JEE Main 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया है $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$.
$n=1$ के लिए,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$.
$n=2$ के लिए,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$.
$n=3$ के लिए,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$.
अतः,$X = \{ 0, 9, 54, \dots \}$.
दिया है $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$.
$n=1$ के लिए,$9(1-1) = 0$.
$n=2$ के लिए,$9(2-1) = 9$.
$n=3$ के लिए,$9(3-1) = 18$.
अतः,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$.
चूंकि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है और $X \subset Y$ है,इसलिए $X \cup Y = Y$ होगा।

(B) हमें $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$ दिया गया है।
हमें $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
अतः,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$.
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$.

(B) माना पक्षी की प्रारंभिक स्थिति $P$ है,जो $PQ = 20 \ m$ ऊँचे खंभे के शीर्ष पर है। बिंदु $O$ से उन्नयन कोण $\angle POQ = 45^o$ है।
$\Delta POQ$ में,$\tan 45^o = \frac{PQ}{OQ}$ $\Rightarrow 1 = \frac{20}{OQ}$ $\Rightarrow OQ = 20 \ m$.
एक सेकंड के बाद,पक्षी $P'$ स्थिति पर पहुँचता है जहाँ $P'Q' = 20 \ m$ (क्योंकि यह क्षैतिज रूप से उड़ता है)। $O$ से उन्नयन कोण $\angle P'OQ' = 30^o$ है।
$\Delta P'OQ'$ में,$\tan 30^o = \frac{P'Q'}{OQ'}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{OQ'}$ $\Rightarrow OQ' = 20\sqrt{3} \ m$.
पक्षी द्वारा एक सेकंड में तय की गई दूरी $QQ' = OQ' - OQ = 20\sqrt{3} - 20 = 20(\sqrt{3} - 1) \ m$ है।
चूँकि लिया गया समय $1 \ s$ है,इसलिए पक्षी की चाल $20(\sqrt{3} - 1) \ m/s$ होगी।

(D) दिया गया है $|z| \ge 2$,जो $(0, 0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले वृत्त पर या उसके बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है।
व्यंजक $|z + \frac{1}{2}|$ सम्मिश्र संख्या $z$ और बिंदु $-\frac{1}{2}$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
$|z - (-\frac{1}{2})|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $-\frac{1}{2}$ से वृत्त $|z| = 2$ की परिधि तक की दूरी पर विचार करते हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $-\frac{1}{2}$ तक की दूरी $\frac{1}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $-\frac{1}{2}$ वृत्त $|z| = 2$ के अंदर स्थित है,इसलिए बिंदु $-\frac{1}{2}$ से वृत्त पर किसी भी बिंदु $z$ तक की न्यूनतम दूरी $R - d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 2$ त्रिज्या है और $d = \frac{1}{2}$ मूल बिंदु से बिंदु की दूरी है।
न्यूनतम मान = $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
चूंकि $\frac{3}{2} = 1.5$,जो अंतराल $(1, 2)$ में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) $6000$ से बड़ी संख्याएँ बनाने के लिए हम ${3, 5, 6, 7, 8}$ अंकों का उपयोग करेंगे।
स्थिति $1$: $5$ अंकों की संख्याएँ।
सभी $5$ अंक उपलब्ध हैं,इसलिए कुल संख्याएँ $5! = 120$ होंगी।
स्थिति $2$: $4$ अंकों की संख्याएँ।
$4$ अंकों की संख्या $6000$ से बड़ी होने के लिए,पहला अंक $6, 7,$ या $8$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं।
शेष $3$ स्थानों के लिए $4$ अंकों में से चयन करना है,जो $P(4, 3) = 24$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3 \times 24 = 72$।
कुल संख्याएँ $= 120 + 72 = 192$।

(B) दिया गया विस्तार $(1 + ax + bx^2)(1 - 2x)^{18}$ है।
$x^n$ का गुणांक $\binom{18}{n}(-2)^n + a \cdot \binom{18}{n-1}(-2)^{n-1} + b \cdot \binom{18}{n-2}(-2)^{n-2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x^3$ के लिए $(n=3)$: $\binom{18}{3}(-2)^3 + a \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 + b \cdot \binom{18}{1}(-2)^1 = 0 \implies 51a - 3b = 544 \dots (i)$.
$x^4$ के लिए $(n=4)$: $\binom{18}{4}(-2)^4 + a \cdot \binom{18}{3}(-2)^3 + b \cdot \binom{18}{2}(-2)^2 = 0 \implies 544a - 51b = 4080 \dots (ii)$.
समीकरणों को हल करने पर,$a = 16$ और $b = \frac{272}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.
दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर:
$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$ ......$(i)$
माना $x = \frac{11}{10}$. तब $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$.
$x$ से गुणा करने पर:
$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$ ......$(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$k(1-x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$
$k(1-x) = \frac{1(x^{10}-1)}{x-1} - 10x^{10}$
चूँकि $x = \frac{11}{10}$,इसलिए $1-x = -\frac{1}{10}$ और $x-1 = \frac{1}{10}$.
$k(-\frac{1}{10}) = \frac{(\frac{11}{10})^{10}-1}{\frac{1}{10}} - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10((\frac{11}{10})^{10}-1) - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10(\frac{11}{10})^{10} - 10 - 10(\frac{11}{10})^{10} = -10$
अतः $k = 100$.

(B) माना $G.P.$ में तीन धनात्मक संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ वर्धमान $G.P.$ के लिए $r > 1$ है।
यदि मध्य पद को दोगुना किया जाता है,तो नई संख्याएँ $a, 2ar, ar^2$ हो जाती हैं।
चूँकि ये संख्याएँ $A.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद अन्य दो का समांतर माध्य है:
$2(2ar) = a + ar^2$
$4ar = a(1 + r^2)$
चूँकि $a > 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$r^2 - 4r + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
चूँकि $G.P.$ वर्धमान है,$r > 1$ है। अतः,$r = 2 + \sqrt{3}$.

(D) माध्यिका $PS$ शीर्ष $P(2,2)$ को भुजा $QR$ के मध्य बिंदु $S$ से जोड़ती है।
$S$ के निर्देशांक $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ हैं।
$PS$ की ढाल $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
$(1,-1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(A) मान लीजिए चौथे चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, -\alpha)$ है,जहाँ $\alpha > 0$ है।
चूँकि यह बिंदु दोनों रेखाओं $4ax + 2ay + c = 0$ और $5bx + 2by + d = 0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
पहली रेखा के लिए: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$।
दूसरी रेखा के लिए: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$।
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$।
वज्र-गुणन करने पर $3bc = 2ad$ प्राप्त होता है,जिसे $3bc - 2ad = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) मान लीजिए वृत्त $T$ की त्रिज्या $r$ है। चूँकि $T$ का केंद्र $(0, y)$ है और यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = |y|$ है।
चूँकि $T$ वृत्त $C$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
$C$ का केंद्र $(1, 1)$ है और त्रिज्या $R = 1$ है।
$T$ का केंद्र $(0, y)$ है और त्रिज्या $r = y$ है।
केंद्रों $(1, 1)$ और $(0, y)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1-0)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{1 + (1-y)^2}$ है।
इसे त्रिज्याओं के योग $R + r = 1 + y$ के बराबर रखने पर:
$\sqrt{1 + (1-y)^2} = 1 + y$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + (1 - 2y + y^2) = (1 + y)^2$
$2 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2$
$2 - 2y = 1 + 2y$
$4y = 1$
$y = \frac{1}{4}$
अतः $T$ की त्रिज्या $\frac{1}{4}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 6$ और $b^2 = 2$ है।
दीर्घवृत्त की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है,जो $y = mx + \sqrt{6m^2 + 2}$ बन जाता है $(1)$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और इस स्पर्श रेखा पर लंब रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m}x$ है,जिसका अर्थ है $m = -\frac{x}{y}$ $(2)$।
$(2)$ से $m$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$y = (-\frac{x}{y})x + \sqrt{6(-\frac{x}{y})^2 + 2}$
$y + \frac{x^2}{y} = \sqrt{\frac{6x^2 + 2y^2}{y^2}}$
$\frac{y^2 + x^2}{y} = \frac{\sqrt{6x^2 + 2y^2}}{|y|}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x^2 + y^2)^2 = 6x^2 + 2y^2$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$ है।
$y^2 = 4x$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{1}{m} \quad (1)$ है।
दूसरे परवलय का समीकरण $x^2 = -32y$ है,जो $x^2 = 4Ay$ के रूप में है,जहाँ $4A = -32$,अतः $A = -8$ है।
$x^2 = 4Ay$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - Am^2$ है। $A = -8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = mx - (-8)m^2 = mx + 8m^2 \quad (2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा दोनों परवलयों के लिए उभयनिष्ठ है,समीकरण $(1)$ और $(2)$ के अंतःखंडों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{m} = 8m^2$.
यह $8m^3 = 1$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $m^3 = \frac{1}{8}$।
घनमूल लेने पर,$m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t = x - [x] = \{x\}$। चूँकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $0 \leq t < 1$ है।
समीकरण $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ हो जाता है,अर्थात $3t^2 - 2t - a^2 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$।
चूँकि $t \geq 0$,धनात्मक चिह्न लेने पर: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$।
पूर्णांक हल न होने के लिए $t \neq 0$ होना चाहिए। साथ ही,$t < 1$ होना आवश्यक है:
$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1$ $\Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2$ $\Rightarrow 1 + 3a^2 < 4$ $\Rightarrow a^2 < 1$।
अतः $-1 < a < 1$। $a=0$ के लिए $t=0$ प्राप्त होता है जो पूर्णांक हल देता है,इसलिए $a \neq 0$।
अतः $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$।

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
दिया गया है $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ और $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
चूँकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(B) दिया गया है $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$।
हमें $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$।
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$।
अब,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$।
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) - (\frac{2}{4} - \frac{3}{6})\sin^2 x \cos^2 x$।
$= (\frac{3-2}{12}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\sin^2 x \cos^2 x$।
$= \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$।

(C) कथन $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
$1$. द्वि-प्रतिबंधक $p \leftrightarrow \sim q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ के सत्यता मान समान हों।
$2$. निषेध $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ तब सत्य होता है जब $p \leftrightarrow \sim q$ असत्य हो।
सत्यता सारणी के अनुसार,$\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ के सत्यता मान $(p \leftrightarrow q)$ के मानों के समान हैं।
अतः,यह कथन $(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(D) समीकरण $w - \overline{w}z = k(1 - z)$ पर विचार करें, जहाँ $k \in \mathbb{R}$.
चूंकि $Im\, w \neq 0$, इसलिए $w \neq \overline{w}$, अतः $z \neq 1$.
इस प्रकार, $k = \frac{w - \overline{w}z}{1 - z}$.
चूंकि $k$ वास्तविक है, इसलिए $\frac{w - \overline{w}z}{1 - z} = \overline{\left( \frac{w - \overline{w}z}{1 - z} \right)} = \frac{\overline{w} - w\overline{z}}{1 - \overline{z}}$.
तिर्यक गुणा करने पर $(w - \overline{w}z)(1 - \overline{z}) = (\overline{w} - w\overline{z})(1 - z)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $w - w\overline{z} - \overline{w}z + \overline{w}z\overline{z} = \overline{w} - \overline{w}z - w\overline{z} + w\overline{z}z$.
सरल करने पर, $w + \overline{w}|z|^2 = \overline{w} + w|z|^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(w - \overline{w})|z|^2 = w - \overline{w}$.
चूंकि $Im\, w \neq 0$, इसलिए $w - \overline{w} \neq 0$, अतः $|z|^2 = 1$, जिसका अर्थ है $|z| = 1$.
साथ ही, मूल समीकरण से, $z \neq 1$ होना चाहिए।
अतः, अभीष्ट समुच्चय $\{z : |z| = 1, z \neq 1\}$ है।

(B) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। समीकरण $2x^2 + 3x + 4 = 0$ के लिए विविक्तकर $D = 3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए मूल सम्मिश्र संयुग्मी होंगे। यदि दो समीकरणों के गुणांक वास्तविक हैं और एक मूल उभयनिष्ठ है,तो दोनों मूल उभयनिष्ठ होंगे।
अतः,समीकरण समानुपाती हैं: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$ (जहाँ $k \ne 0$)।
इस प्रकार,$a : b : c = 2 : 3 : 4$।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha \beta}$.
$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha \beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
दिया गया समीकरण $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ है।
यहाँ $b^3 - 3ab = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 - 3(\sqrt{\alpha \beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
साथ ही,$a^3 = (\sqrt{\alpha \beta})^3 = \alpha^{3/2} \beta^{3/2}$.
समीकरण $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2} \beta^{3/2} = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha^{3/2}$ और $\beta^{3/2}$ हैं।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $(1 + x)^{101} (1 - x + x^2)^{100}$ है।
हम इसे $(1 + x) (1 + x)^{100} (1 - x + x^2)^{100}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$= (1 + x) [(1 + x)(1 - x + x^2)]^{100}$।
सर्वसमिका $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ का उपयोग करने पर,$(1 + x)(1 - x + x^2) = 1 + x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिव्यक्ति $(1 + x)(1 + x^3)^{100}$ हो जाती है।
$(1 + x^3)^{100}$ के विस्तार में $100 + 1 = 101$ पद होते हैं।
$(1 + x)$ से गुणा करने पर,$(1 + x)(1 + x^3)^{100} = (1 + x^3)^{100} + x(1 + x^3)^{100}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक भाग में $101$ पद हैं,और कोई भी पद समान नहीं है,इसलिए कुल पदों की संख्या $101 + 101 = 202$ है।

(B) $3, 4, 5,$ और $6$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $4-$ अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमारे पास कुल $4! = 24$ संख्याएँ हैं।
यदि हम इकाई के स्थान पर एक अंक को निश्चित करते हैं,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए,प्रत्येक अंक $3, 4, 5,$ और $6$ इकाई के स्थान पर ठीक $6$ बार आता है।
इकाई के स्थान के अंकों का योग है:
$= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
$= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
$= 6 \times 18$
$= 108$

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ दिए गए $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दूसरा पद $a + d = 12$ .....$(1)$
प्रथम नौ पदों का योग:
${S_9} = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$
दिया गया है कि $200 < {S_9} < 220$:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
समीकरण $(1)$ से $a = 12 - d$ का मान रखने पर:
$200 < 9(12 - d + 4d) < 220$
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
सभी भागों से $108$ घटाने पर:
$92 < 27d < 112$
चूंकि पद धनात्मक पूर्णांक हैं,$d$ एक पूर्णांक होना चाहिए। $d$ के मानों की जाँच करने पर:
यदि $d = 4$ है,तो $27 \times 4 = 108$ (जो $92 < 108 < 112$ को संतुष्ट करता है)।
अतः,$d = 4$.
समीकरण $(1)$ से,$a + 4 = 12$,इसलिए $a = 8$.
$4^{th}$ पद $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ है।

(A) दी गई श्रेणी का $n$ वाँ पद:
$a_n = \frac{2n + 1}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$a_n = 6 \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right]$
$20$ पदों का योग $S_{20}$:
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{20} = 6 \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{21} \right) \right]$
$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$
दिया गया है कि $S_{20} = \frac{k}{21}$,तुलना करने पर $k = 120$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $(0,0)$ से चर रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ पर लंब का पाद $P(x_1, y_1)$ है।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$,इसलिए $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,$x_1^2 + y_1^2 = 4$,जो $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(D) रेखा $RQ$ का समीकरण $x - 2y = 2$ है।
चूंकि $R$,$x-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y-$ निर्देशांक $0$ है। $RQ$ के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,हमें $x - 2(0) = 2$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$। इस प्रकार,$R = (2, 0)$।
चूंकि $PQ$,$x-$ अक्ष के समांतर है,इसलिए $Q$ का $y-$ निर्देशांक $P$ के $y-$ निर्देशांक के समान यानी $3$ होगा।
$RQ$ के समीकरण में $y = 3$ रखने पर,हमें $x - 2(3) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x - 6 = 2$,अतः $x = 8$। इस प्रकार,$Q = (8, 3)$।
शीर्षों $P(5, 3)$,$Q(8, 3)$,और $R(2, 0)$ वाले $\Delta PQR$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{5 + 8 + 2}{3}, \frac{3 + 3 + 0}{3} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{6}{3} \right) = (5, 2)$।
अब,हम जाँचते हैं कि बिंदु $(5, 2)$ किस रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $D$ के लिए: $2x - 5y = 2(5) - 5(2) = 10 - 10 = 0$।
अतः,केंद्रक रेखा $2x - 5y = 0$ पर स्थित है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 34 - p$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{34 - p}$ है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष को स्पर्श या प्रतिच्छेद न करने के लिए,त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक से कम होनी चाहिए: $r < 5 \implies \sqrt{34 - p} < 5 \implies 34 - p < 25 \implies p > 9$.
वृत्त द्वारा $y$-अक्ष को स्पर्श या प्रतिच्छेद न करने के लिए,त्रिज्या केंद्र के $x$-निर्देशांक से कम होनी चाहिए: $r < 3 \implies \sqrt{34 - p} < 3 \implies 34 - p < 9 \implies p > 25$.
यदि बिंदु $(1, 4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,तो केंद्र $(3, 5)$ से इसकी दूरी त्रिज्या से कम होनी चाहिए: $\sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 4)^2} < r \implies \sqrt{2^2 + 1^2} < \sqrt{34 - p} \implies \sqrt{5} < \sqrt{34 - p} \implies 5 < 34 - p \implies p < 29$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर,$p > 25$ और $p < 29$,अतः $p \in (25, 29)$।

(A) माना $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ दीर्घवृत्त का समीकरण है।
दिया गया है कि $F_1B$ और $F_2B$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
निर्देशांक $F_1(-ae, 0)$,$F_2(ae, 0)$,और $B(0, b)$ हैं।
$F_1B$ की ढाल = $\frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$।
$F_2B$ की ढाल = $\frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$।
चूंकि $F_1B \perp F_2B$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$-\frac{b^2}{a^2e^2} = -1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2 = a^2e^2$ को समीकरण में रखने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए कि $2n$ अलग अवलोकन $x_1 < x_2 < ... < x_{2n}$ हैं।
चूंकि $2n$ अवलोकन हैं,माध्यिका $n$ वें और $(n+1)$ वें अवलोकन का औसत है।
माध्यिका से नीचे $n$ अवलोकन हैं (अर्थात $x_1, ..., x_n$) और माध्यिका से ऊपर $n$ अवलोकन हैं (अर्थात $x_{n+1}, ..., x_{2n}$)।
मूल अवलोकनों का योग $S = \sum_{i=1}^{2n} x_i$ है।
नया योग $S'$ पहले $n$ अवलोकनों में $5$ जोड़कर और शेष $n$ अवलोकनों में से $3$ घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$S' = \sum_{i=1}^{n} (x_i + 5) + \sum_{i=n+1}^{2n} (x_i - 3)$
$S' = \sum_{i=1}^{n} x_i + 5n + \sum_{i=n+1}^{2n} x_i - 3n$
$S' = \sum_{i=1}^{2n} x_i + 2n = S + 2n$.
नया माध्य $M' = \frac{S'}{2n} = \frac{S + 2n}{2n} = \frac{S}{2n} + 1$ है।
चूंकि मूल माध्य $M = \frac{S}{2n}$ है,इसलिए नया माध्य $M' = M + 1$ है।
अतः,माध्य $1$ बढ़ जाता है।

(D) दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,जिसका अर्थ है $P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$.
साथ ही,$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$ और $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,इसका अर्थ है $A = B$,इसलिए $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
अतः,$P(A \cap B') = 0$ और $P(A' \cap B) = 0$ सत्य हैं।
इसलिए,$P(A) + P(B) = 1$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: $2\sin^3\alpha - 7\sin^2\alpha + 7\sin\alpha - 2 = 0$.
माना $x = \sin\alpha$. तब $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$.
$x = 1$ एक मूल है।
$(x - 1)$ से विभाजित करने पर,$(x - 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(2x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,$\sin\alpha = 1$,$\sin\alpha = \frac{1}{2}$,या $\sin\alpha = 2$.
$\sin\alpha = 2$ संभव नहीं है।
$\sin\alpha = 1$ के लिए $[0, 2\pi]$ में $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ($1$ मान)।
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ के लिए $[0, 2\pi]$ में $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ मान)।
कुल मानों की संख्या = $1 + 2 = 3$।

(B) दिया है $\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$,अतः $\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$.
सर्वसमिका $\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\cot \frac{\pi}{4} \cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\theta}{2}} = \frac{\cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\theta}{2} + 1}$ का उपयोग करने पर.
यह पद $\frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$ में सरल हो जाता है।
इस पद का वर्ग करने पर,हमें $\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$ रखने पर:
$\frac{1 - \frac{p - q}{p + q}}{1 + \frac{p - q}{p + q}} = \frac{p + q - p + q}{p + q + p - q} = \frac{2q}{2p} = \frac{q}{p}$.
वर्गमूल लेने पर,$\left| \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right| = \sqrt{\frac{q}{p}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया कथन है "यदि बारिश नहीं होती है,तो मैं स्कूल जाता हूँ"।
माना $p$ कथन "बारिश नहीं होती है" है और $q$ कथन "मैं स्कूल जाता हूँ" है।
दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ के रूप में है।
$p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \Rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है "मैं स्कूल नहीं जाता हूँ" और $\sim p$ का अर्थ है "बारिश होती है"।
अतः,प्रतिधनात्मक "यदि मैं स्कूल नहीं जाता हूँ,तो बारिश होती है" है।

(C) दिया गया है कि $f$ एक विषम फलन है,इसलिए $f(-x) = -f(x)$ होता है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$ है।
हमें $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f$ विषम है,इसलिए $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ होगा।
पहले $f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ की गणना करते हैं:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\sin\frac{\pi}{6}) + 4(\cos\frac{\pi}{6})$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$।
अतः,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$।

(A) व्यंजक $\arg \left( \frac{z_1}{z_4} \right) + \arg \left( \frac{z_2}{z_3} \right)$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\arg \left( \frac{a}{b} \right) = \arg(a) - \arg(b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \arg(z_1) - \arg(z_4) + \arg(z_2) - \arg(z_3)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= (\arg(z_1) + \arg(z_2)) - (\arg(z_3) + \arg(z_4))$
यह दिया गया है कि $(z_1, z_2)$ और $(z_3, z_4)$ सम्मिश्र संयुग्मी संख्याओं के युग्म हैं,इसलिए $z_2 = \bar{z}_1$ और $z_4 = \bar{z}_3$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\arg(z_1) + \arg(\bar{z}_1)) - (\arg(z_3) + \arg(\bar{z}_3))$
चूंकि $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,इसलिए:
$= (\arg(z_1) - \arg(z_1)) - (\arg(z_3) - \arg(z_3))$
$= 0 - 0 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ है।
मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र से,$\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ और $\alpha\beta = 2k^4 - 1$ है।
$\alpha^2 + \beta^2 = 66$ दिया गया है।
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 64 + 4k^4$ $\Rightarrow k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ $\Rightarrow (k^2 - 4)^2 = 0$।
अतः $k^2 = 4$,जिसका अर्थ है $k = \pm 2$।
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$।
$k = -2$ रखने पर,$\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(67 - 32) = -280\sqrt{2}$।

(D) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $9$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $9$ से विभाज्य होती है। $0$ से $9$ तक के अंकों का योग $45$ है। $8$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें दो अंकों को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $8$ अंकों का योग $9$ का गुणज हो। हटाए गए दो अंकों का योग $9$ होना चाहिए,जिनकी जोड़ियाँ $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5)$ हैं। यदि $0$ को हटाया जाता है,तो $8!$ तरीके हैं। यदि $0$ को नहीं हटाया जाता है,तो $8! - 7! = 7 \times 7!$ तरीके हैं। कुल तरीके $= 8! + 4(7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1 + x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1 + x}$ और $n = 1001$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{(1 + x)^{1000} \left[ 1 - \left( \frac{x}{1 + x} \right)^{1001} \right]}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
सरल करने पर,$S = (1 + x)^{1001} - x^{1001}$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 + x)^{1001} - x^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
अतः,$x^{50}$ का गुणांक $^{1001}C_{50} = \frac{1001!}{50!951!}$ होगा।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ है।
प्रथम $5$ पदों का योग $S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}$ है।
व्युत्क्रमों का योग $S'_5 = \frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ है:
$\frac{\frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}}{\frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}} = 49$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 49$ $\Rightarrow ar^2 = 7$।
प्रथम और तीसरे पद का योग $35$ है:
$a + ar^2 = 35$।
$ar^2 = 7$ का मान रखने पर:
$a + 7 = 35 \Rightarrow a = 28$।

(B) प्रथम श्रेणी $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
दूसरी श्रेणी $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_2 = 5$ है।
प्रथम उभयनिष्ठ पद $11$ है।
उभयनिष्ठ पदों द्वारा बनी नई श्रेणी का सार्व अंतर $LCM(d_1, d_2) = LCM(4, 5) = 20$ होगा।
अतः,उभयनिष्ठ पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d = 20$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए,$S_{20} = \frac{20}{2}[2(11) + (20 - 1)20]$।
$S_{20} = 10[22 + 19 \times 20] = 10[22 + 380] = 10[402] = 4020$।

(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ {x^2} + (k - 2)x - 2k\} }}{{{x^2} - 4x + 4}} = 5$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ x(x - 2) + k(x - 2) \} }}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)(x + k)(x - 2)}}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \times (x + k) = 5$
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan h}}{h} = 1$,इसलिए:
$1 \times (2 + k) = 5$
$2 + k = 5$
$k = 3$

(B) मान लीजिए बिंदु $A(a, 0)$ $x$-अक्ष पर है और $B(0, b)$ $y$-अक्ष पर है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखा $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र द्वारा:
$h = \frac{2(0) + 1(a)}{1 + 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2(b) + 1(0)}{1 + 2} = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
चूंकि सीढ़ी की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = l^2$।
मान रखने पर:
$(3h)^2 + (\frac{3k}{2})^2 = l^2$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = l^2$
$\frac{h^2}{(l/3)^2} + \frac{k^2}{(2l/3)^2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{(l/3)^2}{(2l/3)^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $ax + by + c = 0$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(1, 2)$ और रेखा $3x + 4y - 9 = 0$ के लिए,समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब $h$ है:
$h = \frac{|3(1) + 4(2) - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$.
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होता है।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{2}{5}$
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{2}{5} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$a = \frac{4}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15}$.

(B) वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda = 0$,केंद्र $O_1 = (5, 5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{50 - \lambda}$.
$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$,केंद्र $O_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2}$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = O_1O_2 = 3\sqrt{2}$.
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
$|\sqrt{50 - \lambda} - \sqrt{2}| < 3\sqrt{2} < \sqrt{50 - \lambda} + \sqrt{2}$.
इसे हल करने पर,हमें $\lambda > 18$ और $\lambda < 42$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अंतराल $(18, 42)$ है।

(C) वक्रों के समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 8x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 8x = 9$.
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
$(x + 9)(x - 1) = 0$.
परवलय $y^2 = 8x$ के लिए $x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 8(1) = 8$,अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 2\sqrt{2})$ और $B(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $L_1 = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2} \approx 5.66$.
परवलय $y^2 = 8x$ का रूप $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$.
नाभिलंब की लंबाई $L_2 = 4a = 8$.
मानों की तुलना करने पर,$4\sqrt{2} < 8$,अतः $L_1 < L_2$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
यहाँ $a=3$ और $b=2$ है,अतः $P$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ है।
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$ है।
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ रखने पर,समीकरण $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ के लिए,$3h \cos \theta + 2k \cot \theta = 13$ और $3h \sin \theta + 2k \tan \theta = 13$ की तुलना करने पर,सरल करने पर $k = -\frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
माध्यिका $AD$ के दिक्-अनुपात हैं:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-अनुपातों का परिमाण समान होना चाहिए:
$\left| \frac{\lambda - 5}{2} \right| = |1| = \left| \frac{\mu - 8}{2} \right|$
इसका अर्थ है:
$\frac{\lambda - 5}{2} = \pm 1 \Rightarrow \lambda - 5 = \pm 2 \Rightarrow \lambda = 7 \text{ या } 3$
$\frac{\mu - 8}{2} = \pm 1 \Rightarrow \mu - 8 = \pm 2 \Rightarrow \mu = 10 \text{ या } 6$
माध्यिका के समान कोण बनाने के लिए दिक्-अनुपात समान होने चाहिए,अर्थात $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
अतः,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$.
विकल्पों की जांच करने पर,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ के लिए:
$10\lambda - 7\mu = 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
इसलिए,सही संबंध $10\lambda - 7\mu = 0$ है।

(B) माना $S = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$ है।
$S$ के अरिक्त उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^7 - 1 = 127$ है।
माना चुना गया अवयव $x_i$ है। हमें उन अरिक्त उपसमुच्चयों $A$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $x_i \in A$ हो।
किसी भी उपसमुच्चय $A$ के लिए,$7$ अवयवों में से प्रत्येक को शामिल किया जा सकता है या बाहर रखा जा सकता है,जिससे कुल $2^7$ उपसमुच्चय प्राप्त होते हैं।
यदि हम $x_i$ को उपसमुच्चय में निश्चित कर दें,तो शेष $6$ अवयवों को शामिल किया जा सकता है या बाहर रखा जा सकता है,जिससे $2^6 = 64$ ऐसे उपसमुच्चय प्राप्त होते हैं।
चूंकि $64$ शून्य नहीं है,इसलिए ये सभी $64$ उपसमुच्चय अरिक्त हैं।
अतः,$x \in A$ होने की प्रायिकता $\frac{64}{127}$ है।

(D) दिया गया है $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = 1^2$.
$4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ रखने पर,$4 \cos^2 \theta + (1 - \cos^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$3 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$\cos \theta (3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 0$.
चूंकि $\theta \neq \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta \neq 0$,अतः $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
दिए गए समीकरण में मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(A) माना मीनार की ऊँचाई $AB = h$ और दूरी $BC = x$ है।
$\Delta ABC$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$.
$\Delta ABP$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{PB} = \frac{h}{x + 2}$.
$x = h \cot \beta$ रखने पर,$\tan \alpha = \frac{h}{h \cot \beta + 2}$.
$\Rightarrow h \cot \beta + 2 = h \cot \alpha$.
$\Rightarrow 2 = h(\cot \alpha - \cot \beta) = h \left( \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} \right)$.
$\Rightarrow h = \frac{2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\beta - \alpha)}$.

(C) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-5} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3k + 1, k + 3, -5k + 4)$ है।
रेखा $L_1$ और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ को खोजने के लिए,$P$ के निर्देशांक को समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$2(3k + 1) - (k + 3) + (-5k + 4) + 3 = 0$
$6k + 2 - k - 3 - 5k + 4 + 3 = 0$
$6 = 0$,जो असंभव है। इसका अर्थ है कि रेखा समतल के समानांतर है।
माना $A(1, 3, 4)$ रेखा पर एक बिंदु है। समतल में $A$ का प्रतिबिंब $A'$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 3 + 4 + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
अतः,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$,$y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$,$z - 4 = -2 \Rightarrow z = 2$. इस प्रकार,$A'(-3, 5, 2)$.
प्रतिबिंब रेखा $A'(-3, 5, 2)$ से गुजरती है और मूल रेखा के समानांतर है,इसलिए इसके दिशा अनुपात $(3, 1, -5)$ हैं।
प्रतिबिंब रेखा का समीकरण $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{-5}$ है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4\sin^2\frac{x}{2} - 4\sin\frac{x}{2}} \; dx$ है।
इसे $I = \int_0^\pi \sqrt{(1 - 2\sin\frac{x}{2})^2} \; dx = \int_0^\pi |1 - 2\sin\frac{x}{2}| \; dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $1 - 2\sin\frac{x}{2} = 0$ तब होता है जब $\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$।
$0 \le x < \frac{\pi}{3}$ के लिए,$1 - 2\sin\frac{x}{2} > 0$। $\frac{\pi}{3} < x \le \pi$ के लिए,$1 - 2\sin\frac{x}{2} < 0$।
अतः,$I = \int_0^{\pi/3} (1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx + \int_{\pi/3}^\pi -(1 - 2\sin\frac{x}{2}) \; dx$।
$I = [x + 4\cos\frac{x}{2}]_0^{\pi/3} - [x + 4\cos\frac{x}{2}]_{\pi/3}^\pi$।
$I = ((\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}) - (0 + 4\cos 0)) - ((\pi + 4\cos\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{3} + 4\cos\frac{\pi}{6}))$।
$I = (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4) - ((\pi + 0) - (\frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3}))$।
$I = \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} - 4 - \pi + \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 4 - \frac{\pi}{3}$।

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और परवलय $y^2 = 1-x$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 1-x$ को $x^2 + y^2 = 1$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 1$.
$x = 0$ के लिए,$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. $x = 1$ के लिए,$y^2 = 0 \implies y = 0$.
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{0} 2\sqrt{1-x} \, dx + \int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} \, dx$.
गणना करने पर,कुल क्षेत्रफल $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(n) = \alpha^n + \beta^n$। सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{vmatrix}$ है।
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix}$।
प्रत्येक सारणिक एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$ होता है।
अतः,$\Delta = [(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)]^2 = (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$।
इसकी तुलना $K(1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$ से करने पर,हमें $K = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जहाँ $AA' = A'A$ और $B = A^{-1}A'$ है।
हमें $BB'$ ज्ञात करना है।
$B' = (A^{-1}A')' = (A')'(A^{-1})' = A(A')^{-1} = A(A^{-1})'$.
अब,$BB' = (A^{-1}A')(A(A^{-1})') = A^{-1}(A'A)(A^{-1})'$.
चूंकि $A'A = AA'$,इसलिए $BB' = A^{-1}(AA')(A^{-1})'$.
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,$BB' = (A^{-1}A)(A')(A^{-1})' = I(A')(A^{-1})' = A'(A^{-1})'$.
चूंकि $A'(A^{-1})' = (A^{-1}A)' = I' = I$,इसलिए हमें $BB' = I$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ होगा।
चूंकि $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर $f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^5}} = 1 + (g(x))^5$ होगा।

(B) माना $h(x) = f(x) - 2g(x)$.
चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $[0, 1]$ पर अवकलनीय है।
अंत बिंदुओं पर $h(x)$ के मान ज्ञात करें:
$h(0) = f(0) - 2g(0) = 2 - 2(0) = 2$.
$h(1) = f(1) - 2g(1) = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.
चूंकि $h(0) = h(1) = 2$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $h'(c) = 0$ है।
$h'(x) = f'(x) - 2g'(x)$.
$h'(c) = 0$ रखने पर,$f'(c) - 2g'(c) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f'(c) = 2g'(c)$।

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log |x| + \beta x^2 + x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
चूंकि $x = -1$ और $x = 2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर $f'(x) = 0$ होगा।
$x = -1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1} + 2\beta(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 2\beta = 1$ (समीकरण $1$).
$x = 2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + 4\beta + 1 = 0 \Rightarrow \alpha + 8\beta = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - 1 \Rightarrow 6\beta = -3 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{2}$.
$\beta = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $\alpha + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \alpha - 1 = 1 \Rightarrow \alpha = 2$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, -\frac{1}{2})$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp(t)}{dt} = \frac{1}{2}p(t) - 200 = \frac{p(t) - 400}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 400} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |p(t) - 400| = \frac{t}{2} + C$.
इसका अर्थ है $|p(t) - 400| = e^{C} \cdot e^{t/2}$,या $p(t) - 400 = Ke^{t/2}$ जहाँ $K = \pm e^C$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 100$ का उपयोग करने पर: $100 - 400 = Ke^0 \implies K = -300$.
$K$ का मान समीकरण में रखने पर: $p(t) - 400 = -300e^{t/2}$.
अतः,$p(t) = 400 - 300e^{t/2}$.

(D) माना $I = \int \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( {e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) {e^{x + \frac{1}{x}}}} \right) dx$.
माना $f(x) = x e^{x + \frac{1}{x}}$.
तब,गुणन नियम के अनुसार,$f'(x) = 1 \cdot e^{x + \frac{1}{x}} + x \cdot e^{x + \frac{1}{x}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$.
$f'(x) = e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) e^{x + \frac{1}{x}}$.
यह समाकल्य से मेल खाता है।
अतः,$\int f'(x) dx = f(x) + C$.
$I = x e^{x + \frac{1}{x}} + C$.

(B) अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]$।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$ है।
तब $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ होगा।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$।
अतः,$[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$।
$= ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$।
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] (\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}))$।
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$।
चूंकि $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \cdot [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$।
इसकी तुलना $\lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ से करने पर,$\lambda = 1$ प्राप्त होता है।

(D) संबंध को $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य: यदि $P$ स्वतुल्य है,तो सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a,a) \in P$ होना चाहिए।
$b=a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec^2 a - \tan^2 a = 1$ प्राप्त होता है,जो कि मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 a - \tan^2 a = 1$ है। अतः,$1=1$ सभी $a$ के लिए सत्य है। इसलिए,$P$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $P$ सममित है,तो यदि $(a,b) \in P$,तो $(b,a) \in P$ होना चाहिए।
यदि $(a,b) \in P$,तो $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ है।
हम जाँचते हैं कि क्या $\sec^2 b - \tan^2 a = 1$ है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sec^2 b - \tan^2 a = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 a - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 a = 2 - (\sec^2 a - \tan^2 b) = 2 - 1 = 1$ है।
अतः,$(b,a) \in P$ है। इसलिए,$P$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $P$ संक्रामक है,तो यदि $(a,b) \in P$ और $(b,c) \in P$,तो $(a,c) \in P$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ और $\sec^2 b - \tan^2 c = 1$ है।
हमें जाँच करनी है कि क्या $\sec^2 a - \tan^2 c = 1$ है।
पहले समीकरण से,$\sec^2 a = 1 + \tan^2 b$ है। दूसरे से,$\tan^2 c = \sec^2 b - 1$ है।
तब $\sec^2 a - \tan^2 c = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 b - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 b = 2 - 1 = 1$ है।
अतः,$(a,c) \in P$ है। इसलिए,$P$ संक्रामक है।
चूँकि $P$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(a - 1)x - y - z = 0$
$-x + (b - 1)y - z = 0$
$-x - y + (c - 1)z = 0$
शून्येतर हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ -1 & b - 1 & -1 \\ -1 & -1 & c - 1 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_3$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ 0 & b & -c \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a - 1)(bc - 0) + 1(0 - ac) - 1(0 + ab) = 0$
$(a - 1)(bc) - ac - ab = 0$
$abc - bc - ac - ab = 0$
$abc = ab + bc + ca$
अतः,$ab + bc + ca = abc$.

(A) दिया गया है कि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $B^2 = 0$ है।
$(I + B)^{50}$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$(I + B)^{50} = {^{50}C_0}I^{50} + {^{50}C_1}I^{49}B + {^{50}C_2}I^{48}B^2 + {^{50}C_3}I^{47}B^3 + \dots + {^{50}C_{50}}B^{50}$.
चूंकि $B^2 = 0$,इसलिए सभी $n \ge 2$ के लिए $B^n = 0$ होगा।
अतः,विस्तार का सरलीकृत रूप होगा:
$(I + B)^{50} = I + 50B + 0 + 0 + \dots + 0 = I + 50B$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\det[(I + B)^{50} - 50B] = \det[I + 50B - 50B] = \det[I]$.
चूंकि $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $\det[I] = 1$ होगा।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to 0} g(x))$.
सबसे पहले,आंतरिक फलन की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ से गुणा और भाग करने पर: $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{\left( \frac{3x}{2} \right)^2} = \frac{9}{2} \cdot (1)^2 = \frac{9}{2}$.
चूंकि $f(x)$ सतत है,$\lim_{x \to 0} f \left( \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \frac{9}{2} \right)$.
दिया गया है कि $f \left( \frac{9}{2} \right) = \frac{2}{9}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{2}{9}$ है।

(D) दिया गया है,$y = e^{nx}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = ne^{nx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = n^2 e^{nx} \quad \dots(1)$.
अब,$y = e^{nx} \implies nx = \log_e y \implies x = \frac{1}{n} \log_e y$.
$x$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y}$.
पुनः $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{n(e^{nx})^2} = -\frac{1}{n e^{2nx}} \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right) = (n^2 e^{nx}) \left( -\frac{1}{n e^{2nx}} \right) = -n e^{nx - 2nx} = -n e^{-nx}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय है और $f(-1) = f(1)$ है,तो कम से कम एक $c \in (-1, 1)$ ऐसा विद्यमान होगा कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,$f(-1) = f(1)$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$
$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$
$f(1) = f(-1)$ रखने पर:
$2 + a + b = -2 + a - b$
$2b = -4 \implies b = -2$
अब,$c = \frac{1}{2}$ पर $f'(c) = 0$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$
$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$
$\frac{3}{2} + a + b = 0$
$b = -2$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$
$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$
अंत में,$2a + b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

(B) दिया गया है $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x - 1$.
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
यह समीकरण $3^x + 4^x = 5^x$ को हल करने के समान है।
दोनों पक्षों को $5^x$ से विभाजित करने पर: $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
माना $g(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.
चूंकि $(\frac{3}{5})^x$ और $(\frac{4}{5})^x$ दोनों $x \in R$ के लिए निरंतर घटते हुए फलन हैं,इसलिए उनका योग $g(x)$ भी एक निरंतर घटता हुआ फलन है।
एक निरंतर घटता हुआ फलन क्षैतिज रेखा $y = 1$ को अधिकतम एक बार काट सकता है।
निरीक्षण करने पर,$x = 2$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
अतः,$x = 2$ एकमात्र हल है।

(B) माना $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int {\frac{{({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx$
चूंकि ${{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)^2 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x = 1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न प्राप्त होता है:
$I = \int {({{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x)} dx$
इसके अलावा,${{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x = ({{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x)({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x) = -\cos 2x \cdot 1 = -\cos 2x$
अतः,$I = \int {-\cos 2x} dx = -\frac{{\sin 2x}}{2} + c$

(C) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.
$2x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = \sec^2 \theta d\theta$,जिससे $dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$. जब $x = 1/2$,तब $\theta = \pi/4$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + \tan \theta)}{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,व्यंजक सरल हो जाता है:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan \theta) d\theta$ --- $(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan(\pi/4 - \theta)) d\theta$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + \tan \theta + 1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right) d\theta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + \tan \theta}\right) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + \tan \theta)) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [\theta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan \theta) d\theta$
$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$
$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

(B) क्षेत्र $A$ परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $y = 2x - 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{4}$ को रेखा के समीकरण $x = \frac{y+4}{2}$ में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{y^2}{4} = \frac{y+4}{2} \implies y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$,अतः $y = 4$ और $y = -2$.
$y = 4$ के लिए,$x = 4$. $y = -2$ के लिए,$x = 1$.
क्षेत्रफल $\int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$.
$= (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12})$.
$= (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर $x-$अक्ष को स्पर्श करने वाले और $(0, a)$ केंद्र वाले सभी वृत्तों के परिवार का समीकरण है:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay = 0$ ... $(1)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a\frac{dy}{dx} = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a\frac{dy}{dx}$
$a = \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 + y^2 - 2y \left( \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2y(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2xy - 2y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = 2xy$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = g(x)y$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g(x)y = 2xy$
$g(x) = 2x$

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} = \lambda$ .......$(1)$
और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \mu$ ....$(2)$
रेखा $(1)$ पर कोई बिंदु $P(3\lambda+1, \lambda+2, 2\lambda+3)$ है और रेखा $(2)$ पर बिंदु $Q(\mu+3, 2\mu+1, 3\mu+2)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$3\lambda+1 = \mu+3 \implies 3\lambda - \mu = 2$
$\lambda+2 = 2\mu+1 \implies \lambda - 2\mu = -1$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda=1$ और $\mu=1$ प्राप्त होता है।
$\lambda=1$ को $P$ में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $R(4, 3, 5)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $R(4, 3, 5)$ से गुजरने वाला और मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से अधिकतम दूरी पर स्थित समतल वह है जिसके लिए सदिश $\vec{OR}$ अभिलंब सदिश है।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OR} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है,जहाँ $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ और $(x_0, y_0, z_0) = (4, 3, 5)$.
$4(x-4) + 3(y-3) + 5(z-5) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 + 5z - 25 = 0$
$4x + 3y + 5z = 50$.

(C) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ $\theta$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos \theta$ और $m = \cos \theta$ है।
मान लीजिए $z$-अक्ष के साथ कोण $\phi$ है। तब $n = \cos \phi$ होगा।
दिक्-कोज्याओं के लिए शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$।
अतः,$\cos^2 \phi = 1 - 2 \cos^2 \theta = - \cos 2 \theta$।
चूँकि $\cos^2 \phi \ge 0$,इसलिए $-\cos 2 \theta \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos 2 \theta \le 0$।
दिया गया है कि $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 2 \theta \le \pi$ है।
अंतराल $(0, \pi]$ में $\cos 2 \theta \le 0$ के लिए,$\frac{\pi}{2} \le 2 \theta \le \pi$ होगा।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta$ के सभी मानों का समुच्चय $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ है।

(C) दिया गया है कि $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$ रखने पर:
$4(2)^2 + (3)^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अब,$|2\vec{a} + \vec{b}|$ ज्ञात करने के लिए:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$।
मान रखने पर:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4(4) + 9 + 4(0) = 16 + 9 = 25$।
अतः,$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$।

(A) दिया गया है $A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$. अतः,$AB = C$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = B C^{-1}$.
सबसे पहले,$C^{-1}$ ज्ञात करें। चूँकि $C$ एक क्रमचय आव्यूह (permutation matrix) है,$C^{-1} = C^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (1)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (1)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (0)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (0)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(1)(0)+(1)(1) & (0)(1)+(1)(0)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(1)+(1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) मान लीजिए $p_i(x) = a_i x^2 + b_i x + c_i$ जहाँ $i = 1, 2, 3$ है। तब $p'_i(x) = 2a_i x + b_i$ और $p''_i(x) = 2a_i$ होगा।
आव्यूह $A(x)$ इस प्रकार है:
$A(x) = \begin{bmatrix} a_1 x^2 + b_1 x + c_1 & 2a_1 x + b_1 & 2a_1 \\ a_2 x^2 + b_2 x + c_2 & 2a_2 x + b_2 & 2a_2 \\ a_3 x^2 + b_3 x + c_3 & 2a_3 x + b_3 & 2a_3 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $\det(B(x)) = \det([A(x)]^T A(x)) = \det([A(x)]^T) \det(A(x)) = (\det(A(x)))^2$ है।
$A(x)$ के स्तंभों का अवलोकन करें। मान लीजिए $C_1, C_2, C_3$ $A(x)$ के स्तंभ हैं।
$C_1 = x^2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$.
$C_2 = 2x \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$.
$C_3 = 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$.
स्तंभों पर संक्रिया करने पर,सारणिक $\det(A(x))$ एक अचर प्राप्त होता है। इसलिए,$\det(B(x)) = (\det(A(x)))^2$ भी एक अचर है। अतः,यह $x$ पर निर्भर नहीं करता है।

(C) दिया गया है $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$.
$h(x) = g(f(x)) = \sin(x|x|)$.
चूंकि $x|x| = x^2$ जब $x \ge 0$ और $-x^2$ जब $x < 0$ है,इसलिए $h(x) = \begin{cases} \sin(x^2) & x \ge 0 \\ -\sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
अब,$h'(x) = \begin{cases} 2x \cos(x^2) & x \ge 0 \\ -2x \cos(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर,$LHL = \lim_{x \to 0^-} (-2x \cos(x^2)) = 0$ और $RHL = \lim_{x \to 0^+} (2x \cos(x^2)) = 0$. चूंकि $h'(0) = 0$,इसलिए $h'(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अब,$h''(x)$ ज्ञात करके $x = 0$ पर $h'(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करें:
$h''(x) = \begin{cases} 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) & x > 0 \\ -2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$LHD = \lim_{x \to 0^-} (-2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2)) = -2$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} (2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2)) = 2$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $h'(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है,$y = 3 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{3}{2} \cdot 2 \cos 2\theta = 3 \cos 2\theta$.
दिया गया है $x = e^{\theta} \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \sin \theta + e^{\theta} \cos \theta = e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos 2\theta}{e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)}$.
स्पर्शरेखा $x-$अक्ष के समानांतर होती है जब $\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $3 \cos 2\theta = 0$.
$\cos 2\theta = 0 \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ (चूंकि $0 \leq \theta \leq \pi$,$0 \leq 2\theta \leq 2\pi$).
$2\theta = \frac{\pi}{2}$ या $2\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ पर हर $e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$ की जाँच करने पर: $\sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
चूंकि हर $\theta = \frac{3\pi}{4}$ पर शून्य हो जाता है,इसलिए अवकलज अपरिभाषित है।
अतः,एकमात्र मान्य समाधान $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना $OA = x \ km$,$OB = y \ km$,और $AB = R \ km$ है।
$\triangle AOB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(120^o)$
चूंकि $\cos(120^o) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy(-\frac{1}{2}) = x^2 + y^2 + xy \quad \dots(1)$
दिए गए समय पर,$x = 8 \ km$ और $y = 6 \ km$ है:
$R^2 = 8^2 + 6^2 + (8 \times 6) = 64 + 36 + 48 = 148$
$R = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \ km$।
समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2R \frac{dR}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} + (x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt})$
यहाँ $\frac{dx}{dt} = 20 \ km/hr$ और $\frac{dy}{dt} = 30 \ km/hr$ दिया गया है:
$2(2\sqrt{37}) \frac{dR}{dt} = 2(8)(20) + 2(6)(30) + (8 \times 30 + 6 \times 20)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 320 + 360 + (240 + 120)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 680 + 360 = 1040$
$\frac{dR}{dt} = \frac{1040}{4\sqrt{37}} = \frac{260}{\sqrt{37}} \ km/hr$।

(C) माना गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
गोले की त्रिज्या,बेलन की त्रिज्या और बेलन की आधी ऊँचाई से बने समकोण त्रिभुज में:
$R^2 = r^2 + (h/2)^2$
$(\sqrt{3})^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$
$3 = r^2 + \frac{h^2}{4} \Rightarrow r^2 = 3 - \frac{h^2}{4}$
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (3 - \frac{h^2}{4})h = 3\pi h - \frac{\pi h^3}{4}$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dh} = 3\pi - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$
$3\pi = \frac{3\pi h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
$h = 2$ को आयतन के सूत्र में रखने पर:
$V = \pi (3 - \frac{2^2}{4})(2) = \pi (3 - 1)(2) = 4\pi$.

(A) माना $I = \int x \cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) dx$.
चूंकि $x > 0$,हम $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} x$.
तब $\cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$.
अतः,$I = \int x (2\tan^{-1} x) dx = 2 \int x \tan^{-1} x dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \tan^{-1} x$ और $dv = x dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx \right] + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx + c$.
$I = x^2 \tan^{-1} x - x + \tan^{-1} x + c$.
$I = (x^2 + 1) \tan^{-1} x - x + c$.

(D) दिया गया है $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$.
माना $\log x = t$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$.
जब $x = 1$,तब $t = 0$ और जब $x = e$,तब $t = 1$.
अतः,$P_n = \int\limits_0^1 t^n e^t \, dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = t^n$ और $dv = e^t \, dt$,तब $du = nt^{n-1} \, dt$ और $v = e^t$.
$P_n = [t^n e^t]_0^1 - n \int\limits_0^1 t^{n-1} e^t \, dt = e - n P_{n-1}$.
इसलिए,$P_{10} = e - 10 P_9$.
साथ ही,$P_9 = e - 9 P_8$.
$P_{10}$ के समीकरण में $P_9$ का मान रखने पर:
$P_{10} = e - 10(e - 9 P_8) = e - 10e + 90 P_8$.
$P_{10} = -9e + 90 P_8$.
अतः,$P_{10} - 90 P_8 = -9e$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ है।
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,जो सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$।
दिया गया व्यापक हल $y \ln |cx| = x$ को $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$।
दोनों पक्षों का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$।
हमारे पिछले समीकरण $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ से,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$।
इस मान को अवकलज के परिणाम में रखने पर: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,जो दर्शाता है कि $\phi(1/v) = -v^2$।
हमें $\phi(2)$ ज्ञात करना है। माना $\frac{1}{v} = 2$,अतः $v = \frac{1}{2}$।
इसलिए $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
चूंकि समतल रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ को समाहित करता है,यह $(1, 2, 3)$ से गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ के लंबवत है।
अतः,$a(1) + b(2) + c(3) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0$ $(i)$.
चूंकि समतल रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$ के समांतर है,इसका अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1, 4)$ के भी लंबवत है।
अतः,$a(1) + b(1) + c(4) = 0 \implies a + b + 4c = 0$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $\frac{a}{8-3} = \frac{b}{3-4} = \frac{c}{1-2} = k$.
अतः,$a = 5k, b = -k, c = -k$.
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$.
$5x - 5 - y + 2 - z + 3 = 0 \implies 5x - y - z = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर,$(1, 0, 5)$ के लिए: $5(1) - 0 - 5 = 0$.
अतः,समतल $(1, 0, 5)$ बिंदु से होकर गुजरता है।

(D) माना $\vec{c} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $\vec{c} \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{c}$ सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ के समांतर है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})$ होगा।
दिया गया है कि $|\vec{c}|^2 = 60$,इसलिए $k^2(1^2 + 2^2 + 5^2) = 60$ होगा।
$k^2(1 + 4 + 25) = 60 \Rightarrow 30k^2 = 60 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm\sqrt{2}$।
$k = \sqrt{2}$ लेने पर,हमें $\vec{c} = \sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{c} \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ की गणना करते हैं:
$= (\sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$= \sqrt{2}(-7) + 2\sqrt{2}(2) + 5\sqrt{2}(3)$
$= -7\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$।

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X = 2) = P(X = 3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $^{n}C_{2} p^{2} (1-p)^{n-2} = ^{n}C_{3} p^{3} (1-p)^{n-3}$।
दोनों पक्षों को $p^{2} (1-p)^{n-3}$ से विभाजित करने पर: $^{n}C_{2} (1-p) = ^{n}C_{3} p$।
संयोजन के सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n!}{2!(n-2)!} (1-p) = \frac{n!}{3!(n-3)!} p$।
सरल करने पर: $\frac{1}{2} (1-p) = \frac{1}{3(n-2)} (n-2) p$ अर्थात $\frac{1-p}{2} = \frac{(n-2)p}{6}$।
अतः,$3(1-p) = (n-2)p$।
$3 - 3p = np - 2p$।
$np = 3 - p$।
चूंकि द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ होता है,इसलिए $E(X) = 3 - p$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ (a + \lambda)^2 - (a - \lambda)^2 & (b + \lambda)^2 - (b - \lambda)^2 & (c + \lambda)^2 - (c - \lambda)^2 \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ 4a\lambda & 4b\lambda & 4c\lambda \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_2$ से $4\lambda$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ (a - \lambda)^2 & (b - \lambda)^2 & (c - \lambda)^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \to R_3 - R_1 + 2\lambda R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
चूंकि $(a - \lambda)^2 = a^2 + \lambda^2 - 2a\lambda$,इसलिए $R_3 - R_1 + 2\lambda R_2 = \lambda^2$ प्राप्त होता है:
$\Delta = 4\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ \lambda^2 & \lambda^2 & \lambda^2 \end{array} \right|$.
$R_3$ से $\lambda^2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 4\lambda^3 \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
दिए गए समीकरण $k\lambda \left| \begin{array}{ccc} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$ से तुलना करने पर,$k\lambda = 4\lambda^3$ प्राप्त होता है,अतः $k = 4\lambda^2$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(y) + 2(x) + x(1) \\ 3(y) - 1(x) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y + 3x \\ 3y - x + 2 \end{bmatrix}$.
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर:
$y + 3x = 6$ (समीकरण $1$)
$3y - x + 2 = 8 \Rightarrow 3y - x = 6$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$y = 6 - 3x$. इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर:
$3(6 - 3x) - x = 6$
$18 - 9x - x = 6$
$18 - 10x = 6$
$10x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$x = \frac{6}{5}$ का मान $y = 6 - 3x$ में रखने पर:
$y = 6 - 3(\frac{6}{5}) = 6 - \frac{18}{5} = \frac{30 - 18}{5} = \frac{12}{5}$.
$x$ और $y$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $y = 2x$ (क्योंकि $\frac{12}{5} = 2 \times \frac{6}{5}$).
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $x=0$ पर $f(x)$ के लिए:
$LHL = \lim_{h \to 0^-} (-h) \sin(-1/h) = \lim_{h \to 0^-} h \sin(1/h) = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0^+} h \sin(1/h) = 0$.
चूंकि $f(0) = 0$,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $f$,$x=0$ पर सतत है। कथन $I$ सही है।
$g(x) = x f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ के लिए।
$x=0$ पर अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि सीमा मौजूद है और परिमित है,इसलिए $g$,$x=0$ पर अवकलनीय है। कथन $II$ सही है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 - x + 5$ जहाँ $x > \frac{1}{2}$ है।
$g'(7)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिलोम फलन के अवकलन का सूत्र उपयोग करेंगे: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,जहाँ $y = f(x)$ है।
सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करें ताकि $f(x) = 7$ हो:
$x^2 - x + 5 = 7 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
चूँकि $x > \frac{1}{2}$ है,इसलिए $x = 2$ होगा।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 5) = 2x - 1$.
$x = 2$ पर,$f'(2) = 2(2) - 1 = 3$.
अतः,$g'(7) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{3}$।

(B) दिया गया है कि $f'(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
दिया गया है कि $g'(x) < 0$,इसलिए $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(x)$ ह्रासमान फलन है,इसलिए किसी भी $x_1 < x_2$ के लिए,$g(x_1) > g(x_2)$ होता है।
विशेष रूप से,$x < x+1$ के लिए,$g(x) > g(x+1)$ होता है।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान फलन है,इसलिए असमिका $g(x) > g(x+1)$ के दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने से असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
इसलिए,$f(g(x)) > f(g(x+1))$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) माना $I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^3 x + \cos^3 x)^2} dx$
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x}}{(\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\cos^3 x})^2} dx$
$I = \int \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1 + \tan^3 x)^2} dx$
माना $1 + \tan^3 x = t$. तब $3 \tan^2 x \sec^2 x dx = dt$,अर्थात $\tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-2} dt$
$I = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{3t} + c$
$t = 1 + \tan^3 x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{3(1 + \tan^3 x)} + c$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} [\cos(\pi - x)] \, dx = \int_{0}^{\pi} [-\cos x] \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} ([\cos x] + [-\cos x]) \, dx$
चूँकि $[x] + [-x] = -1$ यदि $x \notin \mathbb{Z}$ और $0$ यदि $x \in \mathbb{Z}$,और $[0, \pi]$ अंतराल में $\cos x \in \mathbb{Z}$ वाले बिंदुओं का समुच्चय सीमित है (माप शून्य है),इसलिए:
$2I = \int_{0}^{\pi} (-1) \, dx$
$2I = -[x]_{0}^{\pi} = -\pi$
$I = -\frac{\pi}{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$
समाकलन को अलग करने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \int_{-\pi}^{t} x dx = \pi^2 - t^2$
दूसरे समाकलन का मान: $\int_{-\pi}^{t} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{t} = \frac{t^2}{2} - \frac{(-\pi)^2}{2} = \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2}$
इस मान को रखने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} = \pi^2 - t^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx = \pi^2 - t^2 - \frac{t^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} = \frac{3}{2}\pi^2 - \frac{3}{2}t^2 = \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2)$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $\frac{d}{dt} \left[ \int_{-\pi}^{t} f(x) dx \right] = \frac{d}{dt} \left[ \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2) \right]$
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार: $f(t) = \frac{3}{2}(0 - 2t) = -3t$
अतः,$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -3 \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi$

(D) दिया गया है,$\sin 2x \left( \frac{dy}{dx} - \sqrt{\tan x} \right) - y = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin 2x} = \sqrt{\tan x}$
चूंकि $\frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - y \csc 2x = \sqrt{\tan x}$ ....$(1)$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\csc 2x$ और $Q = \sqrt{\tan x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx} = e^{\int -\csc 2x dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|\tan x|} = e^{\ln(\tan x)^{-1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = \sqrt{\cot x}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y \sqrt{\cot x} = \int \sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} dx + c$.
चूंकि $\sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} = 1$,हमें प्राप्त होता है: $y \sqrt{\cot x} = \int 1 dx + c$.
अतः,$y \sqrt{\cot x} = x + c$.

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $x - ay = b$ और $z - cy = d$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि रेखा दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होती है।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -a, 0)$ और $\vec{n_2} = (0, -c, 1)$ हैं।
दिक अनुपात सदिश गुणनफल $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -a & 0 \\ 0 & -c & 1 \end{vmatrix} = (-a, -1, -c)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
यह दिक अनुपात $(a, 1, c)$ के समतुल्य है।
अब,रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करते हैं। यदि $y = 1$ लें,तो $x = a + b$ और $z = c + d$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(a + b, 1, c + d)$ है।
इसलिए,रेखा का सममित रूप $\frac{x - (a + b)}{a} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - (c + d)}{c}$ है।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $4x - 2y - 4z + 1 = 0$ और $4x - 2y - 4z + d = 0$ हैं।
चूंकि $x, y$ और $z$ के गुणांक समानुपाती हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $D = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 4, B = -2, C = -4, D_1 = 1,$ और $D_2 = d$ है।
दूरी $7$ दी गई है।
अतः,$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{16 + 4 + 16}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{36}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{6}$.
$|d - 1| = 42$.
इसका अर्थ है कि $d - 1 = 42$ या $d - 1 = -42$ है।
यदि $d - 1 = 42$ है,तो $d = 43$ है।
यदि $d - 1 = -42$ है,तो $d = -41$ है।
अतः,$d = 43$ या $d = -41$ है।

(B) दिया गया है कि $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,$|\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}|^2 \geq 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$ प्राप्त होता है।
परिमाण रखने पर,$1 + 1 + 1 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$,जिसका अर्थ है $3 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$.
अतः,$2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$.
अब,व्यंजक $S = |\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ पर विचार करें।
$S = (\hat{x} \cdot \hat{x} + \hat{y} \cdot \hat{y} + 2\hat{x} \cdot \hat{y}) + (\hat{y} \cdot \hat{y} + \hat{z} \cdot \hat{z} + 2\hat{y} \cdot \hat{z}) + (\hat{z} \cdot \hat{z} + \hat{x} \cdot \hat{x} + 2\hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(1 + 1 + 1) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) = 6 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
चूंकि $2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान $6 - 3 = 3$ है।

(D) कथन $II$ के लिए: हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें $-\frac{3\pi}{4} \le \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $0 \le (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $u = \sin^{-1} x$ है। तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ होगा। समीकरण $u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = a\pi^3$ बन जाता है।
इसका विस्तार करने पर,$u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = a\pi^3$ प्राप्त होता है।
$\frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8} - a\pi^3 = 0$ है।
$\frac{3\pi}{2}$ से भाग देने पर,$u^2 - \frac{\pi}{2}u + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ है।
$(u - \frac{\pi}{4})^2 = \frac{2a\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{48}(32a - 1)$ है।
चूंकि $0 \le (u - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ है,इसलिए $0 \le \frac{\pi^2}{48}(32a - 1) \le \frac{9\pi^2}{16}$ होगा।
$0 \le 32a - 1 \le 27$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{32} \le a \le \frac{7}{8}$ है।
चूंकि समीकरण का हल केवल $a \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8}]$ के लिए ही संभव है,इसलिए यह कथन कि इसका सभी $a \ge \frac{1}{32}$ के लिए हल है,असत्य है।