એક પરિવારમાં $8$ વ્યક્તિઓ છે. જો $4$ વ્યક્તિઓને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે અને તે $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ હોવાનું જણાય,તો તે પરિવારમાં પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક કંપની પાસે મોટરસાયકલ બનાવવા માટે બે પ્લાન્ટ $A$ અને $B$ છે. $60 \%$ મોટરસાયકલ પ્લાન્ટ $A$ માં બનાવવામાં આવે છે અને બાકીની પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવે છે. પ્લાન્ટ $A$ માં ઉત્પાદિત $80 \%$ મોટરસાયકલ પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે,જ્યારે પ્લાન્ટ $B$ માં ઉત્પાદિત $90 \%$ મોટરસાયકલ પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે. કુલ ઉત્પાદનમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ એક મોટરસાયકલ પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની જોવા મળે છે. જો $p$ એ સંભાવના હોય કે તે પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવી હતી,તો $126 p$ ની કિંમત શોધો.

એક વિદ્યાર્થી $5$ વિકલ્પો ધરાવતા બહુવિકલ્પ પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે,જેમાંથી બરાબર $1$ સાચો છે. તે સાચો જવાબ જાણે છે તેની સંભાવના $p$ છે,જ્યાં $0 < p < 1$. જો તે સાચો જવાબ જાણતો ન હોય,તો તે યાદચ્છિક રીતે $1$ જવાબ પસંદ કરે છે. જો તેણે પ્રશ્નનો જવાબ સાચો આપ્યો હોય,તો તેણે જવાબ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો નથી તેની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ કાર્ટન $A, B, C$ માં ખામીયુક્ત રમકડું હોવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{5}$ છે. જો યાદચ્છિક રીતે એક કાર્ટન પસંદ કરવામાં આવે અને તેમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક રમકડું કાઢવામાં આવે અને તે ખામીયુક્ત જણાય,તો તે કાર્ટન $B$ માંથી કાઢવામાં આવ્યું હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ઘટનાઓ $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ નિદર્શાવકાશ $S$ નું વિભાજન કરે છે. $A$ એવી કોઈ ઘટના છે કે જેથી $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$,$P(E_{2} | A) = \frac{1}{2}$ અને $P(A | E_{2}) = \frac{2}{3}$ હોય,તો $P(E_{1} | A)$ શોધો.

એક થેલી $P$ માં $5$ સફેદ લખોટીઓ અને $3$ કાળી લખોટીઓ છે. $P$ માંથી યાદચ્છિક રીતે ચાર લખોટીઓ કાઢીને એક ખાલી થેલી $Q$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો $Q$ માંથી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવેલી લખોટી કાળી માલૂમ પડે,તો $P$ માંની ત્રણેય કાળી લખોટીઓ થેલી $Q$ માં સ્થાનાંતરિત થઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?