int_0^{pi / 2} frac{sin x}{1+cos x+sin x} d x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{1+\cos(\pi/2 - x)+\sin(\pi/2 - x)} dx = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$. $I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$. $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\sin x+\cos x) - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{1+\sin x+\cos x}) dx$. $2I = [x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+2\sin(x/2)\cos(x/2)+2\cos^2(x/2)-1} dx$. $2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{2\cos^2(x/2)(	an(x/2)+1)} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2)}{	an(x/2)+1} dx$. ધારો કે $u = 	an(x/2)$,તેથી $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$. $2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{u+1} du = \frac{\pi}{2} - [\log|u+1|]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \log 2$. તેથી,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x=$

Similar Questions

$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $[x]$ એ $x$ થી વધતો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય,તો $\int_0^n {\{x - [x]\} \,dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ હોય,તો $A$ ની કિંમત શું થાય?

$ \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x $

$\int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module