AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-x-y=0$ $(i)$ और $x^2+y^2-2y=0$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर: $(x^2+y^2-2y) - (x^2+y^2-x-y) = 0 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y$.
$x=y$ को $(ii)$ में रखने पर: $x^2+x^2=2x \Rightarrow 2x^2-2x=0 \Rightarrow 2x(x-1)=0$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x+2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1-2x}{2y-1} = m_1$.
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x+2y\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-y} = m_2$.
बिंदु $(1,1)$ पर,$m_1 = \frac{1-2}{2-1} = -1$ और $m_2 = \frac{1}{1-1}$ (अपरिभाषित,ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा)।
चूंकि एक स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर है,कोण $\theta$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $|\tan \theta| = |\frac{1}{m_1}| = |\frac{1}{-1}| = 1$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिए गए वक्र $2x^2 + ky^2 = 30$ ...$(i)$ और $3y^2 = 28x$ ...(ii) हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $4x + 2ky \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{ky} = m_1$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6y \frac{dy}{dx} = 28 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{3y} = m_2$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$.
$\left( \frac{-2x}{ky} \right) \left( \frac{14}{3y} \right) = -1 \Rightarrow \frac{28x}{3ky^2} = 1$.
(ii) से,$3y^2 = 28x$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{28x}{k(28x)} = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} = 1 \Rightarrow k = 1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sin x + \cos 2x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$,हम लिख सकते हैं $f(x) = \sin x + 1 - 2\sin^2 x$.
माना $t = \sin x$,जहाँ $t \in [-1, 1]$. तब $g(t) = -2t^2 + t + 1$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $g'(t) = -4t + 1$.
$g'(t) = 0$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g''(t) = -4 < 0$,इसलिए $t = \frac{1}{4}$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
हमें $[0, 2\pi]$ में $x$ के उन मानों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\sin x = \frac{1}{4}$ हो।
चूंकि $\frac{1}{4} > 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{4}$ के अंतराल $[0, 2\pi]$ में दो हल हैं (एक प्रथम चतुर्थांश में और एक द्वितीय चतुर्थांश में)।
अतः,$x$ के ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{x^4+1}=\frac{A x+B}{x^2+\sqrt{2} x+1}+\frac{C x+D}{x^2-\sqrt{2} x+1}$.
दोनों पक्षों को $(x^4+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(A x+B)(x^2-\sqrt{2} x+1)+(C x+D)(x^2+\sqrt{2} x+1)=1$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$ के लिए: $A+C=0 \Rightarrow C=-A$.
$x^0$ (अचर पद) के लिए: $B+D=1$.
$x^2$ के लिए: $B-\sqrt{2} A+D+\sqrt{2} C=0 \Rightarrow (B+D)-\sqrt{2}(A-C)=0$.
चूंकि $B+D=1$ और $C=-A$,हमारे पास $1-\sqrt{2}(2A)=0 \Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ और $C=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$x^1$ के लिए: $A-\sqrt{2} B+C+\sqrt{2} D=0 \Rightarrow (A+C)+\sqrt{2}(D-B)=0$.
चूंकि $A+C=0$,हमारे पास $\sqrt{2}(D-B)=0 \Rightarrow D=B$.
चूंकि $B+D=1$,हमें $2B=1 \Rightarrow B=\frac{1}{2}$ और $D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$B D-A C = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}})(-\frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{A}{x-a}+\frac{B x+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{(x-a)(x^2+b^2)}$
दोनों पक्षों को $(x-a)(x^2+b^2)$ से गुणा करने पर:
$A(x^2+b^2)+(B x+C)(x-a)=1$
पदों का विस्तार करने पर:
$(A+B)x^2+(C-a B)x+(A b^2-a C)=1$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B=0$ ....$(i)$
$C-a B=0$ ....$(ii)$
$A b^2-a C=1$ ....$(iii)$
$(i)$ से,$B=-A$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$C-a(-A)=0 \Rightarrow C+a A=0 \Rightarrow A=\frac{-C}{a}$
$A=\frac{-C}{a}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$(\frac{-C}{a})b^2-a C=1$
$-C(\frac{b^2+a^2}{a})=1$
$C=\frac{-a}{a^2+b^2}$

(D) हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके व्यंजक का अपघटन करते हैं:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^2)(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{A'}{x} + \frac{B'}{x^2} + \frac{C'x+D'}{x^2+1} + \frac{E'x+F'}{x^2+2} + \frac{G'x+H'}{x^2+3}$.
गुणांकों की तुलना करके और समीकरणों की प्रणाली को हल करके,हमें प्राप्त होता है:
$A' = \frac{1}{6}, B' = \frac{1}{3}, C' = -\frac{1}{2}, D' = -1, E' = \frac{1}{2}, F' = 1, G' = -\frac{1}{6}, H' = -\frac{1}{3}$.
इन मानों को वापस रखकर,हम पदों को प्रश्न में दिए गए रूप से मिलाने के लिए समूहित करते हैं:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^4+x^2)(x^2+2)} = \frac{-\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}}{x^2+3} + \frac{\frac{1}{2}x + 1}{x^2+2} + \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{3}}{x^4+x^2}$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करने पर,हम पहचानते हैं:
$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}, D = 1, E = -\frac{1}{3}, F = -\frac{2}{3}, G = \frac{1}{6}, H = \frac{1}{3}$.
अंत में,आवश्यक मान की गणना करते हुए:
$(E+F)(C+D)(A) = (-\frac{1}{3} - \frac{2}{3})(\frac{1}{2} + 1)(-\frac{1}{6}) = (-1)(\frac{3}{2})(-\frac{1}{6}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
दाईं ओर के पदों को जोड़ने पर: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
चूंकि हर समान हैं,हम अंशों की तुलना करते हैं: $13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर: $13x + 43 = (A + 2B)x + (6A + 5B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$A + 2B = 13$ ... $(i)$
$6A + 5B = 43$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$A = 13 - 2B$. इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$6(13 - 2B) + 5B = 43$
$78 - 12B + 5B = 43$
$-7B = 43 - 78$
$-7B = -35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A + 10 = 13 \Rightarrow A = 3$
अतः,$A + B = 3 + 5 = 8$.

(C) माना $x-2 = t$,इसलिए $x = t+2$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $4(t+2)^2 + 5 = 4(t^2 + 4t + 4) + 5 = 4t^2 + 16t + 21$.
अब,$\frac{4t^2 + 16t + 21}{t^4} = \frac{4}{t^2} + \frac{16}{t^3} + \frac{21}{t^4}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t^3} + \frac{D}{t^4}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 0$,$B = 4$,$C = 16$,और $D = 21$.
अब,$\sqrt{\frac{A+B+D}{C}} = \sqrt{\frac{0+4+21}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिए गए समीकरण रेखाओं के युग्म को दर्शाते हैं।
प्रथम वक्र $3x^2-y^2-2xy+4x+1=0$ के लिए,इसे $3x^2+(4-2y)x+(1-y^2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-(4-2y) \pm \sqrt{(4-2y)^2 - 4(3)(1-y^2)}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16-16y+4y^2-12+12y^2}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16y^2-16y+4}}{6} = \frac{(2y-4) \pm 2(2y-1)}{6} = \frac{(y-2) \pm (2y-1)}{3}$.
यह दो रेखाएं देता है: $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: 3x+y+1=0$.
दूसरे वक्र $3x^2-y^2-2xy+6x+2y=0$ के लिए,इसे $3x^2+(6-2y)x+(2y-y^2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-(6-2y) \pm \sqrt{(6-2y)^2 - 4(3)(2y-y^2)}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{36-24y+4y^2-24y+12y^2}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{16y^2-48y+36}}{6} = \frac{(2y-6) \pm 2(2y-3)}{6} = \frac{(y-3) \pm (2y-3)}{3}$.
यह दो रेखाएं देता है: $L_3: x-y+2=0$ और $L_4: 3x+y=0$.
यह क्षेत्र इन चार रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बना एक समांतर चतुर्भुज है। शीर्ष हैं:
$A = L_3 \cap L_4 = (-1/2, 3/2)$
$B = L_1 \cap L_4 = (-1/4, 3/4)$
$C = L_1 \cap L_2 = (-1/2, 1/2)$
$D = L_2 \cap L_3 = (-3/4, 5/4)$
रेखाओं $a_1x+b_1y+c_1=0, a_1x+b_1y+c_2=0, a_2x+b_2y+d_1=0, a_2x+b_2y+d_2=0$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1: x-y+1=0, L_3: x-y+2=0 \implies |c_1-c_2| = |1-2| = 1$.
$L_2: 3x+y+1=0, L_4: 3x+y=0 \implies |d_1-d_2| = |1-0| = 1$.
हर $|(1)(1) - (3)(-1)| = |1+3| = 4$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1 \times 1}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) दिए गए बिंदु $P(\alpha, 4, 7)$ और $Q(3, \beta, 8)$ हैं।
चूंकि $YZ$-समतल $PQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $x$-निर्देशांक शून्य होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0 \Rightarrow 6 + 3\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -2$.
चूंकि $ZX$-समतल $PQ$ को $4:5$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक शून्य होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0 \Rightarrow 4\beta + 20 = 0 \Rightarrow \beta = -5$.
अतः,बिंदु $P(-2, 4, 7)$ और $Q(3, -5, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-5 - 4)^2 + (8 - 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (-9)^2 + (1)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 81 + 1} = \sqrt{107}$.

(A) माना कि बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $k: 1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $C$ के निर्देशांक:
$C = \left( \frac{k x_2 - x_1}{k - 1}, \frac{k y_2 - y_1}{k - 1}, \frac{k z_2 - z_1}{k - 1} \right)$
$A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 7)$ के मान रखने पर:
$C = \left( \frac{3k - 1}{k - 1}, \frac{4k - 2}{k - 1}, \frac{7k - 3}{k - 1} \right)$
दिया गया है कि $C = (-3, -2, -5)$,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{3k - 1}{k - 1} = -3$
$3k - 1 = -3(k - 1)$
$3k - 1 = -3k + 3$
$6k = 4$
$k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $k: 1$ अर्थात $2: 3$ है।

(D) $x-2y+3=0$ और $2x-y-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $(x-2y+3) + K(2x-y-1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1+2K)x - (2+K)y + (3-K) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(1+2K)}{K-3}x + \frac{-(2+K)}{K-3}y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड $A\left(\frac{K-3}{1+2K}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{K-3}{-(2+K)}\right)$ हैं।
माना $AB$ को $-2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $(x, y)$ है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2(0) + 3(\frac{K-3}{1+2K})}{3-2} = \frac{3(K-3)}{1+2K}$ और $y = \frac{-2(\frac{K-3}{-(2+K)}) + 3(0)}{3-2} = \frac{2(K-3)}{2+K}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{3K-9}{2K+1}$ से,$x(2K+1) = 3K-9 \Rightarrow K(2x-3) = -9-x \Rightarrow K = \frac{x+9}{3-2x}$ मिलता है।
$y = \frac{2K-6}{K+2}$ से,$y(K+2) = 2K-6 \Rightarrow K(y-2) = -6-2y \Rightarrow K = \frac{6+2y}{2-y}$ मिलता है।
$K$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{x+9}{3-2x} = \frac{6+2y}{2-y}$।
$(x+9)(2-y) = (6+2y)(3-2x) \Rightarrow 2x - xy + 18 - 9y = 18 - 12x + 6y - 4xy$।
सरल करने पर,$14x + 3xy - 15y = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(1, 2)$ रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है,हमारे पास है:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \Rightarrow x_2 = 2 - x_1$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \Rightarrow y_2 = 4 - y_1$
चूंकि $A$,$3x - 2y - 1 = 0$ पर स्थित है,हमारे पास है:
$3x_1 - 2y_1 - 1 = 0$ --- $(i)$
चूंकि $B$,$x + 2y + 1 = 0$ पर स्थित है,हम $x_2$ और $y_2$ का मान रखते हैं:
$(2 - x_1) + 2(4 - y_1) + 1 = 0$
$2 - x_1 + 8 - 2y_1 + 1 = 0$
$x_1 + 2y_1 - 11 = 0$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(3x_1 - 2y_1 - 1) + (x_1 + 2y_1 - 11) = 0$
$4x_1 - 12 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
समीकरण $(i)$ में $x_1 = 3$ रखने पर:
$3(3) - 2y_1 - 1 = 0 \Rightarrow 8 = 2y_1 \Rightarrow y_1 = 4$
अतः,$A = (3, 4)$.
तब $x_2 = 2 - 3 = -1$ और $y_2 = 4 - 4 = 0$,इसलिए $B = (-1, 0)$.
बिंदुओं $(3, 4)$ और $(-1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण है:
$y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - (-1)}(x - (-1))$
$y = \frac{4}{4}(x + 1) \Rightarrow y = x + 1 \Rightarrow x - y = -1$
$-1$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से तुलना करने पर,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + 2b + 1 = -1 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

(C) दी गई रेखा $2x-y+3=0$ की ढाल $m_1 = 2$ है।
माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,अतः $\tan 60^{\circ} = |\frac{m-m_1}{1+m m_1}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m-2}{1+2m}|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\frac{m-2}{1+2m} = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8+5\sqrt{3}}{-11}$.
मामला $2$: $\frac{m-2}{1+2m} = -\sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8-5\sqrt{3}}{-11} = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}$.
चूंकि $L$,धनात्मक $X$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए $m > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $m = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} > 0$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(x - 2)$ है।
$Y$-अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर,$y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(-2) = \frac{16-10\sqrt{3}}{11}$ प्राप्त होता है।

(D) $5$ पत्रों को $5$ संबोधित लिफाफों में रखने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने के तरीकों की संख्या $1$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{120}$ है।
कम से कम एक पत्र के गलत लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ है।

(C) प्रथम $5$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$S$ से दो अलग संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = 10$ हैं।
फर्मा के प्रमेय के अनुसार,यदि $a$,$5$ से विभाज्य नहीं है,तो $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$।
यदि $a$,$5$ से विभाज्य है,तो $a^4 \equiv 0 \pmod{5}$।
हमें $x^4 - y^4$ को $5$ से विभाज्य बनाना है,अर्थात $x^4 \equiv y^4 \pmod{5}$।
स्थिति $1$: $x$ और $y$ दोनों $5$ से विभाज्य नहीं हैं। तो $x^4 \equiv 1$ और $y^4 \equiv 1$,इसलिए $x^4 - y^4 \equiv 0 \pmod{5}$।
$5$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं। इन $4$ संख्याओं में से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं।
स्थिति $2$: यदि एक संख्या $5$ है,तो $x^4 - y^4$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए दूसरी संख्या भी $5$ होनी चाहिए,जो संभव नहीं है।
अतः,अनुकूल परिणाम $6$ हैं।
प्रायिकता $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।

(C) चरण $1$: चरों को परिभाषित करें।
कुल वस्तुएं $= 15$।
दोषपूर्ण वस्तुएं $= 3$।
दोषरहित वस्तुएं $= 15 - 3 = 12$।
नमूना आकार $= 5$।
हमें इस नमूने में ठीक $2$ दोषपूर्ण वस्तुएं चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
चरण $2$: संभावित परिणामों की गणना के लिए संयोजनों का उपयोग करें।
प्रायिकता की गणना हाइपरजियोमेट्रिक वितरण सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$1$. $3$ में से $2$ दोषपूर्ण वस्तुएं चुनने के तरीके:
$\binom{3}{2} = 3$।
$2$. $12$ में से $3$ दोषरहित वस्तुएं चुनने के तरीके:
$\binom{12}{3} = 220$।
$3$. $15$ में से $5$ वस्तुएं चुनने के कुल तरीके:
$\binom{15}{5} = 3003$।
चरण $3$: प्रायिकता की गणना करें।
$P = \frac{3 \times 220}{3003} = \frac{660}{3003} = \frac{220}{1001}$।
अतः,सही उत्तर $\frac{220}{1001}$ है।

(D) $20$ में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_3 = 1140$ हैं।
$3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर संख्याओं का वर्गीकरण:
$R_0 = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (संख्या $6$)
$R_1 = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}$ (संख्या $7$)
$R_2 = \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\}$ (संख्या $7$)
योग $3$ से विभाज्य होने की स्थितियाँ:
$(I)$ तीनों संख्याएँ $R_0$ से: ${}^{6}C_3 = 20$.
$(II)$ तीनों संख्याएँ $R_1$ से: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(III)$ तीनों संख्याएँ $R_2$ से: ${}^{7}C_3 = 35$.
$(IV)$ प्रत्येक समुच्चय $R_0, R_1, R_2$ से एक-एक संख्या: ${}^{6}C_1 \times {}^{7}C_1 \times {}^{7}C_1 = 294$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 20 + 35 + 35 + 294 = 384$.
प्रायिकता $= \frac{384}{1140} = \frac{32}{85}$.

(C) तीन पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणाम $6^3 = 216$ हैं।
तीन पासों के साथ योग $S$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(S)$ है।
योग $S = 13$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(13) = 21$ है।
योग $S > 13$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(14) + n(15) + n(16) + n(17) + n(18)$ है।
$n(14) = 15, n(15) = 10, n(16) = 6, n(17) = 3, n(18) = 1$.
इनका योग: $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$.
अतः,$B$ का योग $13$ से अधिक होने की प्रायिकता $\frac{35}{216}$ है।

(D) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = b^2 - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4ac$।
पासे पर अंक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं। कुल परिणाम $6 \times 6 \times 6 = 216$ हैं।
हमें ऐसे त्रिक $(a, b, c)$ खोजने हैं जिनके लिए $b^2 = 4ac$ हो।

$b$	$(a, c)$	संख्या
$b=1$	$1 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=2$	$4 = 4ac \implies ac = 1 \implies (1, 1)$	$1$
$b=3$	$9 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=4$	$16 = 4ac \implies ac = 4 \implies (1, 4), (4, 1), (2, 2)$	$3$
$b=5$	$25 = 4ac$ (संभव नहीं)	$0$
$b=6$	$36 = 4ac \implies ac = 9 \implies (3, 3)$	$1$

कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 3 + 1 = 5$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{5}{216}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $10$ होने वाले परिणाम $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ हैं।
योग $11$ होने वाले परिणाम $(5, 6), (6, 5)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 2 = 5$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{5}{36}$ है।

(A) $0, 1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई पाँच अंकों की कुल संख्याएँ $4 \times 4! = 96$ हैं।
संख्या के $4$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
अंतिम दो अंकों के लिए संभावित जोड़े:
$04, 20, 40$ (जहाँ $0$ का उपयोग होता है): प्रत्येक के लिए $3! = 6$ संख्याएँ। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
$12, 24, 32$ (जहाँ $0$ का उपयोग नहीं होता है): पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $2$ विकल्प और शेष के लिए $2!$ तरीके। कुल $= 3 \times (2 \times 2!) = 12$।
कुल अनुकूल संख्याएँ $= 18 + 12 = 30$।
प्रायिकता $= \frac{30}{96} = \frac{5}{16}$।

(A) मान लीजिए $P, Q, R$ वे घटनाएं हैं कि $P, Q, R$ लक्ष्य को भेदते हैं।
दी गई प्रायिकताएं $P(P) = \frac{2}{3}, P(Q) = \frac{3}{5}, P(R) = \frac{5}{7}$ हैं।
लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएं $P(P') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,$P(Q') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$,और $P(R') = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $R$ द्वारा नहीं। यह तीन परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकता है:
$1$. $P$ भेदता है,$Q$ चूक जाता है,$R$ चूक जाता है: $P(P) \times P(Q') \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{105}$.
$2$. $P$ चूक जाता है,$Q$ भेदता है,$R$ चूक जाता है: $P(P') \times P(Q) \times P(R') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{105}$.
$3$. $P$ भेदता है,$Q$ भेदता है,$R$ चूक जाता है: $P(P) \times P(Q) \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{12}{105}$.
इन प्रायिकताओं का योग: $\frac{8}{105} + \frac{6}{105} + \frac{12}{105} = \frac{26}{105}$.

(C) बॉक्स $P$ में कुल गेंदें $= 1 + 3 + 2 = 6$।
बॉक्स $Q$ में कुल गेंदें $= 2 + 3 + 4 = 9$।
मान लीजिए $W_P, R_P, B_P$ बॉक्स $P$ से क्रमशः सफेद,लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं,और $W_Q, R_Q, B_Q$ बॉक्स $Q$ के लिए संबंधित घटनाएं हैं।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(W_P) = \frac{1}{6}, P(R_P) = \frac{3}{6}, P(B_P) = \frac{2}{6}$
$P(W_Q) = \frac{2}{9}, P(R_Q) = \frac{3}{9}, P(B_Q) = \frac{4}{9}$
गेंदों के समान रंग के होने की प्रायिकता:
$P(\text{same}) = P(W_P)P(W_Q) + P(R_P)P(R_Q) + P(B_P)P(B_Q)$
$P(\text{same}) = (\frac{1}{6} \times \frac{2}{9}) + (\frac{3}{6} \times \frac{3}{9}) + (\frac{2}{6} \times \frac{4}{9}) = \frac{2 + 9 + 8}{54} = \frac{19}{54}$
गेंदों के अलग-अलग रंग के होने की प्रायिकता:
$P(\text{different}) = 1 - P(\text{same}) = 1 - \frac{19}{54} = \frac{35}{54}$

(B) '$SENSELESSNESS$' शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं: $S$ ($6$ बार),$E$ ($4$ बार),$N$ ($2$ बार),और $L$ ($1$ बार)।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{13!}{6!4!2!} = 180180$।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ सभी $E$ एक साथ आते हैं,हम $4$ $E$'s को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ इकाइयाँ हैं: $(EEEE)$,$S$ ($6$ बार),$N$ ($2$ बार),और $L$ ($1$ बार)।
सभी $E$'s के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{10!}{6!2!1!} = \frac{3628800}{720 \times 2} = 2520$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2520}{180180} = \frac{252}{18018} = \frac{2}{143}$।

(C) समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $10 \times 10 = 100$ हैं।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x^2 - y^2|$,$6$ से विभाज्य हो।
यह स्थिति $|(x - y)(x + y)|$ के $6$ से विभाज्य होने के समतुल्य है।
हम $x$ का मान $1$ से $10$ तक लेकर $y$ के ऐसे मान ज्ञात करते हैं कि $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ हो।
$6$ के मापांक में वर्ग इस प्रकार हैं: $1^2 \equiv 1, 2^2 \equiv 4, 3^2 \equiv 3, 4^2 \equiv 4, 5^2 \equiv 1, 6^2 \equiv 0, 7^2 \equiv 1, 8^2 \equiv 4, 9^2 \equiv 3, 10^2 \equiv 4$.
मानों के अनुसार समूहीकरण: $0: \{6\}$,$1: \{1, 5, 7\}$,$3: \{3, 9\}$,$4: \{2, 4, 8, 10\}$.
ऐसे युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ है:
$x^2 \equiv 0$ के लिए: $1^2 = 1$ युग्म $(6, 6)$।
$x^2 \equiv 1$ के लिए: $3^2 = 9$ युग्म $(\{1, 5, 7\} \times \{1, 5, 7\})$ ।
$x^2 \equiv 3$ के लिए: $2^2 = 4$ युग्म $(\{3, 9\} \times \{3, 9\})$ ।
$x^2 \equiv 4$ के लिए: $4^2 = 16$ युग्म $(\{2, 4, 8, 10\} \times \{2, 4, 8, 10\})$ ।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 9 + 4 + 16 = 30$ ।
प्रायिकता $= \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ ।

(D) $8$ शिक्षकों और $4$ छात्रों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(8+4-1)! = 11!$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो छात्र एक साथ न बैठें,हम पहले $8$ शिक्षकों को एक वृत्त में व्यवस्थित करते हैं,जिसे $(8-1)! = 7!$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह शिक्षकों के बीच $8$ रिक्त स्थान (gaps) बनाता है। हमें इन $8$ रिक्त स्थानों में $4$ छात्रों को बैठाना है,जिसे $^8C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
छात्र आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $^8C_4 \times 4! \times 7!$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{^8C_4 \times 4! \times 7!}{11!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4! \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{70 \times 24 \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{7}{33}$ है।

(B) कुल सेबों की संख्या $= 12$. सड़े हुए सेबों की संख्या $= 3$. अच्छे सेबों की संख्या $= 9$.
$12$ में से $3$ सेब निकालने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
हमें अधिकतम एक सड़ा हुआ सेब प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $0$ या $1$ सड़ा हुआ सेब।
स्थिति $1$: कोई भी सड़ा हुआ सेब न निकाला जाए (सभी $3$ अच्छे हों)।
तरीकों की संख्या $= {}^{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
स्थिति $2$: ठीक $1$ सड़ा हुआ सेब निकाला जाए (और $2$ अच्छे हों)।
तरीकों की संख्या $= {}^{3}C_1 \times {}^{9}C_2 = 3 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 3 \times 36 = 108$.
कुल अनुकूल तरीके $= 84 + 108 = 192$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{192}{220} = \frac{48}{55}$.

(A) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $36$ है। योग $4$ प्राप्त करने के परिणाम $(1,3), (3,1), (2,2)$ हैं।
अतः,एक बार पासा फेंकने पर योग $4$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
योग $4$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ है।
चूंकि $A$ खेल शुरू करता है,$B$ तब जीतता है यदि $A$ पहले प्रयास में विफल रहता है और $B$ दूसरे प्रयास में सफल होता है,या $A$ पहले और तीसरे प्रयास में विफल रहता है और $B$ दूसरे प्रयास में विफल रहता है और चौथे प्रयास में सफल होता है,इत्यादि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी द्वारा दी जाती है:
$P(B \text{ wins}) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P(B \text{ wins}) = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{144-121}{144}} = \frac{11}{23}$.

(B) माना $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 89^{\circ}$.
साइन श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर,$S = \frac{\sin(44.5^{\circ}) \sin(45^{\circ})}{\sin(0.5^{\circ})}$.
हर $D = 2(\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1$ है।
पदों को सरल करने पर,$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2(\cos 1^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1)$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की ढाल $m$ और $3m$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ या $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$।
साथ ही,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$।
$m = \pm \frac{1}{3}$ का मान $h$ के व्यंजक में रखने पर:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$।
अतः,$h = \pm 8$।