બિંદુ (0, pi) માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ છે. $y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx

Vedclass · Accepted Answer

$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ છે. $y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ મળે છે. આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = y^2 \cos y$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$. ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે. $x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$. $\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$. તેથી,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$. $x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$. વક્ર $(0, \pi)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$. $0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$. આમ,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$. તેથી,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

બિંદુ $(0, \pi)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \tan x = e^x \sec x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

જો $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(1) = 0$ હોય,તો $x(e)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^{2}\cot x, x\in(0,\pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $6y(\frac{\pi}{6})-8y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module