JEE Main 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ પદાવલિ $\sim (p \vee \sim q) \vee \sim (p \vee q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$.
તેથી,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$ અને $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\sim p$ સામાન્ય લઈએ છીએ:
$\sim p \wedge (q \vee \sim q)$.
કારણ કે $(q \vee \sim q)$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x : |x| < 3, x \in Z\}$ છે.
$|x| < 3$ અને $x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$A$ ના ઘટકો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ $R = \{(x, y) : y = |x|, x \neq -1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$A$ ના દરેક $x$ માટે જ્યાં $x \neq -1$,આપણે અનુરૂપ $y = |x|$ શોધીએ:
જો $x = -2$,તો $y = |-2| = 2$. તેથી,$(-2, 2) \in R$.
જો $x = 0$,તો $y = |0| = 0$. તેથી,$(0, 0) \in R$.
જો $x = 1$,તો $y = |1| = 1$. તેથી,$(1, 1) \in R$.
જો $x = 2$,તો $y = |2| = 2$. તેથી,$(2, 2) \in R$.
આમ,$R = \{(-2, 2), (0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = 4$ છે.
$R$ ના ઘાતગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2^{n(R)} = 2^4 = 16$ થાય.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $\frac{z - i}{z + i}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{z - i}{z + i} = \frac{x^2 + y^2 - 1 - 2xi}{x^2 + (y + 1)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય લેતા:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$.
આથી $|z|^2 = 1$,એટલે કે $z \bar{z} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
તેથી $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2x$.
આમ,$z + \frac{1}{z}$ એ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + |2x - 3| - 4 = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $x \ge \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = 2x - 3$.
$x^2 + 2x - 3 - 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 7 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
$x \ge \frac{3}{2}$ હોવાથી,$x_1 = 2\sqrt{2} - 1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = -2x + 3$.
$x^2 - 2x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$x < \frac{3}{2}$ હોવાથી,$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1 + x_2 = (2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

(B) કુલ $8$ અંકો છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ ($4$ સ્થાનો) છે અને બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ ($4$ સ્થાનો) છે.
આપેલા અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે. એકી અંકો $1, 1, 3$ (કુલ $3$ અંકો) છે અને બેકી અંકો $2, 2, 2, 4, 4$ (કુલ $5$ અંકો) છે.
શરત મુજબ એકી અંકો એકી સ્થાનો પર ન હોવા જોઈએ,એટલે કે $3$ એકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે.
$3$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
બાકીના $5$ અંકોને બાકીના $5$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ $12 \times 10 = 120$ થાય.

(A) ધારો કે $(r+1)$ મું અને $(r+2)$ મું પદ સમાન સહગુણક ધરાવે છે.
${\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55} = 2^{55}\left(1+\frac{x}{6}\right)^{55}}$
$(r+1)$ મું પદ $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \left(\frac{x}{6}\right)^r$ છે. $x^r$ નો સહગુણક $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r}$ છે.
$(r+2)$ મું પદ $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \left(\frac{x}{6}\right)^{r+1}$ છે. $x^{r+1}$ નો સહગુણક $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા:
${}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r} = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$
${}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6}$
$6 \cdot {}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1}$
$6 \cdot \frac{55!}{r!(55-r)!} = \frac{55!}{(r+1)!(54-r)!}$
$\frac{6}{55-r} = \frac{1}{r+1}$
$6(r+1) = 55-r$
$7r = 49$
$r = 7$
આમ,પદો $(r+1) = 8$ મું અને $(r+2) = 9$ મું છે.

(A) $G = \sqrt{ab}$
$M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a + b}{2ab}$
આપેલ છે કે $\frac{1}{M} : G = 4 : 5$,તેથી $\frac{2ab}{(a + b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = 9$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 3$
$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}$
$\Rightarrow 4\sqrt{b} = 2\sqrt{a}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = 2$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = 4$
તેથી $a:b$ એ $1:4$ અથવા $4:1$ હોઈ શકે,જેમાંથી વિકલ્પ $1:4$ સાચો છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $1 - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{3^k} < \frac{1}{100}$ છે.
આને $1 - 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = \frac{1}{3}$,$r = \frac{1}{3}$ અને $n-1$ પદો છે.
સરવાળો $S_{n-1} = \frac{a(1-r^{n-1})}{1-r} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$.
કિંમત મૂકતા: $1 - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$.
$1 - 1 + \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100} \Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
$n=5$ માટે,$3^4 = 81$ (જે $100$ થી મોટું નથી).
$n=6$ માટે,$3^5 = 243$ (જે $100$ થી મોટું છે).
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $1 + x^4 + x^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i (1 + x)^i.$
ધારો કે $y = 1 + x$,તેથી $x = y - 1$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$1 + (y - 1)^4 + (y - 1)^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i.$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y - 1)^5 = y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1$
આ પદોનો $1$ સાથે સરવાળો કરતા:
$1 + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1) = y^5 - 4y^4 + 6y^3 - 4y^2 + y + 1.$
તેની સરખામણી $\sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i = a_5 y^5 + a_4 y^4 + a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a_5 = 1, a_4 = -4, a_3 = 6, a_2 = -4, a_1 = 1, a_0 = 1.$
આમ,$a_2 = -4$.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $B(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $C(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $A(4, 3)$ એ $x$-અક્ષની નજીક હોવાથી અને રેખાખંડ $BC$ ને ત્રિભાજિત કરતું હોવાથી,તે $BC$ ને $C$ થી $B$ તરફ $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$
$A(4, 3)$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2a}{3} = 4$ $\Rightarrow 2a = 12$ $\Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \Rightarrow b = 9$
આમ,અંતઃખંડો $a = 6$ અને $b = 9$ છે.
રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{6} + \frac{y}{9} = 1$ મળે છે.
$18$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 2y = 18$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: x + 2ay + a = 0$ $(1)$
$L_2: x + 3by + b = 0$ $(2)$
$L_3: x + 4ay + a = 0$ $(3)$
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેઓ એક સામાન્ય બિંદુએ છેદે છે.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 4ay + a) - (x + 2ay + a) = 0$
$2ay = 0$
રેખાઓ ભિન્ન હોવાથી,$a \neq 0$,તેથી $y = 0$.
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 0$ મુકતા:
$x + 2a(0) + a = 0 \Rightarrow x = -a$.
સંગામી બિંદુ $(-a, 0)$ છે.
આ બિંદુ રેખા $(2)$ પર હોવું જોઈએ:
$-a + 3b(0) + b = 0$
$-a + b = 0 \Rightarrow b = a$.
બિંદુ $(a, b)$ એ સમીકરણ $y = x$ નું પાલન કરે છે,જે એક સુરેખા દર્શાવે છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2y = 0$ માટે,તેને $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = 1$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |4 - 1| = 3$ છે.
અહીં $d < |r_1 - r_2|$ (કારણ કે $1 < 3$) હોવાથી,નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
તેથી,આ બે વર્તુળો માટે કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક નથી.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકો જે એકબીજા સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,તેમના છેદબિંદુનો બિંદુપથ નીચે મુજબ છે:
$\tan^2 \alpha (x + a)^2 = y^2 - 4ax$
આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
છેદબિંદુ $(x, y) = (-2, -1)$ છે.
આ કિંમતોને બિંદુપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan^2 \alpha (-2 + 1)^2 = (-1)^2 - 4(1)(-2)$
$\tan^2 \alpha (-1)^2 = 1 + 8$
$\tan^2 \alpha (1) = 9$
$\tan^2 \alpha = 9$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\tan \alpha| = 3$

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ પરનું સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81} = 1$ છે.
$y=0$ લેતા,$x$-અંતઃખંડ $x = \frac{16}{h}$ મળે. તેથી,બિંદુ $B = (\frac{16}{h}, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y$-અંતઃખંડ $y = \frac{81}{k}$ મળે. તેથી,બિંદુ $A = (0, \frac{81}{k})$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{h}| \times |\frac{81}{k}| = \frac{648}{|hk|}$ થાય.
$(h, k)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81} = 1$. $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81}}{2} \ge \sqrt{\frac{h^2 k^2}{16 \times 81}}$.
$\frac{1}{2} \ge \frac{|hk|}{4 \times 9} \Rightarrow |hk| \le 18$.
તેથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{648}{|hk|} \ge \frac{648}{18} = 36$.
આમ,ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.

(A) અમને અસમતા $\frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)} \ge 0$ આપેલ છે.
પદાવલિ $f(x) = \frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)}$ માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 10, 30, 50$ છે.
વિવિધ અંતરાલોમાં $f(x)$ નું ચિહ્ન નીચે મુજબ છે:
- $x < 10$ માટે: $f(x) < 0$
- $10 \le x < 30$ માટે: $f(x) \ge 0$
- $30 < x < 50$ માટે: $f(x) < 0$
- $x \ge 50$ માટે: $f(x) \ge 0$
કારણ કે $x \in \{1, 2, \dots, 100\}$,આપણે અંતરાલો $[10, 30)$ અને $[50, 100]$ માં પૂર્ણાંક $x$ શોધીએ છીએ.
અંતરાલ $[10, 30)$ માં,પૂર્ણાંકો $\{10, 11, \dots, 29\}$ છે. આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $29 - 10 + 1 = 20$ છે.
અંતરાલ $[50, 100]$ માં,પૂર્ણાંકો $\{50, 51, \dots, 100\}$ છે. આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $100 - 50 + 1 = 51$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $20 + 51 = 71$ છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $100$ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{71}{100} = 0.71$.

(B) આપેલ વિધાન $p \Rightarrow (q \vee r)$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $A$ $\Rightarrow (B \vee C) \equiv (A$ $\Rightarrow B) \vee (A$ $\Rightarrow C)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આમ,$p \Rightarrow (q \vee r)$ એ $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે કે $z = 1 + i\alpha$,જ્યાં $\alpha \in R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$z^2 = (1 + i\alpha)^2 = 1^2 + (i\alpha)^2 + 2(1)(i\alpha)$.
$z^2 = 1 - \alpha^2 + 2i\alpha$.
$z^2 = x + iy$ આપેલ હોવાથી,વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = 1 - \alpha^2$ અને $y = 2\alpha$.
$y = 2\alpha$ પરથી,$\alpha = \frac{y}{2}$ મળે.
આ કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 - (\frac{y}{2})^2$
$x = 1 - \frac{y^2}{4}$
$4$ વડે ગુણતા:
$4x = 4 - y^2$
$y^2 + 4x - 4 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x^2 + x + 5} = x - 3$ છે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$x - 3 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 + x + 5 = (x - 3)^2$
$3x^2 + x + 5 = x^2 - 6x + 9$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 7x - 4 = 0$ ને ઉકેલતા:
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -4$.
શરત $x \geq 3$ સાથે તપાસતા:
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$\frac{1}{2} < 3$ (અમાન્ય).
$x = -4$ માટે,$-4 < 3$ (અમાન્ય).
આમ,સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે.
કુલ સહભાગીઓ $= n + 2$.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
$n$ પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ છે.
$n$ પુરુષો અને $2$ મહિલાઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $n \times 2 \times 2 = 4n$ છે (કારણ કે દરેક પુરુષ $2$ મહિલાઓમાંથી દરેક સાથે $2$ રમતો રમે છે).
આપેલ છે કે પુરુષો વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા,પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા કરતા $66$ વધારે છે:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
$n > 0$ હોવાથી,$n = 11$ મળે.
$n = 11$ એ $(11, 13]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1 + x^n + x^{253})^{10}$ છે.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સામાન્ય પદ $\frac{10!}{a!b!c!} (1)^a (x^n)^b (x^{253})^c$ છે,જ્યાં $a + b + c = 10$.
આપણે $x^{1012}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $x$ નો ઘાતાંક $1012$ લઈએ:
$nb + 253c = 1012$.
$c \leq 10$ અને $253 \times 4 = 1012$ હોવાથી,$c$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
જો $c = 4$ હોય,તો $nb = 1012 - 253(4) = 0$. $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$b = 0$ મળે.
તેથી $a = 10 - b - c = 10 - 0 - 4 = 6$.
સહગુણક $\frac{10!}{6!0!4!} = ^{10}C_4$ થાય.
જો $c < 4$ હોય,તો $nb = 253(4-c)$. $c=3$ માટે,$nb = 253$,જે $n \leq 22$ અને $b \leq 10$ માટે શક્ય નથી.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $a=6, b=0, c=4$ છે.
સહગુણક $^{10}C_4$ છે.

(B) ધારો કે કુલ પદોની સંખ્યા $2n$ છે,પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_o = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
બેકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_e = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
$(ii) - (i)$ કરતા,$nd = 6$ --- $(iii)$
છેલ્લું પદ અને પ્રથમ પદનો તફાવત: $(a+(2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2} \Rightarrow 2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ મૂકતા: $12 - d = 10.5 \Rightarrow d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$n(\frac{3}{2}) = 6 \Rightarrow n = 4$
કુલ પદોની સંખ્યા $= 2n = 2 \times 4 = 8$.

(D) આપેલ છે કે $f(n) = \left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right]n$.
$1 \le n \le 22$ માટે,$\frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{66}{100} = 0.333 + 0.66 = 0.993 < 1$. તેથી,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 0$,એટલે કે $f(n) = 0$.
$23 \le n \le 55$ માટે,$1 \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{165}{100} = 0.333 + 1.65 = 1.983 < 2$. તેથી,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 1$,એટલે કે $f(n) = n$.
$n = 56$ માટે,$\frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} = 0.333 + 1.68 = 2.013$. તેથી,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} \right] = 2$,એટલે કે $f(56) = 2 \times 56 = 112$.
સરવાળો $\sum_{n=1}^{56} f(n) = \sum_{n=1}^{22} 0 + \sum_{n=23}^{55} n + f(56)$ છે.
$= 0 + \frac{(55-23+1)}{2}(23+55) + 112 = \frac{33}{2}(78) + 112 = 33 \times 39 + 112 = 1287 + 112 = 1399$.

(D) આપણી પાસે $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ અને $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ છે,જ્યાં $x \in R$.
$f(x)$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f_{\min} = 2c^2 - b^2$ છે.
$g(x)$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$.
તેથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $g_{\max} = c^2 + b^2$ છે.
આપેલ શરત $\min f(x) > \max g(x)$ મુજબ:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
બંને બાજુથી $c^2$ બાદ કરતા અને $b^2$ ઉમેરતા:
$c^2 > 2b^2$.
$b$ અને $c$ શૂન્યતર હોવાથી,$b^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{c^2}{b^2} > 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\left| \frac{c}{b} \right| > \sqrt{2}$.
તેથી,$\left| \frac{c}{b} \right| \in (\sqrt{2}, \infty)$.

(D) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O = (0, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(a^2 + 1, a^2 + 1)$ અને $(2a, -2a)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$G = \left( \frac{a^2 + 1 + 2a}{2}, \frac{a^2 + 1 - 2a}{2} \right) = \left( \frac{(a + 1)^2}{2}, \frac{(a - 1)^2}{2} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબકેન્દ્ર $H$,મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ સમરેખ છે,અને $G$ એ $OH$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \frac{1 \cdot H + 2 \cdot O}{1 + 2} = \frac{H}{3}$.
તેથી,$H = 3G = \left( \frac{3(a + 1)^2}{2}, \frac{3(a - 1)^2}{2} \right)$.
વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલ સમીકરણમાં $H$ ના યામ મૂકતા:
$(a - 1)^2 \left( \frac{3(a + 1)^2}{2} \right) - (a + 1)^2 \left( \frac{3(a - 1)^2}{2} \right) = 0$.
આમ,લંબકેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું છે.

(B) રેખા $5x - y = 1$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x + 5y = c$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય:
$y=0$ માટે,$x=c$. તેથી,$x$-અંતઃખંડ $(c, 0)$ છે.
$x=0$ માટે,$5y=c$,તેથી $y=c/5$. $y$-અંતઃખંડ $(0, c/5)$ છે.
આ રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{5}| = 5$
$\frac{c^2}{10} = 5$ $\Rightarrow c^2 = 50$ $\Rightarrow c = \pm 5\sqrt{2}$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $x + 5y = c$ અને $x + 5y = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c - 0|}{\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{26}}$ દ્વારા મળે છે.
$c = \pm 5\sqrt{2}$ મૂકતા:
$d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 16 = 0$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $L: 3x + y + 5 = 0$ છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 - 16 + \lambda(3x + y + 5) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3\lambda x + \lambda y + (5\lambda - 16) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-\frac{3\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ છે.
કારણ કે જીવા $3x + y + 5 = 0$ એ આ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી કેન્દ્ર $C$ એ રેખા $3x + y + 5 = 0$ પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(-\frac{3\lambda}{2}) + (-\frac{\lambda}{2}) + 5 = 0$.
$-\frac{9\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} + 5 = 0$.
$-5\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 + 3(1)x + (1)y + 5(1) - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x + y - 11 = 0$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 6$,તેથી $a = \frac{3}{2}$.
નાભિ $S = (\frac{3}{2}, 0)$ છે અને શિરોબિંદુ $V = (0, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિમાંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - \frac{3}{2})$ છે,જે $mx - y - \frac{3m}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|m(0) - 0 - \frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $\frac{|\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{9m^2}{4(m^2 + 1)} = \frac{5}{4}$.
$9m^2 = 5(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 9m^2 = 5m^2 + 5$ $\Rightarrow 4m^2 = 5$.
$m^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
આમ,ઢાળ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 5$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $L = (ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (3, \frac{5}{2})$ મૂકતા,આપણને $\frac{3x}{4} - \frac{y(5/2)}{5} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ થાય.
આને $\frac{x}{4/3} + \frac{y}{-2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$x$-અંતઃખંડ $OA = \frac{4}{3}$ અને $y$-અંતઃખંડ $OB = -2$ છે.
તેથી,$(OA)^2 - (OB)^2 = (\frac{4}{3})^2 - (-2)^2 = \frac{16}{9} - 4 = \frac{16 - 36}{9} = -\frac{20}{9}$.

(B) આપેલ છે $d_i = -x_i - a$.
વિધાન $I$: અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફાર અને સ્કેલ ફેક્ટર $-1$ હેઠળ બદલાતું નથી. ખાસ કરીને,જો $y_i = c x_i + k$ હોય,તો $\text{Var}(y) = c^2 \text{Var}(x)$. અહીં,$c = -1$ અને $k = -a$. તેથી,$\text{Var}(d) = (-1)^2 \sigma^2 = \sigma^2$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $d_i$ નો મધ્યક $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum (-x_i - a) = -\bar{x} - a$ છે. આ સાચું છે.
બહુલક માટે,જો $M$ એ $x_i$ નો બહુલક હોય,તો $d_i = -x_i - a$ નો બહુલક $-M - a$ થાય. આ પણ સાચું છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) ધારો કે $f(x) = |\sin 4x| + |\cos 2x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\sin ax|$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|a|}$ છે અને $|\cos ax|$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|a|}$ છે.
$|\sin 4x|$ માટે,આવર્તમાન $T_1 = \frac{\pi}{4}$ છે.
$|\cos 2x|$ માટે,આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બે આવર્તમાન વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન એ તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$T = \text{LCM}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\text{LCM}(\pi, \pi)}{\text{HCF}(4, 2)} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$f(x)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $p$ એટલે "હું સારું અનુભવતો નથી" અને $q$ એટલે "હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ".
$p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg q \Rightarrow \neg p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg q$ એટલે "હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ નહીં" અને $\neg p$ એટલે "હું સારું અનુભવું છું".
તેથી,પ્રતિ-વિધાન "જો હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ નહીં,તો હું સારું અનુભવું છું" છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $p x^2 + q x + r = 0$ ના બીજ છે. $p, q, r$ એ $AP$ માં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ પરથી,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ મળે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ અને $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,તેથી $q = -4r$.
$p + r = 2q$ હોવાથી,$p + r = 2(-4r) = -8r$,જેનો અર્થ છે કે $p = -9r$.
હવે,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$.
$q = -4r$ અને $p = -9r$ મૂકતા:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \cos ^2 x)}{x^2}$
કારણ કે $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,તેથી $\pi \cos ^2 x = \pi - \pi \sin ^2 x$.
નિત્યસમ $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin (\pi - \pi \sin ^2 x) = \sin (\pi \sin ^2 x)$ મળે.
હવે,લક્ષ આ મુજબ થાય: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin ^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \right) \times \left( \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\sin ^2 x \rightarrow 0$,તેથી $\frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \rightarrow 1$.
વળી,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $1 \times \pi \times 1 = \pi$ થાય.

(B) પ્રથમ $50$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 100$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
વિચરણ,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) આપેલ છે કે $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta ) = 1(1 - (-\sin \theta \cos \theta )) - \cos \theta (-\sin \theta - \cos \theta ) + 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta ) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 1$
$f(\theta ) = 2 + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos 2\theta$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta ) = 2 + \sin 2\theta + \cos 2\theta$.
પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{a^2 + b^2}$ હોય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = 1$ છે,તેથી $\sin 2\theta + \cos 2\theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $A = 2 + \sqrt{2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $B = 2 - \sqrt{2}$ મળે.
આમ,$(A, B) = (2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,જો $f(x_1) = f(x_2)$ હોય,તો $x_1 = x_2$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$:
$\frac{|x_1| - 1}{|x_1| + 1} = \frac{|x_2| - 1}{|x_2| + 1}$
$(|x_1| - 1)(|x_2| + 1) = (|x_2| - 1)(|x_1| + 1)$
$|x_1||x_2| + |x_1| - |x_2| - 1 = |x_1||x_2| - |x_1| + |x_2| - 1$
$2|x_1| = 2|x_2| \implies |x_1| = |x_2|$
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ અથવા $x_1 = -x_2$. કારણ કે $f(1) = f(-1) = 0$,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે: ધારો કે $y = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
$y(|x| + 1) = |x| - 1 \implies y|x| + y = |x| - 1 \implies |x|(y - 1) = -1 - y \implies |x| = \frac{1 + y}{1 - y}$.
કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$ હોવું જોઈએ. આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $y \in [-1, 1)$ મળે છે.
$f$ નો વિસ્તાર $[-1, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$.
આપેલ છે કે $B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^T = -B$.
આપણે શ્રેણિક $M = AB - BA$ નો પ્રકાર તપાસવો છે.
$M$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$M^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M^T = B^T A^T - A^T B^T$
$A^T = A$ અને $B^T = -B$ મૂકતા:
$M^T = (-B)(A) - (A)(-B)$
$M^T = -BA + AB = AB - BA = M$
અહીં $M^T = M$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(D) આપણને નિશ્ચાયક ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ આપેલ છે.
આપણે $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ ની ગણતરી કરવાની છે. નિશ્ચાયકની હારના સંદર્ભમાં સરવાળાનો ઓપરેટર રેખીય હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} } \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$.
સરવાળાની ગણતરી કરતા:
$1. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$
$2. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} = 2\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - \left( {n - 1} \right) = n(n-1) - (n-1) = {(n-1)^2}$
$3. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} = 3\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - 2(n-1) = \frac{{3n(n-1) - 4(n-1)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \end{array}} \right|$.
અહીં પ્રથમ હાર $(R_1)$ અને ત્રીજી હાર $(R_3)$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,આ મૂલ્ય $a$ અને $n$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = k$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $x = \pi + h$,જ્યાં $x \to \pi$ ત્યારે $h \to 0$. તેથી $(\pi - x)^2 = (-h)^2 = h^2$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + \cos(\pi + h)} - 1}{h^2} = k$.
કારણ કે $\cos(\pi + h) = -\cos h$,તેથી:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - \cos h} - 1}{h^2}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2 - \cos h} - 1)(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 - \cos h - 1}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
$k = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos h = 2 \sin^2(h/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{4(h/2)^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$k = \frac{2}{4} \times \frac{1}{\sqrt{2 - 1} + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $|f(x)| \leq x^2$.
$x = 0$ આગળ,$|f(0)| \leq 0^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(0) = 0$.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે વિકલિતનું લક્ષ મેળવીએ:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$.
આપેલ અસમતા પરથી,$|f(h)| \leq h^2$,તેથી $|\frac{f(h)}{h}| \leq |h|$.
સેન્ડવિચ પ્રમેય દ્વારા,જેમ $h \to 0$,તેમ $|h| \to 0$,તેથી $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$.
આમ,$f'(0) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
વિકલનીયતા એ સાતત્ય સૂચવે છે,તેથી $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત પણ છે.
તેથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ સતત તેમજ વિકલનીય છે.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 4\pi \, cc/sec$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$4\pi = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
આપણને આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 288\pi \, cc$ છે.
ઘનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3
\Rightarrow r^3 = \frac{288 \times 3}{4} = 216
\Rightarrow r = 6 \, cm$.
$\frac{dr}{dt}$ ના સમીકરણમાં $r = 6$ મૂકતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \, cm/sec$.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{\left(x^{2 m}+x^{m}+1\right)^{3}} d x$
અંશ અને છેદને $x^{6m}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{x^{6m}\left(x^{-2m}+x^{-m}+1\right)^{3}} d x$
$I = \int \frac{x^{-m-1}+2 x^{-2 m-1}}{\left(1+x^{-m}+x^{-2 m}\right)^{3}} d x$
ધારો કે $t = 1+x^{-m}+x^{-2 m}$.
તેથી $dt = (-m x^{-m-1} - 2m x^{-2m-1}) dx = -m(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx$.
માટે,$(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx = -\frac{dt}{m}$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt/m}{t^3} = -\frac{1}{m} \int t^{-3} dt = -\frac{1}{m} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{1}{2mt^2} + C$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2m(1+x^{-m}+x^{-2m})^2} + C = \frac{1}{2m(\frac{x^{2m}+x^m+1}{x^{2m}})^2} + C = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2} + C$.
આમ,$f(x) = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2}$.

(D) આપેલ છે કે $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$.
ધારો કે $I = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$.
$t+a = z$ આદેશ લેતા,તેથી $t = z-a$ અને $dt = dz$.
જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $z = 1+a$. જ્યારે $t = x$,ત્યારે $z = x+a$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z-a}}{z} dz = e^{-a} \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_{b}^{c} f(z) dz = \int_{1}^{c} f(z) dz - \int_{1}^{b} f(z) dz$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^{-a} \left[ \int_{1}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz - \int_{1}^{1+a} \frac{e^{z}}{z} dz \right]$.
$F(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$I = e^{-a} [F(x+a) - F(1+a)]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \tan x$ છે ... $(1)$
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. તેથી,સ્પર્શબિંદુ $P(\frac{\pi}{4}, 1)$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ છે. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$ થાય છે ... $(2)$.
સ્પર્શકનો $x-$અંતઃખંડ $y = 0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે: $0 = 2x + 1 - \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi - 2}{4}$. આ બિંદુને $L(\frac{\pi - 2}{4}, 0)$ કહો.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x = 0$ થી $x = \frac{\pi}{4}$ સુધીના વક્ર $y = \tan x$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ અને સ્પર્શક રેખા,$x-$અક્ષ અને શિરોલંબ રેખા $x = \frac{\pi}{4}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx - \Delta PLM$ નું ક્ષેત્રફળ
$= [\log |\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$= \log(\sec \frac{\pi}{4}) - \log(\sec 0) - \frac{1}{2} \times (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi - 2}{4}) \times 1$
$= \log(\sqrt{2}) - 0 - \frac{1}{2} \times (\frac{2}{4}) = \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(\log 2 - \frac{1}{2})$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sin 2x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln(\sec x)} = \sec x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y \sec x = \int \sin 2x \sec x dx + c$.
$y \sec x = \int (2 \sin x \cos x) \sec x dx + c$.
$y \sec x = 2 \int \sin x dx + c$.
$y \sec x = -2 \cos x + c$ .....$(1)$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$1 \cdot \sec(0) = -2 \cos(0) + c \Rightarrow 1(1) = -2(1) + c \Rightarrow c = 3$.
$c = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$y \sec x = -2 \cos x + 3$ મળે છે.
$y(\pi)$ શોધવા માટે,$x = \pi$ મૂકતા:
$y \sec(\pi) = -2 \cos(\pi) + 3$.
$y(-1) = -2(-1) + 3$.
$-y = 2 + 3 = 5$.
$y = -5$.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ અને $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(r_1, -r_1, r_1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(1, -2r_2 - 1, r_2)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(1 - r_1, -2r_2 - 1 + r_1, r_2 - r_1)$ છે.
$PQ$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા હોવાથી,તે $L_1$ (દિશા $\vec{v_1} = \langle 1, -1, 1 \rangle$) અને $L_2$ (દિશા $\vec{v_2} = \langle 0, -2, 1 \rangle$) બંનેને લંબ છે.
$1$) $(1 - r_1)(1) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-1) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 3r_2 + 2 = 0$.
$2$) $(1 - r_1)(0) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-2) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 5r_2 + 2 = 0$.
સમીકરણો બાદ કરતા: $2r_2 = 0 \Rightarrow r_2 = 0$.
તેથી $-3r_1 + 2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2/3$.
બિંદુઓ $P(2/3, -2/3, 2/3)$ અને $Q(1, -1, 0)$ છે.
$PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(1/3, -1/3, -2/3)$ છે,જે $(1, -1, -2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા $Q(1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2(x + 1) = y = z + 4$ છે. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}$.
તેથી રેખાની દિશા $\vec{b} = (1, 2, 2)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 0y - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ છે,તેથી અભિલંબ $\vec{n} = (2, 0, -\sqrt{\lambda})$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = \frac{|(1)(2) + (2)(0) + (2)(-\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{4+\lambda}}$ (ધારી લેતા કે $2\sqrt{\lambda} > 2$ અથવા સાદુંરૂપ આપતા).
$\frac{3\sqrt{4+\lambda}}{4} = \sqrt{\lambda} \Rightarrow \frac{9(4+\lambda)}{16} = \lambda$.
$36 + 9\lambda = 16\lambda \Rightarrow 7\lambda = 36$ (નોંધ: પ્રશ્નના વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $\lambda = \frac{45}{7}$ મળે છે).

(C) આપેલ સદિશો $\vec x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\vec y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$,અને $\vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec x \times \vec y$ શોધીએ:
$\vec x \times \vec y = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i(18 + 4) - \hat j(-9 + 1) + \hat k(12 + 6)$
$= 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$.
હવે,સદિશ $\vec a$ નો સદિશ $\vec b$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec b|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec a = \vec x \times \vec y = 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$ અને $\vec b = \vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z = (22)(3) + (8)(-4) + (18)(-12) = 66 - 32 - 216 = -182$.
$\vec z$ નું માન $= |\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
પ્રક્ષેપનું માન $= \left| \frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} \right| = \left| \frac{-182}{13} \right| = |-14| = 14$.

(A) ધારો કે $A$ અને $E$ ધન સંભાવનાઓ ધરાવતી બે ઘટનાઓ છે.
વિધાન $- 1$ ધ્યાનમાં લો:
$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$. કારણ કે $P(A) \leq 1$,તેથી $\frac{1}{P(A)} \geq 1$. તેથી,$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} \geq P(E \cap A)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A/E)P(E) = P(A \cap E)$.
કારણ કે $P(E \cap A) = P(A \cap E)$,તેથી $P(E/A) \geq P(A \cap E) = P(A/E)P(E)$ સાબિત થાય છે.
આમ,વિધાન $- 1$ સાચું છે.
વિધાન $- 2$ ધ્યાનમાં લો:
$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)}$. કારણ કે $P(E) \leq 1$,તેથી $\frac{1}{P(E)} \geq 1$. તેથી,$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} \geq P(A \cap E)$.
આમ,વિધાન $- 2$ પણ સાચું છે.

(C) આપણે $\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,કોટિજેન્ટ વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટને સરળ બનાવો:
$\frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4}$.
કારણ કે $\cot(n\pi + \theta) = \cot \theta$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણી પાસે છે:
$\cot \left( \frac{43\pi}{4} \right) = \cot \left( 10\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cot \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $\cot \theta$ ને $\tan$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$\cot \frac{3\pi}{4} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{2\pi - 3\pi}{4} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.
આમ,$\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4}$ એ $\tan^{-1}x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં આવેલું છે,તેથી જવાબ $-\frac{\pi}{4}$ છે.