બિંદુ $(-3, 2)$ માંથી ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે?

જો રેખાઓ $2x - y + 3 = 0$ અને $4x + ky + 3 = 0$ એ ઉપવલય $5x^2 + 6y^2 - 15 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ને સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તો ત્રિકોણ $AOB$ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે) ના પરિકેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો.

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને બિંદુઓ $(-3, 1)$ તથા $(2, -2)$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જ્યાં $a > b$ છે.

ઉપવલય $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $x$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે. જો આ ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ જેટલું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ તેના પર આવેલું છે?