मान लीजिए $u, v$ और $w$ $R^3$ में तीन सदिश हैं। तो,किसी भी सदिश $z \in R^3$ को कुछ अदिशों $a, b$ और $c$ के लिए $z = au + bv + cw$ के रूप में लिखा जा सकता है यदि और केवल यदि:

$XY$-समतल में किन्हीं दो बिंदुओं $M$ और $N$ के लिए, $\overrightarrow{MN}$ को $M$ से $N$ तक के सदिश के रूप में दर्शाया गया है, और $\overrightarrow{0}$ शून्य सदिश है। मान लीजिए $P, Q$ और $R$ $XY$-समतल में तीन अलग-अलग बिंदु हैं। मान लीजिए $S$ त्रिभुज $\triangle PQR$ के अंदर एक ऐसा बिंदु है कि $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ है। मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $PR$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं। तो $\frac{\text{रेखाखंड } EF \text{ की लंबाई}}{\text{रेखाखंड } ES \text{ की लंबाई}}$ का मान ज्ञात कीजिए: ($.20$ में)

मान लीजिए $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $|\overrightarrow{a}| = 2$ और $|\overrightarrow{b}| = 3$ है,तो $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{b}$ पर प्रक्षेप और $\overrightarrow{b}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप का अनुपात ज्ञात कीजिए।

यदि $ABCDEF$ एक नियमित षट्भुज है,जहाँ दो आसन्न भुजाएँ $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं। तो $\vec{CD}$ क्या है?

$1, 2, 3 \text{ dynes}$ परिमाण के तीन बल एक बिंदु पर मिलते हैं और एक घन के तीन आसन्न फलकों के विकर्णों के अनुदिश कार्य करते हैं। परिणामी बल ............ $\text{dyne}$ है।

$A$ और $B$ दो बिंदु हैं। $A$ का स्थिति सदिश $6b - 2a$ है। एक बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि $P$ का स्थिति सदिश $a - b$ है,तो $B$ का स्थिति सदिश क्या होगा?