{left( {1 + x} right)^{1000}} + x{left( {1 + | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Let given expansion be

$\mathrm{S}=(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}$

$(1+x)^{998}+\ldots+\ldots+x^{1006}$

Put $1+x=t$

$\mathrm{S}=t^{1000}+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{\left( {1001} \right)!}}{{\left( {50} \right)!\left( {951} \right)!}}$

Vedclass · Answer

Let given expansion be

$\mathrm{S}=(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}$

$(1+x)^{998}+\ldots+\ldots+x^{1006}$

Put $1+x=t$

$\mathrm{S}=t^{1000}+x t^{999}+x^{2}(t)^{998}+\ldots+x^{1000}$

This is a $G.P$ with common ratio $\frac{x}{t}$

$S=\frac{t^{1000}\left[1-\left(\frac{x}{t}\right)^{1001}\right]}{1-\frac{x}{t}}$

${ = \frac{{{{(1 + x)}^{1000}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{x}{{1 + x}}} \right)}^{1001}}} \right]}}{{1 - \frac{x}{{1 + x}}}}}$

$ = \frac{{{{(1 + x)}^{1001}}\left[ {{{(1 + x)}^{1001}} - {x^{1001}}} \right]}}{{{{(1 + x)}^{1001}}}}$

$=\left[(1+x)^{100 t}-x^{1001}\right]$

Now coeff of $x^{50}$ in above expansion is equal to coeff of $x^{50}$ in $(1+x)^{1001}$ which is 

$^{1001} C_{50}=\frac{-(1001) !}{50 !(951) !}$

${\left( {1 + x} \right)^{1000}} + x{\left( {1 + x} \right)^{999}} + {x^2}{\left( {1 + x} \right)^{998}} + ..... + {x^{1000}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક મેળવો.

Similar Questions

$(x+a)^n$ ના વિસ્તરણમાં બીજું, ત્રીજું અને ચોથું પદ અનુક્રમે $240, 720$ અને $1080$ છે. $x, a$ અને $n$ શોધો.

જો $K$ એ $( 1 + x + ax^2) ^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક હોય તો $'a'$ ની કઈ કિમત માટે $K$ ન્યૂનતમ થાય?

${\left( {\frac{{1 - {t^6}}}{{1 - t}}} \right)^3}$ ના વિસ્તરણમાં $t^4$ નો સહગુણક મેળવો.

જો ${\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{2n}},$ ના વિસ્તરણમાં ${x^m}$ નો સહગુણક મેળવો.

જો બહુપદી ${\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1} - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} $$+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1} + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}$ ની ઘાત $n$ અને $x^{12}$ નો સહગુણક $m$ હોય તો $(n, m)$ = .................