यदि वृत्तों $S \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $S' \equiv x^2+y^2-a^2=0$ जहाँ $a \in \mathbb{N}$ में $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं,तो $a$ के संभावित मानों की संख्या क्या है?

बिंदु $(1,0)$ से गुजरने वाला एक वृत्त $X$-अक्ष पर $4$ इकाई लंबाई का और $Y$-अक्ष पर $2\sqrt{11}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है। यदि वृत्त का केंद्र चौथे चतुर्थांश में स्थित है,तो वृत्त की त्रिज्या है

$y-$अक्ष को बिंदु $P(0,2)$ पर स्पर्श करने वाले और वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ वृत्त $x^{2} - \sqrt{2}(x+y) + y^{2} = 0$ में इस प्रकार अंकित है कि $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ है। यदि भुजा $AB$ की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त के व्यास $PR$ के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $RS$ हैं। यदि $PS$ और $RQ$ वृत्त की परिधि पर एक बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $X$ से गुजरने वाली और व्यास $PR$ के लंबवत जीवा की लंबाई क्या होगी?

मान लीजिए $P$ और $Q$ एक वृत्त पर दो अलग-अलग बिंदु हैं जिसका केंद्र $C(2,3)$ है और जो मूल बिंदु $O(0,0)$ से होकर गुजरता है। यदि $OC$,रेखाखंड $CP$ और $CQ$ दोनों पर लंबवत है,तो समुच्चय $\{P, Q\}$ किसके बराबर है?