - 300e^{t/2}$.

(D) ધારો કે $I = \int \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( {e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) {e^{x + \frac{1}{x}}}} \right) dx$.
ધારો કે $f(x) = x e^{x + \frac{1}{x}}$.
તો,ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$f'(x) = 1 \cdot e^{x + \frac{1}{x}} + x \cdot e^{x + \frac{1}{x}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$.
$f'(x) = e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) e^{x + \frac{1}{x}}$.
આ સંકલ્ય સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$\int f'(x) dx = f(x) + C$.
$I = x e^{x + \frac{1}{x}} + C$.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ થાય.
આપેલ પદ: $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]$.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તેથી $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ થાય.
સદિશ નિત્યસમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$.
તેથી,$[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
$= ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] (\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}))$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$.
કારણ કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$ હોવાથી,આપણને મળે:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \cdot [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$.
આને $\lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 1$ મળે છે.

(D) સંબંધ $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $P$ સ્વવાચક હોય,તો તમામ $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a,a) \in P$ હોવું જોઈએ.
$b=a$ મૂકતા,આપણને $\sec^2 a - \tan^2 a = 1$ મળે છે,જે પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 a - \tan^2 a = 1$ છે. આમ,$1=1$ એ તમામ $a$ માટે સત્ય છે. તેથી,$P$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $P$ સંમિત હોય,તો જો $(a,b) \in P$ હોય,તો $(b,a) \in P$ હોવું જોઈએ.
જો $(a,b) \in P$,તો $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$.
આપણે તપાસીએ કે $\sec^2 b - \tan^2 a = 1$ થાય છે કે નહીં.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 b - \tan^2 a = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 a - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 a = 2 - (\sec^2 a - \tan^2 b) = 2 - 1 = 1$.
આમ,$(b,a) \in P$. તેથી,$P$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $P$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a,b) \in P$ અને $(b,c) \in P$ હોય,તો $(a,c) \in P$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ અને $\sec^2 b - \tan^2 c = 1$.
આપણે તપાસવું છે કે $\sec^2 a - \tan^2 c = 1$ થાય છે કે નહીં.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$\sec^2 a = 1 + \tan^2 b$. બીજામાંથી,$\tan^2 c = \sec^2 b - 1$.
તેથી $\sec^2 a - \tan^2 c = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 b - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 b = 2 - 1 = 1$.
આમ,$(a,c) \in P$. તેથી,$P$ પરંપરિત છે.
$P$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(a - 1)x - y - z = 0$
$-x + (b - 1)y - z = 0$
$-x - y + (c - 1)z = 0$
શૂન્યતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ -1 & b - 1 & -1 \\ -1 & -1 & c - 1 \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_3$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ 0 & b & -c \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(a - 1)(bc - 0) + 1(0 - ac) - 1(0 + ab) = 0$
$(a - 1)(bc) - ac - ab = 0$
$abc - bc - ac - ab = 0$
$abc = ab + bc + ca$
આમ,$ab + bc + ca = abc$.

(A) આપેલ છે કે $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $B^2 = 0$ છે.
$(I + B)^{50}$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(I + B)^{50} = {^{50}C_0}I^{50} + {^{50}C_1}I^{49}B + {^{50}C_2}I^{48}B^2 + {^{50}C_3}I^{47}B^3 + \dots + {^{50}C_{50}}B^{50}$.
કારણ કે $B^2 = 0$,તેથી તમામ $n \ge 2$ માટે $B^n = 0$ થશે.
તેથી,વિસ્તરણનું સાદું રૂપ આ મુજબ થશે:
$(I + B)^{50} = I + 50B + 0 + 0 + \dots + 0 = I + 50B$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\det[(I + B)^{50} - 50B] = \det[I + 50B - 50B] = \det[I]$.
અહીં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક હોવાથી,$\det[I] = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to 0} g(x))$.
પ્રથમ,અંદરના વિધેયનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$ મળે.
$\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{\left( \frac{3x}{2} \right)^2} = \frac{9}{2} \cdot (1)^2 = \frac{9}{2}$.
$f(x)$ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f \left( \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \frac{9}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $f \left( \frac{9}{2} \right) = \frac{2}{9}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{2}{9}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$y = e^{nx}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = ne^{nx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = n^2 e^{nx} \quad \dots(1)$.
હવે,$y = e^{nx} \implies nx = \log_e y \implies x = \frac{1}{n} \log_e y$.
$x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y}$.
ફરીથી $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{n(e^{nx})^2} = -\frac{1}{n e^{2nx}} \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right) = (n^2 e^{nx}) \left( -\frac{1}{n e^{2nx}} \right) = -n e^{nx - 2nx} = -n e^{-nx}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,જો $f(x)$ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર સતત હોય,$(-1, 1)$ પર વિકલનીય હોય અને $f(-1) = f(1)$ હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (-1, 1)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
પ્રથમ,$f(-1) = f(1)$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$
$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$
$f(1) = f(-1)$ લેતા:
$2 + a + b = -2 + a - b$
$2b = -4 \implies b = -2$
હવે,$c = \frac{1}{2}$ આગળ $f'(c) = 0$ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$
$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$
$\frac{3}{2} + a + b = 0$
$b = -2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$
$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$
છેલ્લે,$2a + b$ ની કિંમત મેળવતા:
$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

(B) આપેલ છે $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x - 1$.
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
આ સમીકરણ $3^x + 4^x = 5^x$ ને ઉકેલવા જેવું છે.
બંને બાજુ $5^x$ વડે ભાગતા: $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
ધારો કે $g(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.
કારણ કે $(\frac{3}{5})^x$ અને $(\frac{4}{5})^x$ બંને $x \in R$ માટે ઘટતા વિધેયો છે,તેથી તેમનો સરવાળો $g(x)$ પણ એક ઘટતું વિધેય છે.
એક ઘટતું વિધેય આડી રેખા $y = 1$ ને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 2$ માટે,આપણને મળે $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
આમ,$x = 2$ એ અનન્ય ઉકેલ છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int {\frac{{({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
કારણ કે ${{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)^2 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x = 1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$I = \int {({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)} dx$
વધુમાં,${{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x)({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x) = -\cos 2x \cdot 1 = -\cos 2x$
આમ,$I = \int {-\cos 2x} dx = -\frac{{\sin 2x}}{2} + c$

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.
$2x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$2 dx = \sec^2 \theta d\theta$,તેથી $dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $\theta = \pi/4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + \tan \theta)}{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ હોવાથી,પદ સાદું રૂપ પામશે:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan \theta) d\theta$ --- $(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan(\pi/4 - \theta)) d\theta$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ સૂત્ર વાપરતા:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + \tan \theta + 1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right) d\theta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + \tan \theta}\right) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + \tan \theta)) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [\theta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan \theta) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$
$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

(B) પ્રદેશ $A$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $y = 2x - 4$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{4}$ ને રેખાના સમીકરણ $x = \frac{y+4}{2}$ માં મૂકતા:
$\frac{y^2}{4} = \frac{y+4}{2} \implies y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$,તેથી $y = 4$ અને $y = -2$.
$y = 4$ માટે,$x = 4$. $y = -2$ માટે,$x = 1$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$.
$= (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12})$.
$= (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર $x-$અક્ષને સ્પર્શતા અને $(0, a)$ કેન્દ્ર ધરાવતા તમામ વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay = 0$ ... $(1)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a\frac{dy}{dx} = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a\frac{dy}{dx}$
$a = \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2y \left( \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2y(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2xy - 2y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = 2xy$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = g(x)y$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$g(x)y = 2xy$
$g(x) = 2x$

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} = \lambda$ .......$(1)$
અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \mu$ ....$(2)$
રેખા $(1)$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda+1, \lambda+2, 2\lambda+3)$ છે અને રેખા $(2)$ પરનું બિંદુ $Q(\mu+3, 2\mu+1, 3\mu+2)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$3\lambda+1 = \mu+3 \implies 3\lambda - \mu = 2$
$\lambda+2 = 2\mu+1 \implies \lambda - 2\mu = -1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda=1$ અને $\mu=1$ મળે છે.
$\lambda=1$ ને $P$ માં મૂકતા,છેદબિંદુ $R(4, 3, 5)$ મળે છે.
બિંદુ $R(4, 3, 5)$ માંથી પસાર થતું અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સૌથી વધુ અંતરે આવેલું સમતલ એ છે કે જેના માટે સદિશ $\vec{OR}$ એ અભિલંબ સદિશ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OR} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે,જ્યાં $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ અને $(x_0, y_0, z_0) = (4, 3, 5)$.
$4(x-4) + 3(y-3) + 5(z-5) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 + 5z - 25 = 0$
$4x + 3y + 5z = 50$.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $l = \cos \theta$ અને $m = \cos \theta$.
ધારો કે $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\phi$ છે. તેથી $n = \cos \phi$.
દિકકોસાઇન માટેની શરત $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$.
આમ,$\cos^2 \phi = 1 - 2 \cos^2 \theta = - \cos 2 \theta$.
કારણ કે $\cos^2 \phi \ge 0$,તેથી $-\cos 2 \theta \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2 \theta \le 0$.
આપેલ છે કે $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 2 \theta \le \pi$.
અંતરાલ $(0, \pi]$ માં $\cos 2 \theta \le 0$ માટે,$\frac{\pi}{2} \le 2 \theta \le \pi$ થાય.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$.
ગુણધર્મ $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 3$ મૂકતા:
$4(2)^2 + (3)^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
હવે,$|2\vec{a} + \vec{b}|$ શોધવા માટે:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
કિંમતો મૂકતા:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4(4) + 9 + 4(0) = 16 + 9 = 25$.
તેથી,$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$. તેથી,$AB = C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = B C^{-1}$.
પ્રથમ,$C^{-1}$ શોધો. $C$ એ પરમ્યુટેશન મેટ્રિક્સ હોવાથી,$C^{-1} = C^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (1)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (1)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (0)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (0)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(1)(0)+(1)(1) & (0)(1)+(1)(0)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(1)+(1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $p_i(x) = a_i x^2 + b_i x + c_i$ જ્યાં $i = 1, 2, 3$. તો $p'_i(x) = 2a_i x + b_i$ અને $p''_i(x) = 2a_i$.
શ્રેણિક $A(x)$ આ મુજબ છે:
$A(x) = \begin{bmatrix} a_1 x^2 + b_1 x + c_1 & 2a_1 x + b_1 & 2a_1 \\ a_2 x^2 + b_2 x + c_2 & 2a_2 x + b_2 & 2a_2 \\ a_3 x^2 + b_3 x + c_3 & 2a_3 x + b_3 & 2a_3 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(B(x)) = \det([A(x)]^T A(x)) = \det([A(x)]^T) \det(A(x)) = (\det(A(x)))^2$.
$A(x)$ ના સ્તંભોનું અવલોકન કરો. ધારો કે $C_1, C_2, C_3$ એ $A(x)$ ના સ્તંભો છે.
$C_1 = x^2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$.
$C_2 = 2x \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$.
$C_3 = 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$.
સ્તંભો પર પ્રક્રિયા કરતા,નિશ્ચાયક $\det(A(x))$ એ અચળ મળે છે. તેથી,$\det(B(x)) = (\det(A(x)))^2$ પણ અચળ છે. આમ,તે $x$ પર આધાર રાખતું નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x|x|$ અને $g(x) = \sin x$.
$h(x) = g(f(x)) = \sin(x|x|)$.
કારણ કે $x|x| = x^2$ જ્યારે $x \ge 0$ અને $-x^2$ જ્યારે $x < 0$ હોય,તેથી $h(x) = \begin{cases} \sin(x^2) & x \ge 0 \\ -\sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
હવે,$h'(x) = \begin{cases} 2x \cos(x^2) & x \ge 0 \\ -2x \cos(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ,$LHL = \lim_{x \to 0^-} (-2x \cos(x^2)) = 0$ અને $RHL = \lim_{x \to 0^+} (2x \cos(x^2)) = 0$. $h'(0) = 0$ હોવાથી,$h'(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
હવે,$h''(x)$ શોધીને $x = 0$ આગળ $h'(x)$ ની વિકલનીયતા તપાસીએ:
$h''(x) = \begin{cases} 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) & x > 0 \\ -2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$LHD = \lim_{x \to 0^-} (-2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2)) = -2$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} (2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2)) = 2$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$h'(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(C) આપેલ છે,$y = 3 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{3}{2} \cdot 2 \cos 2\theta = 3 \cos 2\theta$.
આપેલ છે $x = e^{\theta} \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \sin \theta + e^{\theta} \cos \theta = e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos 2\theta}{e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)}$.
સ્પર્શક $x-$અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3 \cos 2\theta = 0$.
$\cos 2\theta = 0 \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ (કારણ કે $0 \leq \theta \leq \pi$,$0 \leq 2\theta \leq 2\pi$).
$2\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $2\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ પર છેદ $e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$ તપાસતા: $\sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
કારણ કે છેદ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ પર શૂન્ય થાય છે,વિકલન અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $OA = x \ km$,$OB = y \ km$,અને $AB = R \ km$.
$\triangle AOB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(120^o)$
કારણ કે $\cos(120^o) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy(-\frac{1}{2}) = x^2 + y^2 + xy \quad \dots(1)$
આપેલ સમયે,$x = 8 \ km$ અને $y = 6 \ km$:
$R^2 = 8^2 + 6^2 + (8 \times 6) = 64 + 36 + 48 = 148$
$R = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \ km$.
સમીકરણ $(1)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2R \frac{dR}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} + (x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt})$
અહીં $\frac{dx}{dt} = 20 \ km/hr$ અને $\frac{dy}{dt} = 30 \ km/hr$ આપેલ છે:
$2(2\sqrt{37}) \frac{dR}{dt} = 2(8)(20) + 2(6)(30) + (8 \times 30 + 6 \times 20)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 320 + 360 + (240 + 120)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 680 + 360 = 1040$
$\frac{dR}{dt} = \frac{1040}{4\sqrt{37}} = \frac{260}{\sqrt{37}} \ km/hr$.

(C) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3}$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા,નળાકારની ત્રિજ્યા અને નળાકારની અડધી ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$R^2 = r^2 + (h/2)^2$
$(\sqrt{3})^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$
$3 = r^2 + \frac{h^2}{4} \Rightarrow r^2 = 3 - \frac{h^2}{4}$
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (3 - \frac{h^2}{4})h = 3\pi h - \frac{\pi h^3}{4}$ છે.
ઘનફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dh} = 3\pi - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$
$3\pi = \frac{3\pi h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
$h = 2$ ને ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \pi (3 - \frac{2^2}{4})(2) = \pi (3 - 1)(2) = 4\pi$.

(A) ધારો કે $I = \int x \cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) dx$.
$x > 0$ હોવાથી,આપણે $x = \tan \theta$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી $\cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$.
આમ,$I = \int x (2\tan^{-1} x) dx = 2 \int x \tan^{-1} x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \tan^{-1} x$ અને $dv = x dx$ લેતા,$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$ મળે.
$I = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx \right] + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - x + \tan^{-1} x + c$.
$I = (x^2 + 1) \tan^{-1} x - x + c$.

(D) આપેલ છે કે $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$.
ધારો કે $\log x = t$,તેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t \, dt$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = 1$.
આમ,$P_n = \int\limits_0^1 t^n e^t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = t^n$ અને $dv = e^t \, dt$,તેથી $du = nt^{n-1} \, dt$ અને $v = e^t$.
$P_n = [t^n e^t]_0^1 - n \int\limits_0^1 t^{n-1} e^t \, dt = e - n P_{n-1}$.
તેથી,$P_{10} = e - 10 P_9$.
વળી,$P_9 = e - 9 P_8$.
$P_{10}$ ના સમીકરણમાં $P_9$ ની કિંમત મૂકતા:
$P_{10} = e - 10(e - 9 P_8) = e - 10e + 90 P_8$.
$P_{10} = -9e + 90 P_8$.
તેથી,$P_{10} - 90 P_8 = -9e$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$.
આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y \ln |cx| = x$ ને $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$.
બંને બાજુ $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$.
આપણા અગાઉના સમીકરણ $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ પરથી,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$.
આ કિંમત વિકલિતના પરિણામમાં મૂકતા: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,જે સૂચવે છે કે $\phi(1/v) = -v^2$.
આપણે $\phi(2)$ શોધવા માંગીએ છીએ. ધારો કે $\frac{1}{v} = 2$,તેથી $v = \frac{1}{2}$.
તેથી $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
સમતલ રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ ને સમાવે છે,તેથી તે $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$a(1) + b(2) + c(3) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0$ $(i)$.
સમતલ રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1, 4)$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$a(1) + b(1) + c(4) = 0 \implies a + b + 4c = 0$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: $\frac{a}{8-3} = \frac{b}{3-4} = \frac{c}{1-2} = k$.
તેથી,$a = 5k, b = -k, c = -k$.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$.
$5x - 5 - y + 2 - z + 3 = 0 \implies 5x - y - z = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,$(1, 0, 5)$ માટે: $5(1) - 0 - 5 = 0$.
આમ,સમતલ $(1, 0, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $\vec{c} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = \vec{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c}$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{c} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{c}|^2 = 60$,તેથી $k^2(1^2 + 2^2 + 5^2) = 60$.
$k^2(1 + 4 + 25) = 60 \Rightarrow 30k^2 = 60 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm\sqrt{2}$.
$k = \sqrt{2}$ લેતા,આપણને $\vec{c} = \sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}$ મળે.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{c} \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ ની ગણતરી કરીએ:
$= (\sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$= \sqrt{2}(-7) + 2\sqrt{2}(2) + 5\sqrt{2}(3)$
$= -7\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જેનું સંભાવના વિધેય $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X = 2) = P(X = 3)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $^{n}C_{2} p^{2} (1-p)^{n-2} = ^{n}C_{3} p^{3} (1-p)^{n-3}$.
બંને બાજુ $p^{2} (1-p)^{n-3}$ વડે ભાગતા: $^{n}C_{2} (1-p) = ^{n}C_{3} p$.
ક્રમચય-સંચયના સૂત્ર મુજબ: $\frac{n!}{2!(n-2)!} (1-p) = \frac{n!}{3!(n-3)!} p$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{2} (1-p) = \frac{1}{3(n-2)} (n-2) p$ એટલે કે $\frac{1-p}{2} = \frac{(n-2)p}{6}$.
તેથી,$3(1-p) = (n-2)p$.
$3 - 3p = np - 2p$.
$np = 3 - p$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ હોવાથી,$E(X) = 3 - p$ મળે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 - (a - \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 - (b - \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 - (c - \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ 4a\lambda & 4b\lambda & 4c\lambda \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2$ માંથી $4\lambda$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \to R_3 - R_1 + 2\lambda R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$(a - \lambda)^2 = a^2 + \lambda^2 - 2a\lambda$ હોવાથી,$R_3 - R_1 + 2\lambda R_2 = \lambda^2$ મળે છે:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ \lambda^2 & \lambda^2 & \lambda^2 \end{array} \right|$.
$R_3$ માંથી $\lambda^2$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 4\lambda^3 \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
આપેલ સમીકરણ $k\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$ સાથે સરખાવતા,$k\lambda = 4\lambda^3$ મળે,તેથી $k = 4\lambda^2$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(y) + 2(x) + x(1) \\ 3(y) - 1(x) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y + 3x \\ 3y - x + 2 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા:
$y + 3x = 6$ (સમીકરણ $1$)
$3y - x + 2 = 8 \Rightarrow 3y - x = 6$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$y = 6 - 3x$. આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(6 - 3x) - x = 6$
$18 - 9x - x = 6$
$18 - 10x = 6$
$10x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$x = \frac{6}{5}$ ની કિંમત $y = 6 - 3x$ માં મૂકતા:
$y = 6 - 3(\frac{6}{5}) = 6 - \frac{18}{5} = \frac{30 - 18}{5} = \frac{12}{5}$.
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y = 2x$ (કારણ કે $\frac{12}{5} = 2 \times \frac{6}{5}$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $x=0$ આગળ $f(x)$ માટે:
$LHL = \lim_{h \to 0^-} (-h) \sin(-1/h) = \lim_{h \to 0^-} h \sin(1/h) = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0^+} h \sin(1/h) = 0$.
$f(0) = 0$ હોવાથી,$LHL = RHL = f(0)$,તેથી $f$ એ $x=0$ આગળ સતત છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
$g(x) = x f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ માટે.
$x=0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ મેળવીએ છીએ.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે શાંત છે,તેથી $g$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે. વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 - x + 5$ જ્યાં $x > \frac{1}{2}$.
$g'(7)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રતિવિધેયના વિકલનનું સૂત્ર વાપરીશું: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,જ્યાં $y = f(x)$.
પ્રથમ,$x$ શોધો જેથી $f(x) = 7$ થાય:
$x^2 - x + 5 = 7 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
$x > \frac{1}{2}$ હોવાથી,$x = 2$ મળે.
હવે,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 5) = 2x - 1$.
$x = 2$ આગળ,$f'(2) = 2(2) - 1 = 3$.
તેથી,$g'(7) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $f'(x) > 0$,તેથી $f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
આપેલ છે કે $g'(x) < 0$,તેથી $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$g(x)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,કોઈપણ $x_1 < x_2$ માટે,$g(x_1) > g(x_2)$ થાય.
ખાસ કરીને,$x < x+1$ માટે,$g(x) > g(x+1)$ થાય.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,અસમતા $g(x) > g(x+1)$ ની બંને બાજુ $f$ લાગુ પાડતા અસમતાનું ચિહ્ન બદલાતું નથી.
તેથી,$f(g(x)) > f(g(x+1))$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^3 x + \cos^3 x)^2} dx$
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x}}{(\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\cos^3 x})^2} dx$
$I = \int \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1 + \tan^3 x)^2} dx$
ધારો કે $1 + \tan^3 x = t$. તેથી $3 \tan^2 x \sec^2 x dx = dt$,એટલે કે $\tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-2} dt$
$I = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{3t} + c$
$t = 1 + \tan^3 x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{3(1 + \tan^3 x)} + c$

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} [\cos(\pi - x)] \, dx = \int_{0}^{\pi} [-\cos x] \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} ([\cos x] + [-\cos x]) \, dx$
કારણ કે $[x] + [-x] = -1$ જો $x \notin \mathbb{Z}$ અને $0$ જો $x \in \mathbb{Z}$,અને $[0, \pi]$ અંતરાલમાં $\cos x \in \mathbb{Z}$ હોય તેવા બિંદુઓનો ગણ સીમિત છે (માપ શૂન્ય છે),તેથી:
$2I = \int_{0}^{\pi} (-1) \, dx$
$2I = -[x]_{0}^{\pi} = -\pi$
$I = -\frac{\pi}{2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$
સંકલનને અલગ કરતા: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \int_{-\pi}^{t} x dx = \pi^2 - t^2$
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-\pi}^{t} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{t} = \frac{t^2}{2} - \frac{(-\pi)^2}{2} = \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2}$
આ કિંમત મૂકતા: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} = \pi^2 - t^2$
પદોને ગોઠવતા: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx = \pi^2 - t^2 - \frac{t^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} = \frac{3}{2}\pi^2 - \frac{3}{2}t^2 = \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2)$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz નિયમ મુજબ): $\frac{d}{dt} \left[ \int_{-\pi}^{t} f(x) dx \right] = \frac{d}{dt} \left[ \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2) \right]$
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ: $f(t) = \frac{3}{2}(0 - 2t) = -3t$
તેથી,$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -3 \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi$

(D) આપેલ છે,$\sin 2x \left( \frac{dy}{dx} - \sqrt{\tan x} \right) - y = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin 2x} = \sqrt{\tan x}$
$\frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x$ હોવાથી,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} - y \csc 2x = \sqrt{\tan x}$ ....$(1)$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\csc 2x$ અને $Q = \sqrt{\tan x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx} = e^{\int -\csc 2x dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|\tan x|} = e^{\ln(\tan x)^{-1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = \sqrt{\cot x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \sqrt{\cot x} = \int \sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} dx + c$.
$\sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} = 1$ હોવાથી,આપણને મળે: $y \sqrt{\cot x} = \int 1 dx + c$.
તેથી,$y \sqrt{\cot x} = x + c$.

(B) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $x - ay = b$ અને $z - cy = d$ છે.
છેદતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ હોય છે.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -a, 0)$ અને $\vec{n_2} = (0, -c, 1)$ છે.
દિકગુણોત્તર સદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -a & 0 \\ 0 & -c & 1 \end{vmatrix} = (-a, -1, -c)$ દ્વારા મળે છે.
જે દિકગુણોત્તર $(a, 1, c)$ ને સમતુલ્ય છે.
હવે,રેખા પરનું એક બિંદુ શોધીએ. જો $y = 1$ લઈએ,તો $x = a + b$ અને $z = c + d$ મળે.
આમ,બિંદુ $(a + b, 1, c + d)$ છે.
તેથી,રેખાનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - (a + b)}{a} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - (c + d)}{c}$ છે.

(C) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $4x - 2y - 4z + 1 = 0$ અને $4x - 2y - 4z + d = 0$ છે.
$x, y$ અને $z$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,આ સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 4, B = -2, C = -4, D_1 = 1,$ અને $D_2 = d$ છે.
અંતર $7$ આપેલું છે.
તેથી,$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{16 + 4 + 16}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{36}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{6}$.
$|d - 1| = 42$.
આનો અર્થ એ છે કે $d - 1 = 42$ અથવા $d - 1 = -42$.
જો $d - 1 = 42$ હોય,તો $d = 43$.
જો $d - 1 = -42$ હોય,તો $d = -41$.
આમ,$d = 43$ અથવા $d = -41$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશો માટે,$|\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}|^2 \geq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$ મળે છે.
માન મૂકતા,$1 + 1 + 1 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $3 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$.
આમ,$2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$.
હવે,પદાવલિ $S = |\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ ધ્યાનમાં લો.
$S = (\hat{x} \cdot \hat{x} + \hat{y} \cdot \hat{y} + 2\hat{x} \cdot \hat{y}) + (\hat{y} \cdot \hat{y} + \hat{z} \cdot \hat{z} + 2\hat{y} \cdot \hat{z}) + (\hat{z} \cdot \hat{z} + \hat{x} \cdot \hat{x} + 2\hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(1 + 1 + 1) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) = 6 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
કારણ કે $2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $6 - 3 = 3$ છે.

(D) વિધાન $II$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને $-\frac{3\pi}{4} \le \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $0 \le (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ મળે છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
વિધાન $I$ માટે: ધારો કે $u = \sin^{-1} x$. તો $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. સમીકરણ $u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = a\pi^3$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = a\pi^3$ મળે છે.
$\frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8} - a\pi^3 = 0$.
$\frac{3\pi}{2}$ વડે ભાગતા,$u^2 - \frac{\pi}{2}u + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ મળે છે.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$.
$(u - \frac{\pi}{4})^2 = \frac{2a\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{48}(32a - 1)$.
કારણ કે $0 \le (u - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$,તેથી $0 \le \frac{\pi^2}{48}(32a - 1) \le \frac{9\pi^2}{16}$.
$0 \le 32a - 1 \le 27$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{32} \le a \le \frac{7}{8}$.
સમીકરણનો ઉકેલ માત્ર $a \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8}]$ માટે જ મળે છે,તેથી વિધાન કે તે તમામ $a \ge \frac{1}{32}$ માટે ઉકેલ ધરાવે છે તે ખોટું છે.