વિધાન I: સમીકરણ (sin^{-1} x)^3 + (cos^{-1} x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વિધાન $II$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને $-\frac{3\pi}{4

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

Vedclass · Answer

(D) વિધાન $II$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને $-\frac{3\pi}{4} \le \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ મળે છે.અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $0 \le (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ મળે છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.વિધાન $I$ માટે: ધારો કે $u = \sin^{-1} x$. તો $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. સમીકરણ $u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = a\pi^3$ બને છે.આનું વિસ્તરણ કરતા,$u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = a\pi^3$ મળે છે.$\frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8} - a\pi^3 = 0$.$\frac{3\pi}{2}$ વડે ભાગતા,$u^2 - \frac{\pi}{2}u + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ મળે છે.પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$.$(u - \frac{\pi}{4})^2 = \frac{2a\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{48}(32a - 1)$.કારણ કે $0 \le (u - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$,તેથી $0 \le \frac{\pi^2}{48}(32a - 1) \le \frac{9\pi^2}{16}$.$0 \le 32a - 1 \le 27$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{32} \le a \le \frac{7}{8}$.સમીકરણનો ઉકેલ માત્ર $a \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8}]$ માટે જ મળે છે,તેથી વિધાન કે તે તમામ $a \ge \frac{1}{32}$ માટે ઉકેલ ધરાવે છે તે ખોટું છે.

Similar Questions

જો $x = {\sin ^{ - 1}}(\sin 10)$ અને $y = {\cos ^{ - 1}}(\cos 10)$ હોય,તો $y - x$ ની કિંમત શોધો.

$\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{3}{5} - \tan ^{-1} \frac{8}{19} = $

$\cos \left[ {{\tan }^{ - 1}}\frac{1}{3} + {{\tan }^{ - 1}}\frac{1}{2} \right] = $

$\tan \left( \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} \right)$ નું મૂલ્ય શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module