C_1 एक वृत्त है जिसका केंद्र O(0,0) और त्रिज् | vedclass

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Question

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=16$ है। वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ है,जो $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$

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$\frac{3}{5}$

Vedclass · Answer

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=16$ है। वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ है,जो $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$ के रूप में विस्तारित होता है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_2-C_1=0$ द्वारा दिया जाता है,जो $-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2=9$ है। उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $m = -\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{4}$ है। मान लीजिए $\alpha = -3\lambda$ और $\beta = 4\lambda$ है। उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई के लिए,इसे छोटे वृत्त $C_1$ का व्यास होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि जीवा को $C_1$ के केंद्र $(0,0)$ से गुजरना चाहिए। $(0,0)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर: $-2\alpha(0)-2\beta(0)+\alpha^2+\beta^2=9$,अतः $\alpha^2+\beta^2=9$। $\alpha$ और $\beta$ को $\lambda$ के पदों में रखने पर: $(-3\lambda)^2+(4\lambda)^2=9$ $\Rightarrow 25\lambda^2=9$ $\Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{5}$। यदि $\lambda = \frac{3}{5}$ है,तो $\alpha = -\frac{9}{5}$ और $\beta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\alpha+\beta = \frac{3}{5}$।

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