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Question

(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हर में वर्गमूल से $n$ को उभयनिष्ठ लेकर हम व्यंजक को फिर

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$\frac{\pi}{2}$

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(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।हर में वर्गमूल से $n$ को उभयनिष्ठ लेकर हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$.यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(\frac{r}{n})$ के रूप का एक रीमान योग है,जो निश्चित समाकलन $\int_0^1 f(x) dx$ के बराबर है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।अतः,$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ का समाकलन $\sin^{-1}(x)$ होता है।$0$ से $1$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$L = [\sin^{-1}(x)]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

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