अवकल समीकरण (x-y-1) dy = (x+y+1) dx का व्यापक | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.माना $x = X+h$ और $y = Y+k$,तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.इन मानों को प्रतिस्थापि

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$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.माना $x = X+h$ और $y = Y+k$,तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ प्राप्त होता है।समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,हम $h+k+1 = 0$ और $h-k-1 = 0$ रखते हैं।इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $h = 0$ और $k = -1$ प्राप्त होता है।अतः,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ बन जाता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,जिसका अर्थ है $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.$X^2+Y^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int d\left(	an^{-1}\left(\frac{Y}{X}ight)ight) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.इससे $	an^{-1}\left(\frac{Y}{X}ight) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ प्राप्त होता है।$X = x$ और $Y = y+1$ रखने पर,$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ प्राप्त होता है।अतः,$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$।

अवकल समीकरण $(x-y-1) dy = (x+y+1) dx$ का व्यापक हल है

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